角的平分线
知识梳理
1.角是＿＿＿图形，＿＿＿所在的直线是它的对称轴.
2.（1）通过
＿＿＿可以作出一个角的平分线；
(2)可以用
＿＿＿来画一个角的平分线；
(3)利用
＿＿＿作角的平分线。
3.经过一点作已知直线的垂线，要考虑这一点可能在＿＿＿
或＿＿＿
4.定理：角平分线上的点到角
＿＿＿_相等.
课堂作业
1.只用无刻度的直尺就能作出的是
（
）
A.
延长线段AB
至点C，使BC=AB
B.过直线l上一点A作l的垂线
C.作已知角的平分线
D.以点O为顶点，经过点P作射线OP
2.如图，P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D.若PD=2，则点P到边OA
的距离是
（
）
A.
1
B.2
C.3
D.4
3.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC
于点D.若CD=3.5
cm，则点D到直线AB的距离························································是＿＿＿
cm.
4.如图，在△ABC中，∠C=90°，用直尺和圆规在AC上作点P，使点P到点A、B的距离相等(保留作图痕迹).
5.
已知一腰和底边上的高，求作等腰三角形(不必写作法，保留作图痕迹).
6.如图，直线AB与直线BC相交于点B，D是直线BC上一点.求作一点E，使直线DE//AB，且点E到B、D两点的距离相等(保留作图痕迹)
课后作业
7如图，在Rt△ABC中，∠C=90，
以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交边AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于，MN的长为半径画弧，两弧交于点P.作射线AP交边BC于点D.若CD=4.AB=15，则△ABD的面积为
（
)
A.
15
B.
30
C.45
D.
60
8.如图，AB//CD，OA、OC分别平分∠BAC和∠ACD,OE⊥AC于点E，且OE=3，则AB、CD之间的距离为＿＿＿
9.
如图，已知线段AB.
(1)用尺规作图的方法作出线段AB的垂直平分线(保留作图痕迹，不要求写出作法).
(2)在(1)中所作的直线l上任意取两点M、N(线段AB的上方)，连接AM、AN、BM、BN.求证：∠MAN=∠MBN.
10.如图.
(1)利用尺规作图，找一点D，使D为AB与BC的垂直平分线的交点(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在△ABC的下方(在网格中)直接画出△EBC，使△EBC与△ABC全等.
11.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.
(1)用直尺和圆规作AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)连接BD，求证：BD平分∠CBA.
12.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线
上的一点，E是AC的中点.
(1)利用尺规按下面的要求作图，并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹，不写作法)：作∠DAC的平分线AM，连接BE并延长交AM于点F；
(2)试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由.
答案
1.轴对称
角平分线
2.（1）折纸
(2)量角器
（3）尺规
3.直线上直线外
4、
两边的距离
[课堂作业]
1.D
2.B
3.3.5
4.如图，分别以A、B为圆心，以大于AB的长为半轻作弧，两孤相交于M.N
两点，过点M.N作直线交AC于点P，则点P即为所求
5.
如图，已知AC和CD，△ABC为所求作的等腰三角形
6.
如图，E即为所求作的点
[课后作业]
7.B
8.6
9.
(1)如图，直线1为线段AB的垂直平分线
(2)如图
∵直线为线段AB的垂直平分线，点M、N在直线！上.∴MA=MB，NA=NB.又∵MN=MN，.∴△MAN≌△MBN.∴
∠MAN=∠MBN
10.(1)如图，D即为所求作的点(2)如图，△E1BC和△E2BC即为所求
11.(1)如图，DE就是要求作的AB边上的垂直平分线(2)如图，∵DE是AB边上的垂直平分线，∴.AD=BD..∴∠ABD=∠A=30°.∵∠C=90°.∴∠ABC=90°-∠A=90°-30°=60°.：∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=60°-30°=30°.∴∠ABD=∠CBD，即BD平分∠CBA
12.(1)如图所示(2)AF//BC，AF=BC理由：∵AB=AC.∴∠ABC=∠C.∴∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C.由作图，可知∠DAC=2∠FAC，∴∠C=∠FAC.∴AF/BC.∵E是AC的中点，∴.AE=CE.又∵∠AEF=∠CEB.∠FAE=∠C.∴△AEF≌△CEB.∴AF=BC.角的平分线(2)
知识梳理
1.定理:＿＿角的内部到角两边距离相等的点在角的＿＿＿上.
2.三角形三条内角平分线相交于＿＿＿点，这点到三角形＿＿＿的距离相等.
课堂作业
1.如图，在△ABC中，P是∠BAC、∠ABC的平分线的交点，那么点P一定在
(
）
A.BC边的垂直平分线上
B.AC边的高上
C.∠ACB的平分线上
D.
