北师大版 七年级下册 第六章 概率初步知识点总结及练习（无答案）

概率初步
知识点一、感受可能性
通常用1（或100%）来表示必然事件发生的可能性，用0表示不可能事件发生的可能性。
用图表示
如下：
知识点二、游戏是否公平：
游戏对双方公平是指双方获胜的
可能性一样大
。
【例1】下列事件中，哪些是必然发生的，哪些是可能发生的，哪些是不可能发生的？
（1）任取两个正整数，其和大于1.
（2）掷一枚六个面分别刻有1-6的数字的均匀正方体骰子，向上一面的点数是4；
（3）熟透的苹果自然飞上天；
（4）打开电视机，正在播放少儿节目。
【例2】下列成语所描述的事件是必然事件的是（　　）
Ａ．水中捞月
Ｂ．拔苗助长
Ｃ．守株待兔
Ｄ．瓮中捉鳖
【例3】下列说法正确的是（
）
A、可能性很大的事件必然发；
B、可能性很小的事件也可能发生;
C、如果一件事情可能不发生，那么它就是必然事件;
D、如果一件事情发生的机会只有百分之一，那么它就不可能发生。
【例4】袋中有4个红球，白球若干个，他们只有颜色上的区别。从袋中随机的取出一个球，如果摸到白球的可能性大，则袋中白球的个数可能是（
）
A.3个
B.不足3个
C.4个
D.5个或5个以上
【变式1】下列事件：（1）阴天会下雨；（2）随机掷一枚均匀的硬币，正面朝上；（3）12
名同学中，有两人的出生月份相同；（4）2021年奥运会在东京举行．其中不确定事件有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【变式2】下列说法正确的是（
）
A．如果一件事发生的机会只有千万分之一，那么它就是不可能事件
B．如果一件事发生的机会达99.999%，那么它就是必然事件
C．如果一件事不是不可能事件，那么它就是必然事件
D．如果一件事不是必然事件，那么它就是不可能事件或随机事件
【变式3】下列事件是必然事件的是（
）
A.打开电视机，正在转播足球比赛
B.小麦的亩产量一定为1000公斤
C.在只装有5个红球的袋中摸出1球是红球
D.农历十五的晚上一定能看到圆月
【变式4】初一(8)班共有学生54人，其中男生有30人，女生24人，若在此班上任意找一名学生，找到男生的可能性比找到女生的可能性
(填“大”或“小”).
【例5】18.袋中装有4个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球。我们把“摸到白球”记为事件A，把“摸到黑球”记为事件B。事件A和事件B是随机事件吗？哪个事件发生的可能性大？
【例6】．20张卡片上分别写着1，2，3，…，20，从中任意抽出一张，号码是2的倍数与号码是3的倍数的可能性哪个大?
【变式5】80件产品中，有50件一等品，20件二等品，10件三等品，从中任取一件，取到哪种产品的可能性最大?取到哪种产品的可能性最小?为什么?
【变式6】已知地球表面陆地面积与海洋面积的比均为3：7。如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，“落在海洋里”与“落在陆地上”哪个可能性更大？
知识点三、频率的稳定性
1.频率的定义：在n次重复实验中，事件A发生了m次，则比值成为事件A发生的频率。
2.频率的稳定性：在大量重复试验的情况下，事件发生的频率会呈稳定性，即频率在一个“常数”附近摆动，这就是频率的稳定性。随着试验次数的增加，摆动的幅度将越来与越小。
3.概率：用常数来表示事件A发生的可能性的大小，我们把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率，记为P(A)。
一般地，大量重复试验中，我们常用随机事件A发生的频率来估计事件A发生的概率。
必然事件发生的概率为1，记作P（必然事件）=1；不可能事件发生的概率为0，记作P（不可能事件）=0；如果A为不确定事件，那么0【例1】关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（）
频率等于概率
B.当试验次数很多时，频率稳定在概率附近
C.当试验次数很多时，概率稳定在频率附近
D.试验得到的频率与概率不可能相等
【例2】一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字3,4,5,6.甲、乙两人每次同时从袋子中各随机摸出1个球，并计算摸出的这两个小球上的数字之和，记录后都将小球放回袋子中搅匀，进行重复试验。试验数据如下表：
请将表中的数据补充完整；
如果试验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为9”的频率将稳定在
左右。
【例3】如图，把一个圆形转盘按1∶2∶3∶4的比例分成A，B，C，D四个扇形区域，自由转动转盘，停止后指针落在B区域的概率为________.
【例4】如图，有四张不透明的卡片除正面的算式不同外，其余完全相同，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，则抽到的卡片上算式正确的概率是(
)
(A)
(B)
(C)
(D)1
【例5】某地区林业局要考察一种树苗移植的成活率，对该地区这种树苗移植
成活情况进行调查统计，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解答下列问题：
(1)这种树苗成活的频率稳定在
，成活的概率估计值为
.
(2)该地区已经移植这种树苗5万棵.
