点、直线、平面之间的位置关系
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点、直线、平面之间的位置关系
【平面的基本性质】
公理1、若一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
公理2、过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
公理3、若两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
推论1、经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面.
推论2、经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3、经过两条平行直线，有且只有一个平面.
公理4、平行于同一条直线的两条直线互相平行.
5、等角定理：空间中若两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
推论：若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.
6、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.
数学符号表示：
直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.
数学符号表示：
7、平面与平面平行的判定定理：（1）一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
数学符号表示：
（2）垂直于同一条直线的两个平面平行. 符号表示：
（3）平行于同一个平面的两个平面平行. 符号表示：
面面平行的性质定理：
（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直线均平行于另一个平面.
（2）若两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
8、直线与平面垂直的判定定理：（1）一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.
数学符号表示：
（2）若两条平行直线中一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.
（3）若一条直线垂直于两个平行平面中一个，那么该直线也垂直于另一个平面.
直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.
9、两个平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
数学符号表示：
【培优训练】
一、选择题.
1. 下面说法中正确的是( )
A. 如果两个平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β = a
B. 两平面α，β有一个公共点 A，就说α，β相交于过点A的任意一条直线
C. 两平面α，β有一个公共点 A，就说α，β相交于点A，并记作α∩β = A
D. 两平面ABC与DBC相交于线段BC
2. 三个平面最多可以把空间分成( )
A. 4 部分 B. 6部分 C. 7部分 D. 8部分
3. 空间四点 A，B，C，D 共面，但不共线，则下面结论成立的是( )
A. 四点中必有三点共线
B. 四点中必有三点不共线
C. AB，BC，CD，DA 四条直线中总有两条平行
D. AB与CD必相交
4. a，b是异面直线，以下四个命题：
①过a至少有一个平面平行于b ；
②过a至少有一个平面垂直于b；
③至多有一条直线与a，b都垂直；
④至少有一个平面分别与a，b都平行.
正确命题的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5. 下列命题：
①若直线 l 上有无数个点不在平面 α内，则 l∥α；
②若直线l与平面 α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行；
③两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；
④若一条直线a和平面α 内一条直线b平行，则a∥α.
正确的个数是( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6. 下列命题中，不正确的是( )
A. 两条平行直线与同一平面所成的角相等
B. 一条直线与两个平行平面所成的角相等
C. 一条直线平行于两个平行平面中的一个平面，它也平行于另一个平面
D. 如果两条直线与同一平面所成的角相等，那么这两条直线不一定平行
7. 下列判断中正确的是( )
A. 若平面α内有两条直线都和平面β平行，则α∥β
B. 若一条直线l与平面α和β所成的角相等，则α∥β
C. 若直线l∥平面β，直线mβ，则l∥m
D. 若平面α∥平面β，直线lα，则l∥β
8. 一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面，那么这两个二面角的大小关系是( )
A. 相等 B. 互补 C. 相等或互补 D. 不能确定
9. 已知三条直线m，n，l，三个平面α，β，γ，下面四个命题中，正确的是( )
10. 正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角后，AB与CD 所成的角为( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
二、填空题.
1. 若点M 在直线 a 上，直线 a 在平面 α 内，则 M，a，α之间的关系表示为__________.
2. 设 a，b，c 是空间的三条直线，以下四个命题：
①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
②若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线；
③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；
④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面.
正确的个数是_________.
3. 如图，AA1∥BB1∥CC1，且 AA1，BB1，CC1 不共面，则图中各条线段所在的直线中，共有 ______ 对异面直线.
4. 如图，正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 a，点 E，F 分别是 BB1，CC1 的中点，则A1D1 到截面 AEFD 的距离是___________.
5. 已知三棱锥 P - ABC 的三条侧棱 PA，PB，PC 两两垂直，且三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，则这个三棱锥的体积为______________________.
6. △ABC 所在平面 α 外有一点 P，过点 P 作 PO⊥平面，垂足为 O，连接 PA，PB，PC.
(1)若 PA = PB = PC，则点 O 为 △ABC 的___________心；
(2)若 PA⊥PB，PA⊥PC，PC⊥PA，则点 O 是 △ABC 的___________心；
(3)若点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等，则点 O 是 △ABC 的___________心；
(4)若 PA = PB = PC，∠C = 90 ，则点 O 是 AB 边的___________点；
(5)若 PA = PB = PC，AB = AC，则点 O 点在 ___________ 线上.
三、解答题.
1. 如图，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，点 E，F 分别是棱 AA1，CC1 的中点，求证：点 D1，E，F，B 共面.
2. 已知平面 α∩平面 β = a，平面 α∩平面= b，平面 β∩平面= c，且 a∩b = O.
求证：a，b，c 相交于一点.
