北师大版 八年级下册数学 1.1等腰三角形 同步测试 (Word版 含解析)

1.1等腰三角形 同步测试
一．选择题
1．下列说法错误的是（　　）
A．等腰三角形的两个底角相等
B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
C．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等
D．等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍
2．等腰三角形的一边等于3，一边等于7，则此三角形的周长为（　　）
A．10 B．13 C．17 D．13或17
3．如图所示，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED＝50°，则∠ABE等于（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
4．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，MN垂直平分AB交AB于点M，交AC于点N，连接BN，ND⊥BC于点D，则∠BND的度数为（　　）
A．65° B．75° C．55° D．50°
5．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE，若∠D＝70°，则∠B等于（　　）
A．70° B．30° C．40° D．20°
6．在下列各图中，可以由题目条件得出∠1＝∠2的图形个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°，若EF＝2，则DF＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°，则∠C的度数是（　　）
A．36° B．38.5° C．64° D．77°
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝55°，P是边上AB的一个动点（不与顶点A重合），则∠BPC的度数可能是（　　）
A．55° B．70° C．110° D．130°
10．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论，其中正确的有（　　）
①△BDF是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③若∠A＝50°，则∠BFC＝115°；④DF＝EF．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题
11．等腰△ABC中，腰AB的垂直平分线交AC于点D，若∠A＝40°，则∠DBC的度数为　 　．
12．已知等腰三角形两边的长分别是9和4，则它的周长为　 　．
13．如图，AB＝AC，∠C＝36°，AC的垂直平分线MN交BC于点D，则∠DAB＝　 　．
14．如图，BD为等边△ABC的边AC上的中线，E为BC延长线上一点，且DB＝DE，若AB＝6cm，则CE＝　 　cm．
15．如图，点D是△ABC内一点，AD＝CD，∠BAD＝∠BCD，则以下结论：①AB＝AC②∠DAC＝∠DCA③BD平分∠ABC④BD与AC的位置关系是互相垂直．其中正确的是：　 　．
三．解答题
16．如图，在△ABC中，AB＝BC＝AD，BD＝CD，求∠ABC的度数．
17．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求证：CE＝CF；
（2）若CD＝2，求DF的长．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，M，N分别是AB，AC边上的点，并且MN∥BC．
（1）△AMN是否是等腰三角形？说明理由；
（2）点P是MN上的一点，并且BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．
①求证：△BPM是等腰三角形；
②若△ABC的周长为a，BC＝b（a＞2b），求△AMN的周长（用含a，b的式子表示）．
参考答案
一．选择题
1．解：A．等腰三角形的两底角相等，故本选项不符合题意；
B．等腰三角形的两个底角的高、角平分线和中线不一定互相重合，故本选项符合题意；
C.
过O作OM⊥AB于M，OQ⊥AC于Q，ON⊥BC于N，
∵O是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，
∴OM＝ON，ON＝OQ，
∴OM＝ON＝OQ，
即三角形的两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故本选项不符合题意；
D.
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠EAC＝∠B+∠C，
∴∠EAC＝2∠B，
即等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．解：①当等腰三角形的三边长是3，3，7时，3+3＜7，不符合三角形的三边关系定理，此时不能组成等腰三角形；
②当等腰三角形的三边长是3，7，7时，符合三角形的三边关系定理，能组成等腰三角形，此三角形的周长是3+7+7＝17；
综合上述：三角形的周长是17，
故选：C．
3．解：∵在等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴AD是BC的线段垂直平分线，
∵E是AD上一点，
∴EB＝EC，
∴∠EBD＝∠ECD，
∵∠CED＝50°，
∴∠ECD＝40°，
又∵∠ABC＝60°，∠ECD＝40°，
∴∠ABE＝60°﹣40°＝20°，
故选：C．
4．解：∵AB＝AC，∠A＝50°，
∴∠ABC＝（180°﹣50°）＝65°，
∵MN垂直平分AB交AB于点M，
∴AN＝BN，
∴∠ABN＝∠A＝50°，
∴∠NBC＝15°，
∵ND⊥BC，
∴∠BDN＝90°，
∴∠BND＝75°，
故选：B．
5．解：∵CD＝CE，
∴∠D＝∠CED，
∵∠D＝70°，
∴∠C＝180°﹣2×70°＝40°，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C＝40°，
故选：C．
6．解：在第一个图中，∵AB＝AC，
∴∠1＝∠2；
在第二个图中，∠1＝∠2；
在第三个图中，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3，
而∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2；
在第四个图中，∠1＞∠2．
故选：C．
7．解：如图，过点E作EG⊥BC，交BC于点G
∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵EC＝CD，
∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，
∴∠AEF＝30°，