①估计这种树苗成活
万棵；
②如果该地区计划成活18万棵这种树苗，那么还需移植这种树苗约多少万棵？
【变式1】班主任王老师将6份奖品分别放在6个完全相同的不透明礼盒中，准备将它们奖给小英等6位获“爱集体标兵”称号的同学.这些奖品中3份是学习文具，2份是科普读物，1份是科技馆通票.小英同学从中随机取一份奖品，恰好取到科普读物的概率是(
)
(A)
(B)
(C)
(D)
【变式2】绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：
则绿豆发芽的概率估计值是(
)
(A)0.96
(B)0.95
(C)0.94
(D)0.90
【变式3】小颖有20张大小相同的卡片，上面写有1~20这20个数字，她把卡片放在一个盒子中搅匀，每次从盒中抽出一张卡片，记录结果如下：
实验次数
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
3的倍数的频数
5
13
17
26
32
36
39
49
55
61
3的倍数的频率
（1）完成上表；
（2）频率随着实验次数的增加，稳定于数值
左右.
（3）从试验数据看，从盒中摸出一张卡片是3的倍数的概率估计是
（4）根据推理计算可知，从盒中摸出一张卡片是3的倍数的概率应该是
【变式4】某校九年级一班的暑假活动安排中，有一项是小制作评比.作品上交时限为8月1日至30日，班委会把同学们交来的作品按时间顺序每5天组成一组，对每一组的件数进行统计，绘制成如图所示的统计图.已知从左到右各矩形的高度比为2∶3∶4∶6∶4∶1.第三组的频数是12.请你回答：
(1)本次活动共有
件作品参赛；
(2)上交作品最多的组有作品
件；
(3)经评比，第四组和第六组分别有10件和2件作品获奖，那么你认为这两组中哪个组获奖率较高？为什么？
(4)对参赛的每一件作品进行编号并制作成背面完全一致的卡片，背面朝上放置，随机抽出一张卡片，抽到第四组作品的概率是多少？
知识点四、等可能事件的概率
一般地，如果一个试验有n种等可能的结果，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为:P(A)=
几何图形中的概率：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型。某事件发生的概率等于该事件发生的所有等可能结果所组成的图形的面积与所有可能结果组成的图形的总面积的总值。
即P(A)=
【例1】从某班学生中随机选取一名学生是女生的概率为，则该班女生与男生的人数比是（　　）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
【例2】某市电视台在今年5月举办的“开心就唱”歌手大赛活动中，号召观众发短信为
参赛者投支持票，投票短信每1万条为1组，每组抽出1个一等奖，3个二等奖，6
个三等奖．张艺同学发了1条短信，她的获奖概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【例3】小明所在的七年级二班有54人,在投票选举班长时,小明得了28票,超过半数且票数第一,当选班长,则小明当班长的支持率为（
）
A.
B.
C.
D.
【例4】如图，是由边长分别为2a和a的两个正方形组成，闭上眼睛，由针随意扎这个图形，小孔出现在阴影部分的概率是
.
【例5】某高级酒店为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，并规定：顾客消费100以上（不包括100元），就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准九折、八折、七折、五折区域顾客就可以获得此项待遇（转盘等分成6份）
⑴甲顾客消费80元，是否可获得转动转盘的机会？
⑵乙顾客消费150元，获得打折待遇的概率是多少？
他获得九折，八折，七折，五折待遇的概率分别是多少？
【例6】小明和小华为了获得一张门票，设计了一个方案，转动如图所示的转盘，当转盘停止后，如果指针停在阴影区域，那么小明获得了门票；如果指针停在白色区域，那么小华获得门票（转盘被等分成6个扇区，若指针停在边界处，则重新转动转盘）。计算小明获得门票的概率，并说明这个方案是否公平?
【变式1】某市民政部门：“五一”期间举行“即开式福利彩票”的销售活动，发行彩票10万张（每张彩票2元），在这此彩票中，设置如下奖项：
奖金（元）
1000
500
100
50
10
2
数量（个）
10
40
150
400
1000
10000
如果花2元钱购买1张彩票，那么所得奖金不少于50元的概率是（
）
A、
B、
C、
D、
【变式2】小张外出旅游时带了两件上衣(一件蓝色,一件黄色)和3条长裤(一件蓝色,一件
黄色,一件绿色),他任意拿出一件上衣和一条长裤,正好是同色上衣和长裤的概率是
(
)
A.
B.
C.
D.
