3.2.2.2 函数奇偶性的应用 随堂跟踪练习（含答案）

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3.2.2.2 函数奇偶性的应用跟踪练习
(15分钟　35分)
1.已知函数y=f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)=x2-2x+3，则当x<0时，f(x)的解析式是 (　　)
A.f(x)=-x2+2x-3 B.f(x)=-x2-2x-3
C.f(x)=x2-2x+3 D.f(x)=-x2-2x+3
2.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=x2+3x+1，则f(x)等于 (　　)
A.x2 B.2x2 C.2x2+2 D.x2+1
3.设f(x)是R上的偶函数，且在(0，+∞)上单调递减，若x1<0且x1+x2>0，则(　　)
A.f(-x1)>f(-x2)
B.f(-x1)=f(-x2)
C.f(-x1)D.f(-x1)与f(-x2)的大小关系不确定
4.函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在[0，+∞)上单调递增，f(3)A.a>1 B.a<-2
C.a>1或a<-2 D.-15.函数f(x)在R上为偶函数，且x>0时，f(x)=+1，则当x<0时，f(x)=_______.?
6.设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=，求函数f(x)，g(x)的解析式.
(30分钟　60分)
一、单选题(每小题5分，共20分)
1.若奇函数f(x)在(-∞，0)上的解析式为f(x)=x(1+x)，则f(x)在(0，+∞)上有 (　　)
A.最大值- B.最大值
C.最小值- D.最小值
2.(2020·泰安高一检测)设F(x)=f(x)+f(-x)，x∈R，若是函数F(x)的单调递增区间，则一定是F(x)的单调递减区间的是 (　　)
A. B.
C. D.
3.若f(x)是偶函数，其定义域为(-∞，+∞)，且在[0，+∞)上单调递减，则f与f的大小关系是 (　　)
A.f>f
B.fC.f≥f
D.f≤f
4.(2020·襄阳高一检测)已知偶函数f(x)在区间[0，+∞)上单调递减，则满足f(2x-1)>f的实数x的取值范围是 (　　)
A. B.
C. D.
二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5.若函数y=f(x)是偶函数，定义域为R，且该函数图象与x轴的交点有3个，则下列说法正确的是 (　　)
A.3个交点的横坐标之和为0
B.3个交点的横坐标之和不是定值，与函数解析式有关
C.f(0)=0
D.f(0)的值与函数解析式有关
6.设f(x)为偶函数，且在区间(-∞，0)内单调递增，f(-2)=0，则下列区间中使得xf(x)<0的有 (　　)
A.(-1，1) B.(0，2)
C.(-2，0) D.(2，4)
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.如果函数F(x)=是奇函数，则f(x)=_______.?
【补偿训练】
设函数y=f(x)是偶函数，它在[0，1]上的图象如图.则它在[-1，0]上的解析式为_______.?
8.(2020·杭州高一检测)已知函数f(x)是定义在[-1，a]上的奇函数，则a=_______，f(0)=_______.?
四、解答题(每小题10分，共20分)
9.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且当x≥0时，f(x)=-x2+2x.
(1)求出函数f(x)在R上的解析式.
(2)画出函数f(x)的图象.
(3)根据图象，写出函数f(x)的单调递减区间及值域.
10.函数f(x)=，
(1)证明函数的奇偶性.
(2)判断函数在(-∞，0)上的单调性，并证明.
创新练习：
1.已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)=x2-4x，那么，不等式f(x+2)<5的解集是_______.?
【补偿训练】
已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(-∞，0)上单调递增.若f(-3)=0，则<0的解集为_______.?
2.已知函数f(x)的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞)，对定义域内的任意x1，x2都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，且当x>1时，f(x)>0.
(1)求证：f(x)是偶函数.
(2)求证：f(x)在(0，+∞)上单调递增.
(3)试比较f与f的大小.
解析版
(15分钟　35分)
1.已知函数y=f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)=x2-2x+3，则当x<0时，f(x)的解析式是 (　　)
A.f(x)=-x2+2x-3 B.f(x)=-x2-2x-3
C.f(x)=x2-2x+3 D.f(x)=-x2-2x+3
【解析】选B.若x<0，则-x>0，因为当x>0时，f(x)=x2-2x+3，所以f(-x)=x2+2x+3，因为函数f(x)是奇函数，所以f(-x)=x2+2x+3=-f(x)，所以f(x)=-x2-2x-3，所以x<0时，f(x)=-x2-2x-3.
