北师大版 八年级下册数学 1.4 角平分线 同步练习（Word版 含解析）

1.4角平分线 同步练习
一．选择题
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，3DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边距离等于8，点Q是OB边上的任意一点，则下列选项正确的是（　　）
A．PQ＞8 B．PQ≥8 C．PQ＜8 D．PQ≤8
3．如图，BM是∠ABC的平分线，点D是BM上一点，点P为直线BC上的一个动点．若△ABD的面积为9，AB＝6，则线段DP的长不可能是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5.5
4．如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABE，DE⊥BC，如果BC＝10cm，则△DEC的周长是（　　）
A．8cm B．10cm C．11cm D．12cm
5．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于E点，连接AE，∠AEB的度数是（　　）
A．30° B．35° C．45° D．35°
6．如图，已知BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E点，AB＝6cm，BC＝4cm，S△ABC＝10cm2，则DE的长度为（　　）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
7．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．若AD＝4，则点D到BC的距离为（　　）
A．1 B． C． D．4
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（　　）
A．BE是△ABD的中线 B．BD是△BCE的角平分线
C．∠1＝∠2＝∠3 D．S△AEB＝S△EDB
9．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝20，且BD：DC＝3：2，则点D到AB边的距离为（　　）
A．8 B．12 C．10 D．15
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（　　）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
二．填空题
11．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是　 　．
12．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．若S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则AC＝　 　．
13．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若△ABC的面积是28cm2，AB＝20cm，AC＝8cm，则DE＝　 　cm．
14．如图所示，已知P是△ABC三条角平分线的交点，PD⊥AB于点D，若PD＝5，△ACB的周长为20，则△ABC的面积是　 　．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为D，其中CE＝4.5，AB＝10，那么△ABE的面积为　 　．
三．解答题
16．如图，在△ABC中，∠CAB＝60°，∠CAB的平分线AP与∠CBA的平分线BP相交于点P，连接CP．
（1）求证：CP平分∠ACB；
（2）若AP＝4，△ABC的周长为20，求△ABC的面积．
17．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E、D为垂足，CF＝CB．
（1）求证：BE＝FD；
（2）若AC＝10，AD＝8，求四边形ABCF的面积．
18．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA于点H．
（1）若PH＝8cm，求点P到直线BC的距离；
（2）求证：点P在∠HAC的平分线上．
参考答案
一．选择题
1．解：过D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，
∴DE＝CD，
∵AC＝8，3DC＝AD，
∴CD＝2，
∴DE＝2，
即点D到AB的距离是2，
故选：C．
2．解：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于8，
∴点P到OB的距离为8，
∵点Q是OB边上的任意一点，
∴PQ≥8．
故选：B．
3．解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，
∵△ABD的面积为9，AB＝6，
∴DE＝，
∵BM是∠ABC的平分线，
∴DE＝3，
∴DP≥3，
故选：A．
4．解：∵BD平分∠ABE，DE⊥BC，DA⊥AB
∴AD＝DE
又∵BD＝BD
∴△BAD≌△BED（HL）
∴AB＝BE
又∵AB＝AC
∴BE＝AC
BC＝BE+EC＝AC+EC＝AD+DC+EC＝DE+DC+EC＝10cm
∴△DEC的周长是10cm，
故选：B．
5．解：作EF⊥AC交CA的延长线于F，EG⊥AB于G，EH⊥BC交CB的延长线于H，
∵CE平分∠ACB，BE平分∠ABD，