【例3】在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色其他外
完全相同，小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率分别为15%
和45%，则口袋中白色球的数目很可能是
．
【变式4】如图所示，小李和小陈做转陀螺游戏，他们同时分别转动一个陀螺，当两个陀
螺都停下来时，与桌面相接触的边上的数字都是奇数的概率是　　　　　．
【变式5】小明和小亮用如下的同一个转盘进行“配紫色”游戏．游戏规则如下：连续转动两次转盘，如果两次转盘转出的颜色相同或配成紫色（若其中一次转盘转出蓝色，另一次转出红色，则可配成紫色），则小明得1分，否则小亮得1分．你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由；若不公平，请你修改规则使游戏对双方公平．
【变式6】在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成16份），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券10元．
（1）求每转动一次转盘所获购物券金额的平均数；
（2）如果你在该商场消费125元，你会选择转转盘还是直接获得购物券？说明理由．
【巩固练习】
1、下列事件中，属于随机事件的是（
）
A.掷一枚普通正六面体骰子所得点数不超过6
；
B.买一张体育彩票中奖；
C.太阳从西边落下；
D.口袋中装有个红球，从中摸出一个白球．
2、同时掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下
列事件中是不可能发生的事件是(
)
A.点数之和为12
B.点数之和小于3
C.点数之和大于4且小于8
D.点数之和为13
3．从一副扑克牌中任意抽出一张，则下列事件中可能性最大的是(
)
A.抽出一张红心
B.抽出一张红色老K
C.抽出一张梅花J
D.抽出一张不是Q的牌x
4、下列事件中，哪些是确定事件？哪些是不确定事件？哪些是必然事件？哪些是不可能事件？
(1)上海每年都有人出生.
(2)掷一枚均匀的骰子，3点朝上.
(3)你将长到4
m.
(4)15道选择题全选A.
(5)你最喜欢的篮球队将获得CBA冠军.
(6)打开电视，正在播电视剧.
(7)任买一张足球彩票，中一等奖.
5.不透明的口袋里装有2个红球2个白球(除颜色外其余都相同).
事件A：随机摸出一个球后放回，再随机摸出一个球，两次都摸到红球；
事件B：随机摸出一个球后不放回，再随机摸出一个球，两次都摸到相同颜色的球.
试比较上述两个事件发生的可能性哪个大？请说明理由.
6.研究“掷一枚图钉，钉尖朝上”的概率，两个小组用同一个图钉做试验进行比较，他们的统计数据如下：
(1)请你估计第一小组和第二小组所得的概率分别是多少？
(2)你认为哪一个小组的结果更准确？为什么？
7、两位同学进行投篮，甲同学投20次，投中15次；乙同学投15次，投中9次，
命中率高的是，对某次投篮而言，二人同时投中的概率是______________。
8、不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有（
）个，黄球有1个，现从中任意摸出一个白球的概率是，则口袋里有蓝球（
）个。
【课后作业】
1.下列不是必然事件的是(
)
A.角平分线上的点到角两边的距离相等
B.三角形任意两边之和大于第三边
C.面积相等的两个三角形全等
D.三角形内心到三边距离相等
2.下列事件中是确定事件的是(
)
A.篮球运动员身高都在2米以上
B.弟弟的体重一定比哥哥轻
C.今年教师节一定是晴天
D.吸烟有害身体健康
3.有两个事件，事件A：367人中至少有2人生日相同；事件B：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数.下列说法正确的是(
)
A.事件A,B都是不确定事件
B.事件A,B都是必然事件
C.事件A是不确定事件，事件B是必然事件
D.事件A是必然事件，事件B是不确定事件
4.如图，是一个放在桌子上的长方体，这个长方体的长、宽、高分别是4，2，3，若在这个长方体的表面上停了一只蚊子，则蚊子停在长方体左侧面上的概率是_________
5、请设计一个摸球游戏，使得P（摸到红球）=，P（摸到白球）=，说明设计方案。
6.一副扑克牌，任意从中抽一张，求：
（1）抽到大王的概率
（2）抽到A的概率
（3）抽到红桃的概率
（4）抽到红色牌的概率
（5）抽到红色牌或黑色牌的概率（不包括大、小王）
7.
小明和小刚用如图所示的两个转盘做配紫色游戏，游戏规则是：分别旋转两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，则可以配成紫色．此时小刚得1分，否则小明得1分．
这个游戏对双方公平吗？请说明理由．若你认为不公平，如何修改规则才能使游戏对双方公平？
【强化提升】
1、“任意打开一本200页的数学书，正好是第35页”，这是
事件(选填“不确定”或“确定”).
2.如果甲邀请乙玩一个同时抛掷两枚硬币的游戏，游戏的规则如下：同时抛出两个正面，乙得1分；抛出其他结果，甲得1分.谁先累积到10分，谁就获胜.你认
为
获胜的可能性更大.
3.在“抛掷正六面体”的试验中，如果正六面体的六个面分别标有数字“1”“2”“3”“4”“5”和“6”，如果试验的次数增多，出现数字“1”的频率的变化趋势是________.
4.如图，在某十字路口，汽车可直行、可左转、可右转.若这三种可能性相同，则两辆汽车经过该路口都向右转的概率为________.
5、在“六·一”儿童节来临之际，某妇女儿童用品商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成20份），并规定：顾客每购物满100元，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得80元、50元、20元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可直接获得15元的购物券．
转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客更合算？请说明理由．
7、小明和小亮用图中的转盘做游戏：分别转动转盘两次，若两次数字之差（大数减小数）大于或等于2，小明得1分，否则小亮得1分．你认为游戏是否公平？若公平，请说明理由；若不公平，请你修改规则，使游戏对双方公平．