2.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=x2+3x+1，则f(x)等于 (　　)
A.x2 B.2x2 C.2x2+2 D.x2+1
【解析】选D.因为f(x)+g(x)=x2+3x+1，①
所以f(-x)+g(-x)=x2-3x+1.
又f(x)是偶函数，且g(x)是奇函数，
所以f(x)-g(x)=x2-3x+1.②
由①②联立，得f(x)=x2+1.
3.设f(x)是R上的偶函数，且在(0，+∞)上单调递减，若x1<0且x1+x2>0，则(　　)
A.f(-x1)>f(-x2)
B.f(-x1)=f(-x2)
C.f(-x1)D.f(-x1)与f(-x2)的大小关系不确定
【解析】选A.因为x2>-x1>0，f(x)在(0，+∞)上单调递减，所以f(x2)又f(x)是R上的偶函数，所以f(-x2)=f(x2)，
所以f(-x2)4.函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在[0，+∞)上单调递增，f(3)A.a>1 B.a<-2
C.a>1或a<-2 D.-1【解析】选C.因为函数f(x)在实数集上是偶函数，且f(3)所以3<|2a+1|，解得a>1或a<-2.
5.函数f(x)在R上为偶函数，且x>0时，f(x)=+1，则当x<0时，f(x)=_______.?
【解析】因为f(x)为偶函数，x>0时，f(x)=+1，
所以当x<0时，-x>0，f(x)=f(-x)=+1，
即x<0时，f(x)=+1.
答案：+1
6.设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=，求函数f(x)，g(x)的解析式.
【解析】因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
所以f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x).
由f(x)+g(x)=，①
用-x代替x得f(-x)+g(-x)=，
所以f(x)-g(x)=，②
(①+②)÷2，得f(x)=；
(①-②)÷2，得g(x)=.
(30分钟　60分)
一、单选题(每小题5分，共20分)
1.若奇函数f(x)在(-∞，0)上的解析式为f(x)=x(1+x)，则f(x)在(0，+∞)上有 (　　)
A.最大值- B.最大值
C.最小值- D.最小值
【解析】选B.方法一(直接法)：当x>0时，-x<0，
所以f(-x)=-x(1-x).又f(-x)=-f(x)，
所以f(x)=x(1-x)=-x2+x=-+，
所以f(x)有最大值.
方法二(奇函数的图象特征)：当x<0时，
f(x)=x2+x=-，
所以f(x)有最小值-，因为f(x)是奇函数，
所以当x>0时，f(x)有最大值.
2.(2020·泰安高一检测)设F(x)=f(x)+f(-x)，x∈R，若是函数F(x)的单调递增区间，则一定是F(x)的单调递减区间的是 (　　)
A. B.
C. D.
【解析】选B.因为F(-x)=F(x)，所以F(x)是偶函数，因而在上F(x)一定单调递减.
3.若f(x)是偶函数，其定义域为(-∞，+∞)，且在[0，+∞)上单调递减，则f与f的大小关系是 (　　)
A.f>f
B.fC.f≥f
D.f≤f
【解析】选C.因为a2+2a+=(a+1)2+≥，
又因为f(x)在[0，+∞)上单调递减，
所以f≤f=f.
4.(2020·襄阳高一检测)已知偶函数f(x)在区间[0，+∞)上单调递减，则满足f(2x-1)>f的实数x的取值范围是 (　　)
A. B.
C. D.
【解析】选A.因为偶函数f(x)在区间[0，+∞)上单调递减，且满足f(2x-1)>f，所以不等式等价为f(|2x-1|)>f，即|2x-1|<，所以-<2x-1<，计算得出【误区警示】利用偶函数的单调性解不等式，别忘了转化为绝对值不等式求解.
二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5.若函数y=f(x)是偶函数，定义域为R，且该函数图象与x轴的交点有3个，则下列说法正确的是 (　　)
A.3个交点的横坐标之和为0
B.3个交点的横坐标之和不是定值，与函数解析式有关
C.f(0)=0
D.f(0)的值与函数解析式有关
【解析】选A、C.由于偶函数图象关于y轴对称，若(x0，0)是函数与x轴的交点，则(-x0，0)一定也是函数与x轴的交点，当交点个数为3个时，有一个交点一定是原点，从而AC正确.
6.设f(x)为偶函数，且在区间(-∞，0)内单调递增，f(-2)=0，则下列区间中使得xf(x)<0的有 (　　)
A.(-1，1) B.(0，2)
C.(-2，0) D.(2，4)
【解析】选C、D.根据题意，偶函数f(x)在(-∞，0)上单调递增，又f(-2)=0，则函数f(x)在(0，+∞)上单调递减，且f(-2)=f(2)=0，函数f(x)的草图如图，
又由xf(x)<0?或，
由图可得-22，
即不等式的解集为(-2，0)∪(2，+∞).