3. 如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，点 P，Q，R 分别在棱 AB，BB1，CC1 上，且 DP，QR 相交于点 O，求证：O，B，C 三点共线.
4. 已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点 M、N分别是AB，PC的中点.
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）当MN⊥平面PCD时，求二面角P - CD - B的大小.
参考答案
一、选择题.
1. A
2. D
【解析】23 = 8(部分).
3. B
【解析】若任取三点都共线，即有 4 个点都共线，与题设不符.
4. C
①对；②不一定，只有 a⊥b时成立；③错；④对.
5. A
①错，相交也行；
②错，可以异面；
③错，a可以在平面内；
④错，a可以在α上.
6. C
【解析】这条直线可在另一平面内.
7. D
8. D
【解析】若一个二面角的一个半平面恰好过另一二面角的棱，并与其中一个半平面垂直，则此时两二面角的大小既不相等也不互补；若两二面角的棱不互相平行，则其大小关系不能确定.
9. D
10. C
【解析】取 AC 的中点 E，AD 的中点 F，BC 的中点 G，
连接 EF1，FG，EG.
可得 △EFG 为等边三角形.
∴ AB与CD所成的角为 60 .
二、填空题.
1. M∈aα.
2. 0 个.
3. 12.
【解析】A1B1 和 AC；A1B1 和 BC；A1A 和 B1C1；A1A 和 BC；
B1C1 和 AB；B1C1 和 AC；B1B 和 AC；B1B 和 A1C1；
A1C1 和 AB；A1C1 和 BC；CC1 和 A1B1；C1C 和 AB.
4. a.
【解析】过点 D1 作 D1H⊥DF于点H，
D1H 即为所求.
∵ = ，
∴ D1H = a.
5. .
【解析】设三条侧棱长分别为 a，b，c，
则 ab = S1，bc = S2，ca = S3 .
三式相乘，得a2 b2 c2 = S1S2S3.
∴ abc = 2.
∵ 三侧棱两两垂直，
∴ V = abc· = .
6. (1)外；(2)垂；(3)内；(4)中；(5)BC边的高.
【解析】(1)由三角形全等可证得，点 O 为 △ABC 的外心；
(2)由直线和平面垂直的判定定理可证得，点 O 为 △ABC 的垂心；
(3)由直线和平面垂直的判定定理可证得，点 O 为 △ABC 的内心；
(4)由三角形全等可证得，点 O 为 AB 边的中点；
(5)由(1)知，点 O 在 BC 边的高线上(或说在 ∠A的平分线上，或者说在BC边的中线上).
三、解答题.
1. 证明：连接D1E，D1F，并分别延长，使D1F与DC的延长线交于点H，D1E的延长线与DA的延长线交于点G.
∵ D1，E，F三点不共线，
∴ D1，E，F确定一个平面.
∴ G，H∈.
又∵点 E是AA1的中点，∴ EA ∥DD，∴ 点 A是DG的中点.
同理可得，点 C是DH的中点.
∴ CH = BC = BA = GA.
又∵ 四边形 ABCD是正方形，
∴ ∠BCH = ∠BAG = 90 .
连接BH，BG.
∴ △BCH，△GAB是全等的等腰直角三角形.
∴ ∠CBH =∠ABG = 45°.
∴ ∠GBA +∠ABC+∠CBH = 180°.
∴ G，B，H三点共线.
又G，H∈，
∴ GH，而B∈GH，
∴ B∈.
∴ D，E，F，B四点共面.
2. 证明：∵ α∩= a，α∩= b，
∴ α β，b.
又∵ a∩b = O，
∴ O∈a，O∈b.
∴ O∈β，O∈.
∴ 点 O 在 β，的交线 c 上.
∴ 三条直线 a，b，c 相交于一点 O.
3. 证明：∵ P∈直线 AB，D∈直线 CD，
∴ P∈平面 ABCD. D∈平面 ABCD.
∴ 直线 DP平面 ABCD.
又∵ O∈直线 DP，
∴ O∈平面 ABCD. 同理可证，O∈平面 BCC1B1.
∵ 平面 ABCD∩平面 BCC1B1 = 直线 BC，
∴ O∈直线 BC.
∴ O，B，C 三点共线.
4. (1)证明：取PD的中点为Q，连接AQ、QN，
∵ 点 N为PC的中点，
∴ QNDC，
∴ QNAM，
∴ 四边形AMNQ为平行四边形，
∴ MN∥AQ，
∴ MN∥平面PAD.
(2)解：∵ PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，
∴ PD⊥CD，
∴ ∠PDA为二面角P-DC-B的平面角.
∵ MN⊥平面PCD，MN∥AQ，
∴ AQ⊥平面PDC，
∴ AQ⊥PD.
∵ 点 Q为PD的中点，
∴ △PAD为等腰直角三角形，
∴ ∠PDA = 45 .
即二面角P - DC - B为45 .
