解三角形3
一、三角形常用结论
1．正弦定理：
2．余弦定理：，，
3．面积公式：
4．大边对大角：在中是的充要条件且有
5．三角形中的等量：
6．三角形中诱导：
7．三角形中和差：
二、三角形综合应用
1．利用解三角形解决实际问题
2．利用解三角形解决复杂的图形问题
例1．A、B、C是的三个内角，且、是方程
的两个实数根，则是（
）
A．
钝角三角形
B．
锐角三角形
C．
等腰三角形
D．
等边三角形
【难度】★★★
例2．如图，点，是等腰直角斜边上的三等分点，
求
【难度】★★★
例3．某船在A处看灯塔S在北偏东方向，它以每小时30海里的速度向正北方向航行，经过40分钟航行到B处，看灯塔S在北偏东方向，则此时该船到灯塔S的距离约为 海里（精确到0．01海里）．
【难度】★★★
例4．如图所示，在一条海防警戒线上的点、、处各有一个水声监测点，、两点到点的距离分别为千米和千米．某时刻，收到发自静止目标的一个声波信号，8秒后、同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是千米/秒．
（1）设到的距离为千米，用表示，到的距离，并求的值；
（2）求到海防警戒线的距离（结果精确到千米）．
【难度】★★★
例5．如图，都在同一个与水平面垂足的平面内，、为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面处测得点和点的仰角分别为，，于水面处测得点和点的仰角均为60°，。
（1）试探究图中，间距离与另外哪两点间距离相等；
（2）求，的距离（计算结果精确到）；
【难度】★★★
例6．如图，握过的海监船在D岛海域例168行维护巡航，某时刻航行至A处，此时测得其东北方向与它相距16海里的B处里一外国船只，且D岛位于海监船正东海里处。
（1）求此时该外国船只与D岛的距离
（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方向航行，为了将该船拦截在离D岛12海里处，不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船航向，并求其速度的最小值
【难度】★★★★
1、【18届徐汇一模】某船在海平面处测得灯塔在北偏东30°方向，与相距6．0海里，船由向正北方向航行8．1海里到达处，这时灯塔与船相距
海里（精确到0.1海里）
【难度】★★★
2、【20届静安一模】某人驾驶一艘小游艇位于湖面处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东方向，且塔顶的仰角为，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达处，此时测得塔底位于北偏西方向，则该塔的高度约为
（
）
A．265米
B．279米
C．292米
D．306米
【难度】★★★
3、某棚户区改造，四边形ABPC为拟定拆迁的棚户区，测得,AC=4千米，AB=2千米，工程规划用地近似为图中四边形ABPC的外接圆内部区域．
（1）求四边形ABPC的外接圆半径R；
（2）求该棚户区即四边形ABPC的面积的最大值．
【难度】★★★★
1、某城市的棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经过调研、规划确定，棚改规划用地区域近似为圆面，该圆的内接四边形区域是原棚户区建筑用地，测量可知边界，，．
（1）求的长度及原棚户区建筑用地的面积；
（2）因地理条件限制，边界、不能变更，而边界、可以调整，为了增加棚户区建筑用地面积，请在弧上设计一点，使得棚户区改造后的新建筑用地（四边形）的面积最大，并求出这个面积的最大值．
【难度】★★★★
2、如图：某快递小哥从地出发，沿小路以平均时速20公里小时，送快件到处，已知（公里），，是等腰三角形，．
（1）
试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到处
（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均时速60公里小时，问，汽车能否先到达处？
【难度】★★★★
1、在中，内角、、所对的边分别为、、，若
，则的形状为（
）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
【难度】★★★
2、张华同学骑电动自行车以的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔在电动车的北偏东30°方向上，后到点处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点时与电视塔的距离是（
）
A．
B．
C．
D．
【难度】★★★
3、某菜农有两段总长度为20米的篱笆及，现打算用它们和两面成直角的墙，围成一个如图所示的四边形菜园（假设，这两面墙都足够长），已知米，，．设四边形的面积为，
（1）将表示为的函数，并写出自变量的取值范围；
（2）求出的最大值，并指出此时所对应的值．
【难度】★★★★
4、如图，为海岸线，为线段，为四分之一圆弧，，，，．
（1）求的长度；
（2）若，求到海岸线的最短距离．（精确到
【难度】★★★★解三角形3
一、三角形常用结论
1.正弦定理：
2.余弦定理：，，
3.面积公式：
4.大边对大角：在中是的充要条件
且有
5.三角形中的等量：
6.三角形中诱导：
7.三角形中和差：
二、三角形综合应用
1.利用解三角形解决实际问题
2.利用解三角形解决复杂的图形问题
例1.A、B、C是的三个内角，且、是方程
的两个实数根，则是（
）
A.
