湘教版（2012）初中数学八年级下册 4.5.3 一次方程与一次函数的关系 教学案

新课标(XJ)　数学　八年级下册
教学设计
课题
第3课时　一次方程与一次函数的关系
授课人
教
学
目
标
知识技能
1.理解利用函数图象解方程与用代数法解方程的特点．
2．进一步理解一次方程与一次函数的转化关系，并能从图象上准确看出一次方程的解.
数学思考
1.培养学生将一次方程转化为一次函数在形式变化上的思考．
2．进一步培养学生利用“数形结合法”解方程的思考.
问题解决
　　利用函数图象求一次方程的解或近似解.
情感态度
1.通过观察、计算，从解答简单实际问题的过程中发现关系，归纳出图象法，培养学生联系实际、善于观察、勇于探索和勤于思考的能力．
2．感受函数及其图象在解决实际问题中的价值，同时感受方程、不等式、函数三者之间的联系，体会数学知识的完整性和严谨性.
教学
重点
　　1.二元一次方程与一次函数的关系．
2．能根据一次函数的图象求一次方程的解或近似解.
教学
难点
　　方程和函数之间的对应关系.
授课
类型
新授课
课时
教具
三角板(多媒体：PPT课件、几何画板)
教学活动
(续表)
教学
步骤
师生活动
设计意图
回顾
1.方程3x＋5y＝8写成函数的表达形式为__y＝－x＋．
2．函数y＝－x＋与x轴的交点坐标为__(，0)．__
　回顾与本节有关系的基础知识，为开展类比的教学思路及运算方法做铺垫.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
提问：(1)什么叫二元一次方程及二元一次方程的解？
(2)一次函数的图象是什么？
(3)如图4－5－28，求出该一次函数图象的表达式．
图4－5－28
复习所学知识，为后面的教学做准备.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究1】
一次函数与一次方程的关系
我们知道，方程3x＋5y＝8可以转化为y＝－x＋，并且直线y＝－x＋上的每个点的坐标(x，y)都是方程3x＋5y＝8的解．
由于任意一个二元一次方程都可以转化为y＝kx＋b的形式，所以每一个二元一次方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线．
若求－x＋＝0的解，实质是求函数y＝0(即x轴)与函数y＝－x＋的图象的交点的横坐标．
若求－x＋＝m的解，实质是求函数y＝m与函数y＝－x＋的图象的交点的横坐标．
延伸：若要求k1x＋b1＝k2x＋b2的解，则该怎么求呢？
(引导学生自己归纳：实质是求函数y＝k1x＋b1与函数y＝k2x＋b2的图象的交点的横坐标)
【探究2】
函数与不等式的解集问题(补充)
我们已经知道“解一元一次方程ax＋b＝0”与“求当x为何值时，y＝ax＋b的值为0”是同一个问题，现在我们来看看：
(1)以下两个问题是不是同一个问题？
①解不等式2x－4>0；
②当x为何值时，函数y＝2x－4的值大于0?
(学生讨论，得出一致的答案)
(2)如何利用图象来说明(1)中的②？(从函数图象的高低及图象随x的伸展方向去判断)
通过一次函数y＝kx＋b图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx－y＋b＝0的一个解和以二元一次方程kx－y＋b＝0的解为坐标的点都在一次函数y＝kx＋b的图象上相结合，让学生体会它们之间的相互转化，加深对知识的理解.
(续表)
活动
二：
实践
探究
交流
新知
(3)“解不等式2x－4>0”与怎样的一次函数问题是同一个问题？怎样在图象上加以说明？
【探究3】
探究一次函数与二元一次方程组的关系
(1)在同一坐标系中画出一次函数y＝－x＋和y＝2x－1的图象，观察两直线的交点坐标是否是方程组的解？并探索：是否任意两个一次函数图象的交点坐标都是它们所对应的二元一次方程组的解？
(学生开展小组合作与交流，师生共同归纳)
从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标．
(2)当自变量x取何值时，函数y＝－x＋与y＝2x－1的值相等？这个函数值是什么？这一问题与解方程组是同一问题吗？
引导学生归纳：从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等以及这个函数值是何值.