△ABC的中线BE上
2.如图，已知点P到BE、BD、AC的距离gh恰好相等，则点P的位置：①在∠B的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠ECA的平分线上；④恰是∠B、∠DAC、∠ECA的平分线的交点.上述结论中，正确的结论有
(
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3.在△ABC中，AB=20，BC=30，AC=40，0是三条角平分线的交点，则△AOB、△BOC、△AOC
面积的比为
（
)
A.
1:1:1
B.1:2:3
C.3:4:5
D.2:3:4
4.等边三角形ABC三内角平分线相交于点O，且△AOB的面积是2，则△ABC的面积是＿＿＿
5.
现有下列说法：①角平分线上任意一点到角两边的距离相等；②到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上；③三角形三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等；④三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等.其中，正确的有
＿＿（填序号）.
6.如图，方格纸中的每个小方格都是相同的正方形，请利用直尺和圆规在小方格的格点(即正方形的顶点》处标出点P，使点P落在∠AOB的平分线上(保留作图痕迹，不写作法).
7.如图，CE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，CE、BF相交于点D，且BD=CD.求证：点D在∠BAC的平分线上.
课后作业
8.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以点A为圆心，以任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M、N，再分别以点M、N为圈心，以大于÷MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法：①
AD
是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的垂直平分线上；④S△DAC：S△ABC=1：3.其中，正确的个数是
（
）
A.
1
B.2
C.
3
D.
4
9.如图，∠CDA=∠BEA=90°，且AD=AE，则点O一定在＿＿＿
的平分线上，点A在
＿＿＿的平分线上.
10.如图，∠AOB=90°；OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P放在射线OM上移动，两直角边分別与边OA、OB交于点C、D，请你猜想PC是否等于PD，并说明理由.
11.利用如图所示的网格画图(保留作图痕迹，不写作法)：
(1)在BC上画一点P，使点P到AB、AC的距离相等；
(2)在射线AP上画一点Q，使QA=QB.
12.如图，AP、CP分别是△ABC的外角∠MAC、∠NCA的平分线，它们交于点P，过点P作PD⊥BM于点D，PF⊥BN于点F，连接BP，则BP是∠MBN的平分线吗？请说明理由.
13.在△ABC中，点O在∠BAC的平分线上，且OB=OC.
(1)如图1，若点O在边BC上，求证：AB=AC.
(2)如图②，若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC.
(3)若点O在△ABC的外部，AB=AC成立吗？请画图表示.
答案
[知识梳理]
1.平分线
2.一
三边
[课堂作业]
1.
C
2.
D3.
D
4.
6
5.
①②④
6.略
7.∵CE⊥AB，BF⊥AC，.∴∠DEB=∠DFC=90°.在△DEB和△DFC中，∠EDB=∠FDC，∠DEB=∠DFC，BD=CD.∴△DEB≌△DFC.DE=DF.∴点D在∠BAC的平分线上
[课后作业]
8.D
9.
∠BAC
∠DOE
10.
PC=PD
理由：如图，过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E、F，∴∠PEC=∠PFD=90°.又：∵OM是∠AOB的平分线.∴PE=PF.∵∠AOB=90°，∠PEO=∠PFO=90°.∴∠EPF=360°-90°×3=90°又∵∠CPD=90°，.∴∠EPC+∠CPF=∠DPF+∠CPF=90°..
∴∠EPC=∠FPD.在△EPC和△FPD中，∠PEC=∠PFD，∠EPC=∠FPD，PE=PF，
:∴△PEC≌△PFD.∴PC=PD.
11.(1)如图，P即为所求作的点(2)如图，Q即为所求作的点
12.BP是∠MBN的平分线
理由：过点P作PE⊥AC于点E.：∵AP、CP
分别是∠MAC、∠NCA的平分线，且PD⊥BM，PF⊥BN，PE⊥AC，.∴PD=AC,
PE，PF=PE..∴PD=PF.又∵PD⊥BM,PF⊥BN，.点P在∠MBN.
的平分线上，即BP是∠MBN的平分线.
13.(1)过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E、F.由角平分线的性质，知OE=OF，在Rt△OEB
和Rt△OFC中，∵OE=OF，OB=OC，.∴Rt△OEB≌Rt△OFC.∴∠B=∠C.∴AB=AC(2)过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E、F.由角平分线的性质，知OE=OF.在Rt△OEB和Rt△OFC中，OE=OF，OB=OC..Rt△OEB≌Rt△OFC..
∴∠OBE=∠OCF.∴OB=OC，.∴∠OBC=∠OCB.≌∠OBE+∠OBC=∠OCF+∠OCB，即∠ABC=∠ACB..AB=AC
(3)不一定成立
当∠BAC的平分线所在的直线与边BC的垂直平分线重合时，有AB=AC，如图①所示；否则，AB≠AC，如图②所示
