人教版数学九年级下册：28.2.1 解直角三角形教案

课题
28.2.1　解直角三角形
授课人
教
学
目
标
知识技能
　　使学生理解直角三角形中五个元素(直角除外)的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
数学思考
　　通过实际问题的情境，让学生感受到在生活、学习中解直角三角形知识的实际意义．
问题解决
　　通过学习解直角三角形，归纳出解直角三角形的两种类型．
情感态度
　　发展学生的数学应用意识，提高归纳能力，感受解直角三角形的策略．
教学
重点
　　解直角三角形的意义以及一般方法．
教学
难点
　　选择恰当的边角关系，解直角三角形．
授课
类型
新授课
课时
教具
多媒体
教学活动
教学
步骤
师生活动
设计意图
回顾
　　如图28－2－4，Rt△ABC中的关系式(∠C＝90°)：
两锐角的关系：∠A＋∠B＝90°.
三边之间的关系：a2＋b2＝c2.
边角关系：sinA＝，cosA＝，tanA＝.
图28－2－4
回顾以前所学内容，为本节课的教学内容做好准备.
(续表)
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
意大利比萨斜塔在落成时就已倾斜，其塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A，过点B向垂直中心线引垂线，垂足为C，如图28－2－5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2
m，AB＝54.5
m，求∠A的度数.
图28－2－5
师生活动：教师呈现问题并引导学生结合图形，观察已知和所求角之间的关系，分析得到通过求∠A的正弦来求∠A的度数.
通过实际问题，激发学生的学习兴趣，把实际问题转化为数学问题，通过求解，初步体会解直角三角形的内涵，引入课题.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
　　1.解直角三角形的定义
问题：将比萨斜塔问题推广为一般的数学问题该如何求解？
师生活动：已知直角三角形的斜边和一条直角边，求它的锐角的度数，利用锐角的正弦(或余弦)的概念直接求解.
问题：在活动一所述的Rt△ABC中，你还能求出其他未知的边和角吗？
师生活动：学生思考并说明求解思路，教师把问题一般化，给出解直角三角形的内涵：
一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.
2.解直角三角形的方法
问题：回想一下，刚才解直角三角形的过程中，用到了哪些知识？你能梳理一下直角三角形各个元素之间的关系吗？
师生活动：如图28－2－6，引导学生结合图形，梳理五个元素(直角除外)之间的关系，学生展示：
(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2(勾股定理).
(2)两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°.
(3)边角之间的关系：
图28－2－6
sinA＝，cosA＝，tanA＝，
sinB＝，cosB＝，tanB＝.
问题：从上述问题来看，在直角三角形中，知道斜边和一条直角边这两个元素，可以求出其余的三个元素．一般地，已知五个元素(直角除外)中的任意两个元素，可以求其余元素吗？
教师给出结论：在直角三角形中，知道除直角外的五个元素中的两个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余三个未知元素.
1.有条理地梳理直角三角形五个元素之间的关系，明确各自的作用，便于应用.
2.在讨论解直角三角形的方法过程中，明确解直角三角形的条件，培养学生的逻辑思维能力.
(续表)
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1　教材P73例1
如图28－2－7，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，解这个直角三角形.
师生活动：学生在教师的引导下，思考如
图28－2－7
何求出所有未知元素．先让学生找出所有未知元素：∠A，∠B和AB，然后让学生逐一说明求每一个未知元素的方法和依据，教师引导学生选择简便的解题途径.
通过解特殊的直角三角形，训练学生解直角三角形的思路和方法，提高学生分析和解决问题的能力．
【拓展提升】
1.涉“斜”选“弦”的策略
当已知和所求涉及直角三角形的斜边时，应选择与斜边相关的已知角的正弦、余弦．我们把它叫做涉“斜”(涉及斜边)选“弦”(选正弦、余弦)的策略.
例2　滨州中考在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，sinA＝，cosA＝，tanA＝，则BC的长为(A)
A.6　　　　B．7.5　　　C．8　　　　D．12.5
2.无“斜”选“切”的策略
当已知和所求均未涉及到斜边时，应选择与斜边无关的边角关系式——正切，这种方法称之为无“斜”(斜边)选“切”(正切)的策略.
例3　在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝60°，AC＝20
m，则BC大约是(结果精确到0.1
m)(B)
A.34.64
m
B．34.6
m
C．28.3
m
D．17.3
m
进一步训练学生解一般直角三角形的思路和方法，并学会从计算简便的角度选用适当的关系式求解.
活动
四：
课堂
总结
反思
【达标测评】
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，BC＝3，则AC＝(C)
A.3sin40°　　B．3sin50°　　C．3tan40°　　D．3tan50°
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，sinA＝，则AC的长为(B)
A.3
B．4
C．5
D．6
3.在△ABC中，若∠C＝90°，sinA＝，AB＝2，则△ABC的周长为__3＋__.