　　学生经过自主探索、合作交流，并从数和形两个角度认识一次函数与二元一次方程组的关系，真正掌握本节课的重点知识，从而在头脑中再现知识的形成过程，避免单纯地记忆，使学习过程成为一种再创造的过程.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1　[教材P138例3]
已知一次函数y＝2x＋6，求这个函数的图象与x轴交点的横坐标．
变式一　已知方程kx＋b＝0的解是x＝3，则函数y＝kx＋b的图象可能是(C)
图4－5－29
[解析]
∵方程kx＋b＝0的解是x＝3，∴直线y＝kx＋b经过点(3，0)．
变式二　如图4－5－30，已知直线y＝ax－b，则关于x的方程ax－1＝b的解是x＝__4__．
[解析]
根据图形知，当y＝1时，x＝4，即ax－b＝1时，x＝4.故方程ax－1＝b的解是x＝4.
图4－5－30　　
　图4－5－31
变式三　[蜀山区一模中考]
一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的图象如图4－5－31所示．根据图象信息可求得关于x的方程kx＋b＝－3的解为__x＝－4__.
变化式突破，拓宽教材内容限制，增强知识的应用性与综合性，让学生全面掌握本节知识，并拓宽到不等式、方程组等内容，为以后的图形分析打下基础.
(续表)
活动
三：
开放
训练
体现
应用
解：∵一次函数y＝kx＋b的图象过(2，3)，(0，1)两点，
∴解得∴一次函数的表达式为y＝x＋1，解方程x＋1＝－3，得x＝－4.
例2　一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象如图4－5－32，求方程kx＋b＝x＋a的解．
解：方程kx＋b＝x＋a的解是一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象的交点的横坐标，根据图象即可得x＝3.
图4－5－32　　
　图4－5－33
例3　如图4－5－33，两条直线y＝－3x与y＝kx＋b相交于点P(－1，m)，则m的值是__3__，方程组的解是____．
[解析]
∵两条直线y＝－3x与y＝kx＋b相交于点P(－1，m)，∴m＝－3×(－1)＝3，∴P(－1，3)，∴方程组的解是
变化式突破，拓宽教材内容限制，增强知识的应用性与综合性，让学生全面掌握本节知识，并拓宽到不等式、方程组等内容，为以后的图形分析打下基础．
【拓展提升】
例4　如图4－5－34，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点坐标为(2，0)，则下列说法：
①y随x的增大而减小；②b＞0；③关于x的方程kx＋b＝0的解为x＝2；④不等式kx＋b＞0的解集是x＞2.
其中说法正确的有__①②③__(把你认为说法正确的序号都填上)．
图4－5－34
[解析]
由图可知，y随x的增大而减小，故①正确；直线与y轴正半轴相交，b＞0，故②正确；关于x的方程kx＋b＝0的解为x＝2，故③正确；不等式kx＋b＞0的解集是x＜2，故④错误．综上所述，说法正确的是①②③.
例5　如图4－5－35，观察图象，回答问题：
(1)点D的纵坐标等于__b__；
(2)点A的横坐标是方程__k1x1＋b1＝0__的解；
拓展性训练，突破知识局限，扩大知识面，将图象与方程、不等式、方程组结合起来，从图形的位置，与x轴的交点，两直线交点的横坐标等方面去揭示图形解题的内涵与实质，培养了学生识图、分析图形的能力.
(续表)
活动
三：
开放
训练
体现
应用
(3)大于点B的横坐标是不等式__kx＋b＜0__的解集；
(4)点C的坐标是方程组____的解．
例6　画出函数y＝2x＋4的图象，利用图象：
(1)求方程2x＋4＝0的解；
(2)求不等式2x＋4＞0的解集；
(3)若－1≤y≤2，求x的取值范围．
图4－5－35
解：∵函数的表达式为y＝2x＋4，∴当x＝0时，y＝4.当y＝0时，x＝－2.即直线y＝2x＋4经过点(0，4)，(－2，0)．其图象如图所示：
(1)根据图象知，当y＝0时，x＝－2，即方程2x＋4＝0的解是x＝－2.
(2)根据图象知，当y＞0时，x＞－2，即不等式
图4－5－36
2x＋4＞0的解集是x＞－2.
(3)∵y＝2x＋4，∴当y＝－1时，x＝＝－2.5.当y＝2时，x＝＝－1.
根据图象知，y随x的增大而增大，故当－1≤y≤2时，x的取值范围是－2.5≤x≤－1.
