北师大版八年级下册数学 1.1 等腰三角形同步练习（Word版 含解析）

1.1
等腰三角形
同步测试
一．选择题
1．等腰三角形的周长为20cm，一边长为8cm，那么腰长为（　　）
A．8cm
B．10cm
C．6cm或8cm
D．12cm或8cm
2．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB＝AC，∠BAC＝40°，则∠CHD的度数是（　　）
A．25°
B．35°
C．45°
D．55°
3．如图，△ABC中，BE是角平分线，DE∥BC交AB于D，交AC于E，若DE＝8，AD＝5，则AB等于（　　）
A．12
B．13
C．14
D．15
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝α，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA，则∠DAE的大小为（　　）
A．α
B．
C．
D．α
5．在三角形中已知两个内角，能判定这个三角形是等腰三角形的是（　　）
A．30°、60°
B．40°、70°
C．50°、60°
D．100°、30°
6．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB+BC＝16cm，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于E，交AC于F，连接BF，则△BCF的周长和∠EBF的度数分别等于（　　）
A．16cm，15°
B．8cm，15°
C．16cm，10°
D．16cm，25°
7．下列给出的5个图中，能判定△ABC是等腰三角形的有（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
8．如图，在△ABC中，∠C＝63°，AD是BC边上的高，∠ABD＝45°，点E在AC上，BE交AD于点F，DF＝CD，则∠AFB的度数为（　　）
A．127°
B．117°
C．107°
D．63°
9．如图，等边△ABC中，AB＝4，点P在边AB上，PD⊥BC，DE⊥AC，垂足分别为D、E，设PA＝x，若用含x的式子表示AE的长，正确的是（　　）
A．2﹣x
B．3﹣x
C．1
D．2+x
10．如图，△ABC中，AB＝AC，作△BCE，点A在△BCE内，点D在BE上，AD垂直平分BE，且∠BAC＝m°，则∠BEC＝（　　）
A．90°﹣m°
B．180°﹣2m°
C．30°+m°
D．m°
二．填空题
11．边长为6cm的等边三角形的面积是　
　．
12．等边△ABC周长为9，则△ABC的面积为　
　．
13．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为点D，BE＝8cm，∠B＝15°，则AC等于　
　．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DE，∠BAD＝20°，∠EDC＝10°，则∠ADE＝　
　．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，点E为AC上任意一点（不与点A、C重合），连结EB，分别过点A、B作BE、AE的平行线交于点F，则EF的最小值为　
　．
三．解答题
16．如图，△ABC中BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F．
（1）若∠A＝70°，求∠BDC的度数；
（2）求证：EF＝BE+CF．
17．如图，已知在△ABC中，AC＝BC＝AD，∠CDE＝∠B，
求证：△CDE是等腰三角形．
18．已知：在△ABC中，AB＝AC，点E在AB上，以BE为底边作等腰△DBE，取CE的中点为G，连接AG、DG．
（1）如图1，若BE＝AE，∠BDE＝120°，∠BAC＝60°，求证AG⊥DG；
（2）如图2，若BE≠AE，∠BDE+∠BAC＝180°，则（1）中结论仍然成立吗？说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：∵等腰三角形的周长为20cm，
∴当腰长＝6cm时，底边＝20﹣8﹣8＝4cm，
∴当底边＝6cm时，腰长＝＝6cm，
∴腰长为6cm或8cm，
故选：C．
2．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠BAC＝40°，
∴∠ACB＝×（180°﹣40°）＝70°，
∵AD是△ABC的中线，
∴AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAC＝20°，
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝35°，
∴∠CHD＝∠CAD+∠ACE＝55°．
故选：D．
3．解：∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠DEB，
∴BD＝DE＝8，
∵AB＝AD+BD，
∴AB＝5+8＝13．
故选：B．
4．解：∵AB＝BD，AC＝CE，
∴∠BAD＝∠BDA，∠E＝∠CAE，
设∠BAD＝∠BDA＝x，∠E＝∠CAE＝y，∠DAC＝z，
则，
解得y+z＝α，
∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝；
故选：D．
5．解：A、∵三角形中已知两个内角为30°、60°，
∴第三个内角为180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴这个三角形是直角三角形，不是等腰三角形，故选项A不符合题意；
B、∵三角形中已知两个内角为40°、70°，
∴第三个内角为180°﹣40°﹣70°＝70°，
∴这个三角形由两个内角相等，
∴这个三角形是等腰三角形，故选项B符合题意；
C、∵三角形中已知两个内角为50°、60°，
∴第三个内角为180°﹣50°﹣60°＝70°，
∴这个三角形不是等腰三角形，故选项C不符合题意；
D、∵三角形中已知两个内角为100°、30°，
∴第三个内角为180°﹣100°﹣30°＝50°，
∴不是等腰三角形，故选项D不符合题意；
故选：B．
6．解：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，
∴∠ABC＝∠ACB＝65°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AF＝BF，∠BDE＝90°，∠ABF＝∠A＝50°，∠E＝25°，
∴∠BFD＝90°﹣∠ABF＝40°，
∴∠EBF＝∠BFD﹣∠E＝15°，
∵AB+BC＝16cm，
∴△BCF的周长为：BC+CF+BF＝BC+CF+AF＝BC+AC＝BC+AB＝16（cm）．
故选：A．
7．解：图①中，∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣70°﹣66°＝44°，
∴∠A≠∠B≠∠C，
∴△ABC不是等腰三角形；
图②中，∵∠B+∠C＝140°，∠B＝70°，
∴∠C＝140°﹣70°＝70°，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形；