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，有两边长分别为3和4，则sinA的值为__或或或__.
5.如图28－2－8，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝6，AC＝5
，∠A＝30°.
(1)求BD和AD的长；
图28－2－8
(2)求tanC的值.
通过设置达标测评，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.
(续表)
活动
四：
课堂
总结
反思
　　
1.课堂总结：
请同学们回顾以下问题：
(1)什么叫解直角三角形？
(2)两个直角三角形全等要具备什么条件？为什么在直角三角形中，已知一边和一个锐角或两边就能解直角三角形呢？
2.布置作业：
教材第77页习题28.2第1题.
引导学生从知识和方法两个方面总结自己的收获，理清解直角三角形的目的、条件、依据、方法，提升综合运用知识的能力.
【知识网络】
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
在创设情境中，由一个实际问题引入，自然过渡到直角三角形．在探究新知中，采用启发法、讨论法等教学方法，学生通过讨论、实践形成理论体系，对知识掌握较为牢固.
②[讲授效果反思]
解直角三角形是重点，而选择恰当的边角关系则是难点，为了突破此难点，本节课选择了两个例题让学生探究、讨论、总结出选择边角关系的策略：涉“斜”选“弦”，无“斜”选“切”，避“除”就“乘”，能“正”不“余”.
因为有这些例题的引导，所以学生对于解直角三角形的两个类型的掌握，应该没有问题，建议把补充练习也安排给成绩中等及以上的学生.
③[师生互动反思]
_____________________________________________
_____________________________________________
④[习题反思]
好题题号　　　　　　　
　　
　　
　　　
　　
错题题号　　　　　　
　　
反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.
典案二　　导学设计
【学习目标】
1．知识技能
(1)掌握直角三角形的边角关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
(2)
理解解一个直角三角形的前提条件．
2．解决问题
通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
3．数学思考
让学生思考：为什么一个直角三角形可以解的前提条件是必须有两个元素(其中一个必须为边)．从而让学生理解画一个直角三角形的条件．
4．情感态度
(1)
通过给定具体的两个条件(其中一个为边)，让学生们画直角三角形，培养学生合作交流的意识和探索精神．
(2)通过本节的学习，向学生渗透数形结合的数学思想，培养他们良好的学习习惯．
【学习重难点】
重点：直角三角形的解法．
难点：
(1)三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
(2)学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边．
课前延伸
【知识梳理】
(1)
在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3，c＝4，则b＝____．
(2)
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝28°，那么∠B＝__62°__．
(3)
在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝4，b＝5，则sinA＝____，cosA＝____，tan
A＝____
(4)
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∠A＝30°，a＝6，则c＝__12__，b＝__6__．
(5)
在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知c＝6,
∠A＝50°，则a＝__6_sin50°__．
(6)
意大利披萨斜塔在建成的时候就已倾斜，其塔顶中心点偏离垂直中心线2.1米，1972年披萨地区发生地震，这座高54.5米的斜塔在大幅摇摆后依然屹立，但塔顶中心点偏离垂直中心线增至5.2米，请你算出这时塔身中心线与垂直中心线的夹角．
课内探究
一、
课堂探究1(问题探究，自主学习)
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝28,
∠B＝60°，解这个直角三角形．
(2)在Rt△ACB中，c＝90°，a＝30,
∠B＝80°，
解这个直角三角形．
(3)在Rt△ABC中，c＝90°，a＝3，b＝3,
解这个直角三角形．
二、
课堂探究2(分组讨论，合作探究)
(1)
画一个直角三角形，使两条直角边分别为3和4.
(2)
画一个直角三角形，使一条直角边为3，一个锐角为35°.
(3)
画一个直角三角形，使斜边长为8，一个锐角为40°.
(4)
画一个直角三角形，使两个锐角分别为30°和60°.
各小组比较由(1)(2)(3)(4)画出的直角三角形．
讨论1：你觉得给出什么样的条件可以画出一个确定的三角形．
讨论2：你觉得确定一个直角三角形需要的元素有什么条件？
三、
反馈训练
1．必做题
在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知b＝20,
∠B＝35°，
解这个直角三角形(结果保留小数)；
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知a＝10
，b＝20,
解这个直角三角形．
2．选做题
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15,
∠A的平分线AD＝10
，解这个直角三角形．
课后提升
1.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，解这个直角三角形．
2.
已知在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，AB＝6，求BC长．
3.
如图，在两面墙之间有一个底端在点A的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在点B处；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在点D处．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°，点D到地面的垂直距离DE＝3
m．求点B到地面的垂直距离BC.
图28－2－9