例7　在同一平面直角坐标系内画出二元一次方程3x－y－2＝0和2x－y＋3＝0的图象，利用图象求：
图4－5－37
(1)方程3x－2＝2x＋3的解；
(2)方程组的解；
(3)不等式3x－2＞2x＋3的解集．
解：方程变形为y＝3x－2，y＝2x＋3，画方程3x－y－2＝0和2x－y＋3＝0的图象如图．
(1)根据图象可知方程3x－2＝2x＋3的解为x＝5.
(2)根据图象可知方程组的解为
(3)根据图象可知不等式3x－2＞2x＋3的解集为x＞5，
拓展性训练，突破知识局限，扩大知识面，将图象与方程、不等式、方程组结合起来，从图形的位置，与x轴的交点，两直线交点的横坐标等方面去揭示图形解题的内涵与实质，培养了学生识图、分析图形的能力.
(续表)
活动
四：
课堂
总结
反思
当堂训练：P139练习T1，T2，T3.
作业布置：P140习题4.5A组T5.
　　当堂检测，及时反馈教学效果.
【知识网络】
　　从全局的角度去总结，突出教学主要内容，让学生抓住教学重点，把握教学难点.
【教学反思】
①[授课流程反思]
本节导入从化一次方程为一次函数谈起，再结合函数图象，去充分发挥学生的动手能力，从图形中让学生学会观察、辨别、分析，总结不同函数模型的解与交点坐标的联系，为学生清楚地学了道路，简洁的导入让学生学得更轻松．
②[讲授效果反思]
对于函数图象的交点问题，可以用函数的思想或方程的思想去描述，本节主要研究交点与一次函数的内在联系和变化规律，让学生体会到一次函数图象上所有点的坐标都符合其对应的二元一次方程，一次函数图象与x轴交点的横坐标就是其对应的一元一次方程的解．
③[师生互动反思]
教学强调发展学生认图能力，让学生把以前所学方程(组)、不等式与函数之间进行联系，用函数观点可以把它们统一起来．解决实际问题时，师生互动，把图形与点的坐标能巧妙地、灵活地结合起来，让学生学有所得．
④[习题反思]
好题题号__________________________________________
错题题号__________________________________________
　　切实反思，积极上进，加强交流，总结经验，促进教学水平与教学能力全面提高，做一个名副其实的全能型教师.
　
标
题
4.5
一次函数的应用
学习目标
知识与
技
能
会综合运用一次函数的解析式和图像解决简单实际问题；了解直角坐标系中两条直线的函数解析式所组成的二元一次方程组的解之间的关系。会用一次函数的图象求二元一次方程组的解（包括近似解）
过程与
方
法
通过观察合作交流探索一次函数与二元一次方组的关系，从而用函数的观点来解二元一次方程组。
情感态度
与价值观
了解可以用数和形来描述某些现象，建立一次函数模型，感受数学与日常生活的紧密联系
教学重点
运用一次函数的解析式和图像解决简单实际问题。
教学难点
构造数学模型(包括函数解析式和图像)与实际问题情境之间的对应关系。
教
学
程
序
备注
一、回顾练习
1、已知方程，用含的代数式表示，则=
。
2、方程多少组解呢？可以看做的函数吗？为什么？
思考
函数和方程有什么关系呢？请自学教材51面至53面的内容。
二、自学探究
见教材探究：
（1）你能分别写出小明、小亮离小亮家的距离（km）与行走的时间(h)的函数关系式吗？
①小明离小亮家的距离为：
；
②小亮离自己家的距离为：
。
（2）在同一直角坐标系中，分别画出上述两个函数的图像：
（3）你能从上图中看出，在出发后几小时小亮追上小明吗？
分析
从图中可以看出，小亮追上小明的时间是上图中两条射线
和
的交点的横坐标，而这个交点的坐标就是二元一次方程组的解。
（4）你能从图中看出，谁先到达县城？
小结
利用函数图象求二元一次方程组的解的方法叫做图像法。
三、全班交流
1、方程可以转化为=
的形式。
2、直线上每个点的坐标（，），都是方程
的解。
3、用图像法求方程组
的近似解。
解：
四、归纳总结
如何用图像法求二元一次方程组的近似解？
五、达标测评
教学
反思
1