钝角三角形
B.
锐角三角形
C.
等腰三角形
D.
等边三角形
【难度】★★★
答案：A
例2.如图，点，是等腰直角斜边上的三等分点，则
.
【难度】★★★
答案：
例3.某船在A处看灯塔S在北偏东方向，它以每小时30海里的速度向正北方向航行，经过40分钟航行到B处，看灯塔S在北偏东方向，则此时该船到灯塔S的距离约为 海里（精确到0.01海里）．
【难度】★★★
答案：14.14
例4.如图所示，在一条海防警戒线上的点、、处各有一个水声监测点，、两点到点的距离分别为千米和千米．某时刻，收到发自静止目标的一个声波信号，8秒后、同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是千米/秒．
（1）设到的距离为千米，用表示，到的距离，并求的值；
（2）求到海防警戒线的距离（结果精确到千米）．
【难度】★★★
答案：（1）
(2)静止目标到海防警戒线的距离为千米。
例5.
如图，都在同一个与水平面垂足的平面内，、为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面处测得点和点的仰角分别为，，于水面处测得点和点的仰角均为60°，。
（1）试探究图中，间距离与另外哪两点间距离相等；
（2）求，的距离（计算结果精确到）；
【难度】★★★
答案：（1）；（2）；
例6.
如图，握过的海监船在D岛海域例168行维护巡航，某时刻航行至A处，此时测得其东北方向与它相距16海里的B处里一外国船只，且D岛位于海监船正东海里处。
（1）求此时该外国船只与D岛的距离
（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方向航行，为了将该船拦截在离D岛12海里处，不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船航向，并求其速度的最小值
【难度】★★★★
答案：（1）10
（2）北偏东
速度最小值20海里/h
1、某船在海平面处测得灯塔在北偏东30°方向，与相距6.0海里，船由向正北方向航行8.1海里到达处，这时灯塔与船相距
海里（精确到0.1海里）.
【难度】★★★
答案：.
2、【20届静安一模】某人驾驶一艘小游艇位于湖面处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东方向，且塔顶的仰角为，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达处，此时测得塔底位于北偏西方向，则该塔的高度约为
（
）
A265米
B279米
C292米
D306米
【难度】★★★
答案：C
3、某棚户区改造，四边形ABPC为拟定拆迁的棚户区，测得,AC=4千米，AB=2千米，工程规划用地近似为图中四边形ABPC的外接圆内部区域.
（1）求四边形ABPC的外接圆半径R；
（2）求该棚户区即四边形ABPC的面积的最大值.
【难度】★★★★
答案：（Ⅰ）
（Ⅱ）最大值为
1、某城市的棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经过调研、规划确定，棚改规划用地区域近似为圆面，该圆的内接四边形区域是原棚户区建筑用地，测量可知边界，，.
（1）求的长度及原棚户区建筑用地的面积；
（2）因地理条件限制，边界、不能变更，而边界、可
以调整，为了增加棚户区建筑用地面积，请在弧上设计一点，
使得棚户区改造后的新建筑用地（四边形）的面积最大，并
求出这个面积的最大值.
【难度】★★★★
答案：（1），面积为；（2）.
2、如图：某快递小哥从地出发，沿小路以平均时速20公里小时，送快件到处，已知（公里），，是等腰三角形，．
（1）
试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到处？
（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均时速60公里小时，问，汽车能否先到达处？
【难度】★★★★
答案：（1）能（2）能
1、在中，内角、、所对的边分别为、、，若，则的形状为（
）
A、等腰三角形
B、直角三角形
C、等腰直角三角形
D、等腰或直角三角形
【难度】★★★
答案：D；
2、张华同学骑电动自行车以的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔在电动车的北偏东30°方向上，后到点处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点时与电视塔的距离是（
）
A、
B、
C、
D、
【难度】★★★
答案：B；
3、某菜农有两段总长度为20米的篱笆及，现打算用它们和两面成直角的墙，围成一个如图所示的四边形菜园（假设，这两面墙都足够长），已知米，，.设四边形的面积为，
（1）将表示为的函数，并写出自变量的取值范围；
（2）求出的最大值，并指出此时所对应的值.
【难度】★★★★
答案：（1），；（2），此时
4、如图，为海岸线，为线段，为四分之一圆弧，，，，．
（1）求的长度；
（2）若，求到海岸线的最短距离．（精确到
【难度】★★★★
答案：（1）；（2）