F
1
1
1
1
F
1
1
1
1
Q
【平面的基本性质】
公理1、若一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
公理2、过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
公理3、若两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
推论1、经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面.
推论2、经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3、经过两条平行直线，有且只有一个平面.
公理4、平行于同一条直线的两条直线互相平行.
5、等角定理：空间中若两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
推论：若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.
6、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.
数学符号表示：
直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.
数学符号表示：
7、平面与平面平行的判定定理：（1）一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
数学符号表示：
（2）垂直于同一条直线的两个平面平行. 符号表示：
（3）平行于同一个平面的两个平面平行. 符号表示：
面面平行的性质定理：
（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直线均平行于另一个平面.
（2）若两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
8、直线与平面垂直的判定定理：（1）一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.
数学符号表示：
（2）若两条平行直线中一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.
（3）若一条直线垂直于两个平行平面中一个，那么该直线也垂直于另一个平面.
直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.
9、两个平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
数学符号表示：
【培优训练】
一、选择题.
1. 下面说法中正确的是( )
A. 如果两个平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β = a
B. 两平面α，β有一个公共点 A，就说α，β相交于过点A的任意一条直线
C. 两平面α，β有一个公共点 A，就说α，β相交于点A，并记作α∩β = A
D. 两平面ABC与DBC相交于线段BC
2. 三个平面最多可以把空间分成( )
A. 4 部分 B. 6部分 C. 7部分 D. 8部分
3. 空间四点 A，B，C，D 共面，但不共线，则下面结论成立的是( )
A. 四点中必有三点共线
B. 四点中必有三点不共线
C. AB，BC，CD，DA 四条直线中总有两条平行
D. AB与CD必相交
4. a，b是异面直线，以下四个命题：
①过a至少有一个平面平行于b ；
②过a至少有一个平面垂直于b；
③至多有一条直线与a，b都垂直；
④至少有一个平面分别与a，b都平行.
正确命题的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5. 下列命题：
①若直线 l 上有无数个点不在平面 α内，则 l∥α；
②若直线l与平面 α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行；
③两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；
④若一条直线a和平面α 内一条直线b平行，则a∥α.
正确的个数是( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6. 下列命题中，不正确的是( )
A. 两条平行直线与同一平面所成的角相等
B. 一条直线与两个平行平面所成的角相等
C. 一条直线平行于两个平行平面中的一个平面，它也平行于另一个平面
D. 如果两条直线与同一平面所成的角相等，那么这两条直线不一定平行
7. 下列判断中正确的是( )
A. 若平面α内有两条直线都和平面β平行，则α∥β
B. 若一条直线l与平面α和β所成的角相等，则α∥β
C. 若直线l∥平面β，直线mβ，则l∥m
D. 若平面α∥平面β，直线lα，则l∥β
8. 一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面，那么这两个二面角的大小关系是( )
A. 相等 B. 互补 C. 相等或互补 D. 不能确定
9. 已知三条直线m，n，l，三个平面α，β，γ，下面四个命题中，正确的是( )
10. 正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角后，AB与CD 所成的角为( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
二、填空题.
1. 若点M 在直线 a 上，直线 a 在平面 α 内，则 M，a，α之间的关系表示为__________.
2. 设 a，b，c 是空间的三条直线，以下四个命题：
①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
②若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线；
③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；
④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面.
正确的个数是_________.
3. 如图，AA1∥BB1∥CC1，且 AA1，BB1，CC1 不共面，则图中各条线段所在的直线中，共有 ______ 对异面直线.
4. 如图，正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 a，点 E，F 分别是 BB1，CC1 的中点，则A1D1 到截面 AEFD 的距离是___________.
5. 已知三棱锥 P - ABC 的三条侧棱 PA，PB，PC 两两垂直，且三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，则这个三棱锥的体积为______________________.
6. △ABC 所在平面 α 外有一点 P，过点 P 作 PO⊥平面，垂足为 O，连接 PA，PB，PC.
(1)若 PA = PB = PC，则点 O 为 △ABC 的___________心；
(2)若 PA⊥PB，PA⊥PC，PC⊥PA，则点 O 是 △ABC 的___________心；
(3)若点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等，则点 O 是 △ABC 的___________心；
(4)若 PA = PB = PC，∠C = 90 ，则点 O 是 AB 边的___________点；
(5)若 PA = PB = PC，AB = AC，则点 O 点在 ___________ 线上.
三、解答题.
1. 如图，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，点 E，F 分别是棱 AA1，CC1 的中点，求证：点 D1，E，F，B 共面.
2. 已知平面 α∩平面 β = a，平面 α∩平面= b，平面 β∩平面= c，且 a∩b = O.
求证：a，b，c 相交于一点.
3. 如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，点 P，Q，R 分别在棱 AB，BB1，CC1 上，且 DP，QR 相交于点 O，求证：O，B，C 三点共线.