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.如果函数F(x)=是奇函数，则f(x)=_______.?
【解题指南】根据求谁设谁的原则，设x<0，根据函数的奇偶性求出x<0时的解析式.
【解析】当x<0时，-x>0，F(-x)=-2x-3，
又F(x)为奇函数，故F(-x)=-F(x)，
所以F(x)=2x+3，即f(x)=2x+3.
答案：2x+3
【补偿训练】
设函数y=f(x)是偶函数，它在[0，1]上的图象如图.则它在[-1，0]上的解析式为_______.?
【解析】由题意知f(x)在[-1，0]上为一条线段，且过(-1，1)，(0，2)，设f(x)=kx+b，代入解得k=1，b=2.所以f(x)=x+2.
答案：f(x)=x+2
8.(2020·杭州高一检测)已知函数f(x)是定义在[-1，a]上的奇函数，则a=_______，f(0)=_______.?
【解析】根据题意，函数f(x)是定义在[-1，a]上的奇函数，则(-1)+a=0，解可得a=1，
即f(x)的定义域为[-1，1]，则f(0)=0.
答案：1　0
四、解答题(每小题10分，共20分)
9.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且当x≥0时，f(x)=-x2+2x.
(1)求出函数f(x)在R上的解析式.
(2)画出函数f(x)的图象.
(3)根据图象，写出函数f(x)的单调递减区间及值域.
【解析】(1)因为函数f(x)是定义域为R的偶函数，
所以f(x)=f(-x).
当x<0时，-x>0，所以f(x)=f(-x)=-x2-2x.
综上，f(x)=
(2)函数f(x)的图象如图所示：
(3)由(2)中图象可知，f(x)的单调递减区间为[-1，0]，[1，+∞)，函数f(x)的值域为(-∞，1].
10.函数f(x)=，
(1)证明函数的奇偶性.
(2)判断函数在(-∞，0)上的单调性，并证明.
【解析】(1)因为f(x)=的定义域为{x|x≠0}，
f(-x)===f(x)，
所以函数f(x)为偶函数.
(2)函数f(x)在(-∞，0)上单调递增，
证明如下：任取x1，x2∈(-∞，0)，且x1所以f(x1)-f(x2)=-=
=，
因为x1，x2∈(-∞，0)，且x1所以x2-x1>0，x2+x1<0，
所以<0，
即f(x1)则函数f(x)在(-∞，0)上单调递增.
创新练习：
1.已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)=x2-4x，那么，不等式f(x+2)<5的解集是_______.?
【解析】因为f(x)为偶函数，所以f(|x+2|)=f(x+2)，则f(x+2)<5可化为f(|x+2|)<5，则|x+2|2-4|x+2|<5，
即(|x+2|+1)(|x+2|-5)<0，
所以|x+2|<5，解得-7所以不等式f(x+2)<5的解集是(-7，3).
答案：(-7，3)
【补偿训练】
已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(-∞，0)上单调递增.若f(-3)=0，则<0的解集为_______.?
【解析】因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(-∞，0)上单调递增，所以f(x)在区间(0，+∞)上单调递减，所以f(3)=f(-3)=0.
当x>0时，f(x)<0，解得x>3；
当x<0时，f(x)>0，解得-3答案：{x|-33}
2.已知函数f(x)的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞)，对定义域内的任意x1，x2都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，且当x>1时，f(x)>0.
(1)求证：f(x)是偶函数.
(2)求证：f(x)在(0，+∞)上单调递增.
(3)试比较f与f的大小.
【解析】(1)函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).
令x1=x2=1，得f(1×1)=f(1)+f(1)，
所以f(1)=0.令x1=x2=-1，
得f(1)=f((-1)×(-1))=f(-1)+f(-1)，
所以2f(-1)=0，所以f(-1)=0.
所以f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x)，
所以f(x)是偶函数.
(2)设0则f(x2)-f(x1)=f-f(x1)
=f(x1)+f-f(x1)=f.
因为x2>x1>0，所以>1，所以f>0，
即f(x2)-f(x1)>0.
所以f(x2)>f(x1)，即f(x1)所以f(x)在(0，+∞)上单调递增.
(3)由(1)知f(x)是偶函数，则有f=f，
由(2)知f(x)在(0，+∞)上单调递增，
则f>f.所以f>f.
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