∴∠AFE＝90°，即EF⊥AB，
∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，
∴BE平分∠ABC，
∴EG＝EF＝2，
在Rt△DEG中，DE＝2EG＝4，
∴DF＝EF+DE＝2+4＝6；
方法二、
∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵EC＝CD，
∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，
∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，
∴BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝30°＝∠CDE，
∴BE＝DE，∠BFD＝90°，
∴BE＝2EF＝4＝DE，
∴DF＝DE+EF＝6；
故选：D．
8．解：在△ABC中，AB＝AD＝DC，
∵在三角形ABD中，AB＝AD，∠BAD＝26°，
∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣26°）×＝77°，
又∵AD＝DC，在三角形ADC中，
∴∠C＝∠ADB＝77°×＝38.5°．
故选：B．
9．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝55°，
∴∠A＝180°﹣110°＝70°，
∵∠BPC＝∠A+∠ACP，
∴∠BPC＞70°，
∵∠B+∠BPC+∠PCB＝180°，
∴∠BPC＜125°，
∴70°＜∠BPC＜125°，
故选：C．
10．解：∵BF是∠AB的角平分线，
∴∠DBF＝∠CBF，
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，
∴∠DBF＝∠DFB，
∴BD＝DF，
∴△BDF是等腰三角形；故①正确；
同理，EF＝CE，
∴DE＝DF+EF＝BD+CE，故②正确；
∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝130°，
∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴，
∴∠FBC+∠FCB＝（∠ABC+∠ACB）＝65°，
∴∠BFC＝180°﹣65°＝115°，故③正确；
当△ABC为等腰三角形时，DF＝EF，
但△ABC不一定是等腰三角形，
∴DF不一定等于EF，故④错误；
故选：C．
二．填空题
11．解：当∠A是顶角时，如图1，
∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝＝70°，
∵AB的垂直平分线MN交边AC于点D，
∴DB＝DA，
∴∠DBA＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝70°﹣40°＝30°，
当∠A是底角时，如图2，
∵AB＝BC，∠A＝40°，
∴∠C＝∠A＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∵AB的垂直平分线MN交边AC于点D，
∴DB＝DA，
∴∠DBA＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝100°﹣40°＝60°，
故答案为30°或60°．
12．解：当4为底时，其它两边都为9，即：9、9、4可以构成三角形，周长为22；
当4为腰时，其它两边为9和4，因为4+4＝8＜9，所以不能构成三角形，故舍去．
所以答案只有22．
故答案为：22．
13．解：∵AB＝AC，∠C＝36°，
∴∠B＝∠C＝36°，
∵AC的垂直平分线MN交BC于点D，
∴CD＝AD，
∴∠CAD＝∠C＝36°，
∴∠DAB＝180°﹣∠C﹣∠CAD﹣∠B＝72°，
故答案为：72°
14．解：∵BD为等边△ABC的边AC上的中线，∴BD⊥AC，
∵DB＝DE，∴∠DBC＝∠E＝30°
∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝60°
∴∠CDE＝30°
∴∠CDE＝∠E，
即CE＝CD＝AC＝3cm．
故填3．
15．解：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠BAD+∠DAC＝∠BCD+∠DCA，
即∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝BC，故①错误；
∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
故②正确；
∵AB＝BC，AD＝DC，
∴BD垂直平分AC，故④正确；
∴BD平分∠ABC，故③正确；
故答案为：②③④．
三．解答题
16．解：∵BD＝CD，
∴∠BCD＝∠CBD，
设∠BCD＝∠CBD＝x°，
∵AB＝BC＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝∠BCD+∠CBD＝2x°，∠A＝∠C＝x°，
∴∠ABC＝3∠C＝3x°，
∵∠B+∠ABC+∠C＝180°，
∴5x＝180，
解得x＝36，
∴∠C＝36°
∴∠ABC＝3∠C＝108°．
17．证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°．
∵DE∥AB，
∴∠B＝EDC＝60°，∠A＝∠CED＝60°，
∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∵EF⊥ED，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝30°
∵∠F+∠FEC＝∠ECD＝60°，
∴∠F＝∠FEC＝30°，
∴CE＝CF．
（2）由（1）可知∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∴CE＝DC＝2．
又∵CE＝CF，
∴CF＝2．
∴DF＝DC+CF＝2+2＝4．
18．（1）解：△AMN是是等腰三角形，
理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵MN∥BC，
∴∠AMN＝∠ABC，∠ANM＝∠ACB，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴AM＝AN，
∴△AMN是等腰三角形；
（2）①证明：
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBM＝∠PBC，
∵MN∥BC，
∴∠MPB＝∠PBC
∴∠PBM＝∠MPB，
∴MB＝MP，
∴△BPM是等腰三角形；
②由①知MB＝MP，
同理可得：NC＝NP，
∴△AMN的周长＝AM+MP+NP+AN＝AM+MB+NC+AN＝AB+AC，
∵△ABC的周长为a，BC＝b，
∴AB+AC+b＝a，
∴AB+AC＝a﹣b
∴△AMN的周长＝a﹣b．