4. 已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点 M、N分别是AB，PC的中点.
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）当MN⊥平面PCD时，求二面角P - CD - B的大小.
参考答案
一、选择题.
1. A
2. D
【解析】23 = 8(部分).
3. B
【解析】若任取三点都共线，即有 4 个点都共线，与题设不符.
4. C
①对；②不一定，只有 a⊥b时成立；③错；④对.
5. A
①错，相交也行；
②错，可以异面；
③错，a可以在平面内；
④错，a可以在α上.
6. C
【解析】这条直线可在另一平面内.
7. D
8. D
【解析】若一个二面角的一个半平面恰好过另一二面角的棱，并与其中一个半平面垂直，则此时两二面角的大小既不相等也不互补；若两二面角的棱不互相平行，则其大小关系不能确定.
9. D
10. C
【解析】取 AC 的中点 E，AD 的中点 F，BC 的中点 G，
连接 EF1，FG，EG.
可得 △EFG 为等边三角形.
∴ AB与CD所成的角为 60 .
二、填空题.
1. M∈aα.
2. 0 个.
3. 12.
【解析】A1B1 和 AC；A1B1 和 BC；A1A 和 B1C1；A1A 和 BC；
B1C1 和 AB；B1C1 和 AC；B1B 和 AC；B1B 和 A1C1；
A1C1 和 AB；A1C1 和 BC；CC1 和 A1B1；C1C 和 AB.
4. a.
【解析】过点 D1 作 D1H⊥DF于点H，
D1H 即为所求.
∵ = ，
∴ D1H = a.
5. .
【解析】设三条侧棱长分别为 a，b，c，
则 ab = S1，bc = S2，ca = S3 .
三式相乘，得a2 b2 c2 = S1S2S3.
∴ abc = 2.
∵ 三侧棱两两垂直，
∴ V = abc· = .
6. (1)外；(2)垂；(3)内；(4)中；(5)BC边的高.
【解析】(1)由三角形全等可证得，点 O 为 △ABC 的外心；
(2)由直线和平面垂直的判定定理可证得，点 O 为 △ABC 的垂心；
(3)由直线和平面垂直的判定定理可证得，点 O 为 △ABC 的内心；
(4)由三角形全等可证得，点 O 为 AB 边的中点；
(5)由(1)知，点 O 在 BC 边的高线上(或说在 ∠A的平分线上，或者说在BC边的中线上).
三、解答题.
1. 证明：连接D1E，D1F，并分别延长，使D1F与DC的延长线交于点H，D1E的延长线与DA的延长线交于点G.
∵ D1，E，F三点不共线，
∴ D1，E，F确定一个平面.
∴ G，H∈.
又∵点 E是AA1的中点，∴ EA ∥DD，∴ 点 A是DG的中点.
同理可得，点 C是DH的中点.
∴ CH = BC = BA = GA.
又∵ 四边形 ABCD是正方形，
∴ ∠BCH = ∠BAG = 90 .
连接BH，BG.
∴ △BCH，△GAB是全等的等腰直角三角形.
∴ ∠CBH =∠ABG = 45°.
∴ ∠GBA +∠ABC+∠CBH = 180°.
∴ G，B，H三点共线.
又G，H∈，
∴ GH，而B∈GH，
∴ B∈.
∴ D，E，F，B四点共面.
2. 证明：∵ α∩= a，α∩= b，
∴ α β，b.
又∵ a∩b = O，
∴ O∈a，O∈b.
∴ O∈β，O∈.
∴ 点 O 在 β，的交线 c 上.
∴ 三条直线 a，b，c 相交于一点 O.
3. 证明：∵ P∈直线 AB，D∈直线 CD，
∴ P∈平面 ABCD. D∈平面 ABCD.
∴ 直线 DP平面 ABCD.
又∵ O∈直线 DP，
∴ O∈平面 ABCD. 同理可证，O∈平面 BCC1B1.
∵ 平面 ABCD∩平面 BCC1B1 = 直线 BC，
∴ O∈直线 BC.
∴ O，B，C 三点共线.
4. (1)证明：取PD的中点为Q，连接AQ、QN，
∵ 点 N为PC的中点，
∴ QNDC，
∴ QNAM，
∴ 四边形AMNQ为平行四边形，
∴ MN∥AQ，
∴ MN∥平面PAD.
(2)解：∵ PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，
∴ PD⊥CD，
∴ ∠PDA为二面角P-DC-B的平面角.
∵ MN⊥平面PCD，MN∥AQ，
∴ AQ⊥平面PDC，
∴ AQ⊥PD.
∵ 点 Q为PD的中点，
∴ △PAD为等腰直角三角形，
∴ ∠PDA = 45 .
即二面角P - DC - B为45 .
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