图③中，∵AD∥BC，
∴∠C＝∠CAD＝50°，
∵∠B＝50°，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形；
图④中，∵AD∥BC，
∴∠BCA＝∠CAD＝30°，∠BAD＝180°﹣∠B＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BAC＝60°﹣30°＝30°，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴△ABC是等腰三角形；
图⑤中，∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D＝30°，
∵∠BCD＝∠A+∠B＝60°，
∴∠B＝60°﹣∠A＝30°，
∴∠B＝∠A，
∴△ABC是等腰三角形；
能判定△ABC是等腰三角形的有4个，
故选：C．
8．解：∵AD是BC边上的高，∠ABD＝45°，
∴∠BAD＝∠ABD＝45°，
∴AD＝BD，
∴∠CAD＝180°﹣∠C﹣∠BAD﹣∠ABD＝180°﹣63°﹣45°﹣45°＝27°，
在△ACD和△BFD中，
，
∴△ACD≌△BFD（SAS），
∴∠FBD＝∠CAD＝27°，
∴∠AFB＝∠FBD+∠BDF＝27°+90°＝117°，
故选：B．
9．解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝4，∠B＝∠C＝60°，
∵PD⊥BC，DE⊥AC，
∴BD＝PB，CE＝CD，
∵PA＝x，
∴BP＝4﹣x，
∴BD＝PB＝2﹣x，
∴CD＝4﹣（2﹣x）＝2+x，
∴CE＝1+x，
∴AE＝4﹣（1+x）＝3﹣x，
故选：B．
10．解：∵AD垂直平分BE，
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵AB＝AC，
∴AE＝AC，
∴∠AEC＝∠ACE，
∴∠BEC＝∠BEA+∠ACE，
∵∠BAC＝m°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣m°，
∴∠BEC＝（180°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝[180°﹣（∠ABC+∠ACB）]＝[180°﹣（180°﹣m°）]＝m°，
故选：D．
二．填空题
11．解：如图，等边三角形高线即中线，故D为BC中点，
∵AB＝6cm，
∴BD＝3cm，
∴AD＝＝3，
∴等边△ABC的面积＝BC?AD＝×6×3＝9（cm2）．
故答案为：9cm2．
12．解：，
过A作AD⊥BC于D，
∵等边△ABC周长为9，
∴AB＝AC＝BC＝3，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD＝BC＝，
∴AD＝＝＝，
∴△ABC的面积S＝＝＝，
故答案为：．
13．解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，
∴∠BAC＝90°﹣15°＝75°，
∵DE垂直平分AB，BE＝8cm，
∴BE＝AE＝8cm，
∴∠EAB＝∠B＝15°，
∴∠EAC＝75°﹣15°＝60°，
∵∠C＝90°，
∴∠AEC＝30°，
∴AC＝AE＝×8＝4（cm），
故答案是：4cm．
14．解：∵AD＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，设∠B＝∠C＝x，则∠DAE＝∠DEA＝∠C+∠EDC＝x+10°，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴20°+10°+x+2x＝180°，
∴x＝50°，
∴∠DAE＝∠DEA＝60°，
∴∠ADE＝60°，
故答案为60°．
15．解：如图，过点B作BH⊥AC于H．
在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝2，∠C＝30°，
∴AC＝2AB＝4，BC＝AB?cos30°＝2，
∵∠BHC＝90°，
∴BH＝BC＝，
∵BF∥AC，
∵当EF⊥AC时，EF的值最小，最小值＝BH＝，
故答案为
三．解答题
16．（1）解：∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣70°＝110°，
∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝ACB，
∴∠DBC+∠DCB＝×110°＝55°，
∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝125°；
（2）证明：∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，
∴∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，
∴BE＝DE，CF＝DF，
∴EF＝DE+DF＝BE+CF．
17．证明：∵∠ADE+∠CDE+∠BDC＝180°，∠BCD+∠B+∠BDC＝180°，∠CDE＝∠B，
∴∠ADE＝∠BCD，
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
在△ADE和△BCD中，
，
∴△ADE≌△BCD（ASA），
∴DE＝CD，
∴△CDE是等腰三角形．
18．（1）证明：延长DG至H，使GH＝GD，连接AD，AH，CH，如图1，
∵G为CE的中点，
∴GC＝GE，
在△CHG和△EDG中，
，
∴△CHG≌△EDG（SAS），
∴CH＝ED，∠HCG＝∠DEG，
∵BD＝ED，∠BDE＝120°，
∴∠BED＝∠EBD＝30°，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵AE＝BE，
∴CE⊥AB，
∴∠BED+∠DEG＝90°，∠BAC+∠ACE＝90°，
∴∠HCG＝∠DEG＝60°，∠ACE＝30°，
∴∠ACH＝30°，
∴∠ABD＝∠ACH，
在△ABD和△ACH中，
，
∴△ABD≌△ACH（SAS），
∴AD＝AH，
∵HG＝DG，
∴AG⊥DG；
（2）解：（1）中结论仍然成立．
理由：延长DG至M，使GM＝GD，连接AD，AM，CM，如图2，
∵G为CE的中点，
∴GC＝GE，
在△CMG和△EDG中，
，
∴△CMG≌△EDG（SAS），
∴CM＝ED，∠MCG＝∠DEG，
∵BD＝ED，
∴∠BED＝∠EBD＝180°﹣∠BDE，
∵∠BDE+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠BDE，
∴∠BAC＝2∠BED＝2∠EBD，
∵∠BEC＝∠BED+∠DEG＝∠BAC+∠ACE，
∴∠BED+∠MCG＝∠BAC+∠ACE，
∵∠MCG＝∠ACM+∠ACE，
∴∠BED+∠ACM+∠ACE＝2∠BED+∠ACE，
∴∠ACM＝∠BED＝∠ABD，
在△ABD和△ACM中，
，
∴△ABD≌△ACM（SAS），
∴AD＝AM，
∵MG＝DG，
∴AG⊥DG．