空间点、直线、平面之间的位置关系

空间点、直线、平面之间的位置关系
【重难点知识归纳】
1、平面
　　(1)平面概念的理解
　　直观的理解：桌面、黑板面、平静的水面等等都给人以平面的直观的印象，但它们都不是平面，而仅仅是平面的一部分．
　　抽象的理解：平面是平的，平面是无限延展的，平面没有厚薄．
　　(2)平面的表示法
　　①图形表示法：通常用平行四边形来表示平面，有时根据实际需要，也用其他的平面图形来表示平面．
　　②字母表示：常用等希腊字母表示平面．
　　(3)涉及本部分内容的符号表示有：
　　①点A在直线l内，记作；　　②点A不在直线l内，记作；
　　③点A在平面内，记作；　　④点A不在平面内，记作；
　　⑤直线l在平面内，记作；　　⑥直线l不在平面内，记作；
　　注意：符号的使用与集合中这四个符号的使用的区别与联系．
　　(4)平面的基本性质
　　公理1：如果一条直线的两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．
　　符号表示为：．
　　注意：如果直线上所有的点都在一个平面内，我们也说这条直线在这个平面内，或者称平面经过这条直线．
　　公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
　　符号表示为：直线AB存在唯一的平面，使得．
　　注意：“有且只有”的含义是：“有”表示存在，“只有”表示唯一，不能用“只有”来代替．此公理又可表示为：不共线的三点确定一个平面．
　　公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
　　符号表示为：．
　　注意：两个平面有一条公共直线，我们说这两个平面相交，这条公共直线就叫作两个平面的交线．若平面、平面相交于直线l，记作．
　　公理的推论：
　　推论1：经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面．
　　推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．
　　推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．
2．空间直线
　　(1)空间两条直线的位置关系
　　①相交直线：有且仅有一个公共点，可表示为;
　　②平行直线：在同一个平面内，没有公共点，可表示为a//b;
　　③异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点．
　　(2)平行直线
　　公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
　　符号表示为：设a、b、c是三条直线，．
　　定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．
　　(3)两条异面直线所成的角
　　注意：①两条异面直线a，b所成的角的范围是（0°，90°]．
　　②两条异面直线所成的角与点O的选择位置无关，这可由前面所讲过的“等角定理”直接得出．
　　③由两条异面直线所成的角的定义可得出异面直线所成角的一般方法：
　　(i)在空间任取一点，这个点通常是线段的中点或端点．
　　(ii)分别作两条异面直线的平行线，这个过程通常采用平移的方法来实现．
　　(iii)指出哪一个角为两条异面直线所成的角，这时我们要注意两条异面直线所成的角的范围．
3．空间直线与平面
　　直线与平面位置关系有且只有三种：
　　(1)直线在平面内：有无数个公共点；
　　(2)直线与平面相交：有且只有一个公共点；
　　(3)直线与平面平行：没有公共点．
4．平面与平面
　　两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：
　　(1)两个平面平行：没有公共点；
　　(2)两个平面相交：有一条公共直线．
【典型例题剖析】
例1．在正方体的八个顶点中，共可确定(　)个平面．
A．6　　　　　　B．12　　　　　　C．18　　　　　　D．20
例2．设a、b、c是空间中三条直线，下面给出四个命题，下列命题中，真命题的个数是(　)
①如果，则a//c；
②若a、b相交，b、c相交，则a、c相交；
③若a、b共面，b、c共面，则a、c共面；
④若a、b异面，b、c异面，则a、c异面．
A．0　　　　　　　B．1　　　　　　C．2　　　　　　D．3
例3．一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面．
例4．如图，的三边AB，BC，AC平面相交，交点分别为P，Q，R，求证：P，Q，R三点在一条直线上．
例5．已知：a、b是两条异面直线，直线a上的两点A、B的距离为6，直线b上的两点C、D的距离为8，AC、BD的中点分别为M、N，且MN=5．求异面直线a、b所成的角．
【培优训练】
1．下列命题正确的是 （ ）
A．三点确定一个平面 B．经过一条直线和一个点确定一个平面
C．四边形确定一个平面 D．两条相交直线确定一个平面
2．不共面的四点可以确定平面的个数为 （ ）
A． 2个 B． 3个　　 C． 4个　　　 D．无法确定
3．平行于同一平面的两条直线的位置关系_____________________
4．直线，在上取三点，上取两点，由这五点能确定的平面共有____________________
5．若三个平面两两相交得三条交线，则三条交线的位置关系是_____________
6．下列命题中
① ②
③ ④线
推理错误的命题序号____________________
7．一个水平放置的平面图的斜二测直观图是一个底角为450，腰和上底长为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是______________________
8．不共面的四条直线两两相交，它们一共有 个交点。
9．下列说法中正确的有 （填序号）
① 平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点；
② 经过两条相交直线，有且只有一个平面；
③ 如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合；
④ 两两相交且不重合的直线必共面。
10．正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱A1 D1、CC1、 C1D1的中点分别为点P、Q、R, 画出过P、Q、R三点的截面图。
11．如图所示，已知空间四边形ABCD，E、F分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且，求证直线EF、GH、AC交于一点．
1．D; 2．C; 3．平行或相交或异面；4．1个或5个； 5. ．互相平行或交于一点；
6． ③；7． 8．1个交点；9．②③； 10．正六边形；
11．证明：如图所示，∵AE＝EB，AH＝HD，∴EH//BD，且EH＝BD，
　　∵，∴FG//BD，且FG＝BD，
　　∴EH//FG，且EH≠FG，
　　故四边形EFGH为梯形，则EF与GH必相交，
　　设交点为P，P∈平面ABC，又P∈平面DAC，
　　又平面BAC∩平面DAC＝AC，故P∈AC，
　　即EF、GH、AC交于一点.
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