∴EF＝EH，EG＝EH，
∴EF＝EF，又EF⊥AC，EG⊥AB，
∴AE平分∠FAG，
∵∠CAB＝40°，
∴∠BAF＝140°，
∴∠EAB＝70°，
∵∠ACB＝90°，∠CAB＝40°，
∴∠ABC＝50°，
∴∠ABH＝130°，又BE平分∠ABD，
∴∠ABE＝65°，
∴∠AEB＝180°﹣∠EAB﹣∠ABE＝45°，
故选：C．
6．解：过D作DF⊥BC于F，
∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DF＝DE，
∵S△ABC＝10cm2，AB＝6cm，BC＝4cm，
∴×BC×DF+×AB×DE＝10（cm），
∴×4×DE+×6×DE＝10（cm），
∴DE＝2（cm），
故选：B．
7．解：过D点作DH⊥BC于H，如图，
∵BD平分∠ABC，DA⊥AB，DH⊥BC，
∴DH＝DA＝4．
故选：D．
8．解：A．∵AE＝DE，
∴BE是△ABD的中线，故本选项不符合题意；
B．∵BD平分∠EBC，
∴BD是△BCE的角平分线，故本选项不符合题意；
C．∵BD平分∠EBC，
∴∠2＝∠3，
但不能推出∠2、∠3和∠1相等，故本选项符合题意；
D．∵SAEB＝AE×BC，S△EDB＝DE×BC，AE＝DE，
∴S△AEB＝S△EDB，故本选项不符合题意；
故选：C．
9．解：∵BC＝20，BD：DC＝3：2，
∴CD＝8，
∵∠C＝90°
AD平分∠BAC
∴D到边AB的距离＝CD＝8．
故选：A．
10．解：∵BE是AC边的中线，
∴AE＝CE，
∵△ABE的面积＝，△BCE的面积＝AB，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积，故①正确；
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC+∠ACB＝90°，∠FAG+∠DAC＝90°，
∴∠FAG＝∠ACB，
∵CF是∠ACB的角平分线，
∴∠ACF＝∠FCB，∠ACB＝2∠FCB，
∴∠FAG＝2∠FCB，故②错误；
∵在△ACF和△DGC中，∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ACF＝∠FCB，
∴∠AFG＝180°﹣∠BAC﹣∠ACF，∠AGF＝∠DGC＝180°﹣∠ADC﹣∠FCB，
∴∠AFG＝∠AGF，
∴AF＝AG，故③正确；
根据已知不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出HB＝HC，故④错误；
即正确的为①③，
故选：D．
二．填空题
11．解：过P作PE⊥OA于点E，
∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，
∴PE＝PD，
∵PD＝2，
∴PE＝2，
∴点P到边OA的距离是2．
故答案为2．
12．解：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝4，
∵S△ABD+S△ACD＝S△ABC，
∴×8×4+×AC×4＝28，
∴AC＝6．
故答案为6．
13．解：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝AB?DE+AC?DF，
∵△ABC面积是28cm2，AB＝20cm，AC＝8cm，
∴×20DE+×8DF＝10DE+4DF＝14DE＝28，
解得DE＝2cm．
故答案为：2．
14．解：作PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，如图，
∵点P是△ABC三条角平分线的交点，
∴PE＝PF＝PD＝5，
∴S△ABC＝S△PAB+S△PBC+S△PAC
＝PD?AB+PE?BC+PF?AC
＝（AB+BC+AC）
＝×20
＝50，
故答案为：50．
15．解：∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EC⊥BC，
∴ED＝EC＝4.5，
∴S△ABE＝×10×4.5＝22.5．
故答案为22.5．
三．解答题
16．（1）证明：过点P作PD⊥AB于D，作PE⊥BC于E，作PF⊥AC于F，
则PD，PE，PF分别是P到AB，BC，CA的距离，
∵P是△ABC角平分线的交点，
∴PD＝PE＝PF，
∴CP平分∠ACB；
（2）解：∵∠CAB＝60°，
∴∠PAB＝30°，
在Rt△PAD中，PA＝4，
∴PD＝2，
∴S△ABC＝S△APB+S△BPC+S△CPA
＝AB?PD+BC?PE+CA?PF
＝（AB+BC+CA）?PD
＝×20×2
＝20．
17．（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，
∴CD＝CE，
在Rt△CBE和Rt△CFD中，
，
∴Rt△CBE≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝FD；
（2）解：在Rt△ACD中，
∵AC＝10，AD＝8，
∴CD＝＝6，
∵AC＝AC，CD＝CE，
∴Rt△ACD≌Rt△ACE（HL），
∴S△ACD＝S△ACE，
∵Rt△CBE≌Rt△CFD，
∴S△CBE＝S△CFD，
∴四边形ABCF的面积＝S四边形AECD＝2S△ACD＝2××6×8＝48．
18．（1）解：作PQ⊥BE于Q，如图，
∵BP平分∠ABC，
∴PH＝PQ＝8，
即点P到直线BC的距离为8cm；
（2）证明：∵PC平分∠ACE，
∴PD＝PQ，
而PH＝PQ，
∴PD＝PH，
∴点P在∠HAC的平分线上．