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椭圆轨迹方程及最值问题专题
一、知识梳理
1.求解范围问题的方法
求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围，要特别注意变量的取值范围.
2.圆锥曲线中常见最值的解题方法
(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；
(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解.
3.求动点轨迹常用方法
求动点的轨迹方程有如下几种方法：
（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
（3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；
（4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；
（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.
二、例题精讲
+
随堂练习
1．在平面直角坐标系内，一动圆与圆外切，同时与圆内切.
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）设该轨迹与曲线的交点为、，求面积的最大值.
【详解】（1）两圆的标准方程分别为，，
圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
，所以，，所以，圆内含于圆，
设动圆的半径为，由题意可得，
所以，，
所以，动圆圆心的轨迹是以、分别为左、右焦点，长轴长为，焦距为的椭圆，
该椭圆的短轴长为，则，，
因此，动圆圆心的轨迹方程为；
（2）在曲线上任取一点，即，则，
即点在曲线上，所以，曲线关于轴对称，
由于，设点为第一象限内的点，则点，
，由基本不等式可得，，
当且仅当时，等号成立，
因此，的面积为.
2．已知椭圆C：的右焦点为，过的直线与C交于两点.当与轴垂直时，线段长度为1.
为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）若对任意的直线，点总满足，求实数的值.
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求面积的最大值.
【详解】（Ⅰ）椭圆C：的右焦点为
所以
当与轴垂直时，线段长度为1，所以，，代入椭圆方程可得，联立方程组可得
解得.
所以椭圆C的方程为
（Ⅱ）当与轴垂直时，，此时
当与轴不垂直时，因为，所以
设，直线的斜率为
，则直线的方程为
又，所以
又，所以可得即
联立方程组消去得
所以，
代入上式可得.
（Ⅲ）=
可设此时直线方程为，联立方程组消去可得：
，所以，，.
所以==
，
当且仅当时取等号，
此时，即直线斜率为
3．已知椭圆的离心率是，短轴长为2，A，B分别是E的左顶点和下顶点，O为坐标原点.
（1）求E的标准方程；
（2）设点M在E上且位于第一象限，的两边和分别与x轴、y轴交于点C和点D，求△CDM的面积的最大值.
【详解】（1）因为椭圆E的离心率，短轴长为2，所以.
又因为，解得.
故椭圆E的方程为；
（2）如图所示，设点.
，且A，D，M三点共线，，得，又
所以，
同理得，又，
因此四边形的面积.
又因为点在椭圆上，所以，即，
代入上式得.
设过点M且与直线平行的直线l的方程为，
当l与椭圆相切时，M到AB的距离d最大，为两平行线之间的距离，得面积最大.
联立整理得，
所以，解得.
所以直线l的方程为，即，
所以.
所以△CDM的面积的最大值为.
4．已知椭圆：的离心率，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线交椭圆分别于，且满足，，求面积的最大值．
【详解】（1）根据条件有，解得，所以椭圆．
（2）根据，可知，分别为的中点，
且直线斜率均存在且不为0，现设点，
直线的方程为，不妨设，
联立椭圆有，
根据韦达定理得：，，
，，同理可得，
所以面积，现令，
那么，
所以当，时，的面积取得最大值．
5．设椭圆：的离心率为，椭圆上一点到左右两个焦点、的距离之和是4.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过的直线与椭圆交于、两点，且两点与左右顶点不重合，若，求四边形面积的最大值.
【详解】(1)因为椭圆上一点到左右两个焦点、的距离之和是4，所以，，
因为，所以，
所以椭圆C方程为.
(2)设，，
因为直线过点，所以可设直线方程为，
联立方程，消去可得：，
化简整理得，其中，
，，
因为，所以四边形是平行四边形，
设平面四边形的面积为，
则，
设，则，所以，
因为，所以，，
所以四边形面积的最大值为6.
6．已知曲线E上任一点P到直线l：x＝4的距离是点P到点M(1，0)的距离的2倍.
（1）求曲线E的方程；
（2）过点A(2，0)作两条互相垂直的直线分别交曲线E于B、D两点(均异于点A)，又C(－2，0)，求四边形ABCD的面积的最大值.
【详解】（1）设，因为曲线E上任一点P到直线l：x＝4的距离是点P到点M(1，0)的距离的2倍，即，两边平方并整理得
即曲线的方程为.
（2）由题意，可得直线的斜率存在且不为0，可设的方程为，
联立方程组，整理得，
因为是其一个根，所以解得另一根即点的横坐标为，
因为，所以把换成得的横坐标为，
则、的纵坐标之差为，
所以四边形的面积
令，则，可得（），
又由函数在是增函数，
所以可得当时为单调递减，所以时，取得最大值，
此时，解得，
所以四边形的面积的最大值为.
7．在平面直角坐标系内，有一动点到直线的距离和到点的距离比值是
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）已知点(异于点)为曲线上一个动点，过点作直线的垂线交曲线于点，，求的最小值.
【详解】（1）设动点的坐标为，根据题意得，
化简得曲线的方程为：．
（2）当直线的斜率为时，为椭圆的短轴，则.
所以
当直线的斜率不为时，设直线的方程为，则直线的方程为
由得.
设所以，
故，得
设，由椭圆对称性可知.
由解得
，所以
所以
设，则
，令，则
所以是一个增函数，所以
综上，的最小值是.
8．已知F1，F2分别为椭圆C：的左焦点.右焦点，椭圆上的点与F1的最大距离等于4，离心率等于，过左焦点F的直线l交椭圆于M，N两点，圆E内切于三角形F2MN；
（1）求椭圆的标准方程
（2）求圆E半径的最大值
【详解】由条件知
，所以.
故椭圆的标准方程为；
（2）由条件不为，设交椭圆于，设圆的半径为，
由可得，
即
令，（），
则
当时，.
9．已知椭圆：的离心率为，且椭圆上一点的坐标为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于，两点，且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，求面积的最大值.
【详解】（1）由已知，又，则.
椭圆方程为，将代入方程得，，
故椭圆的方程为；
（2）不妨设直线的方程，
联立消去得.
设，，则有，①
又以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，∴，
由，得，
将，代入上式得
，
将①代入上式求得或（舍），
则直线恒过点.
∴，
设，则在上单调递增，
当时，取得最大值.
10．已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线与以椭圆的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆相交于不同的两点，若椭圆的左焦点为，求面积的最大值.
【详解】（1）由题意，以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为，
∴圆心到直线的距离（
）
∵椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，
∴,，
代入（
）式得，
∴，
故所求椭圆方程为；
（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为，
将直线方程代入椭圆方程得：，
∴，解得．
设,，则，
∴到的距离
令
则
当即时，.
11．已知椭圆.过点（m,0）作圆的切线l交椭圆G于A，B两点.
（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；
（II）将表示为m的函数，并求的最大值.
【详解】（1）由已知得：，所以．
所以椭圆G的焦点坐标为，．离心率为．
（2）由题意知：．
当时，切线的方程为，点A，B的坐标分别为，，此时．
当时，同理可得．
当时，设切线的方程为．由，得
．
设A，B两点的坐标分别为，，则
，．
又由与圆相切，得，即．
所以，
由于当时，，所以，．
因为，且当时，，
所以的最大值为2．
三、课后练习
1．如图所示，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，短轴长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为椭圆的左顶点，为椭圆上位于轴上方的点，直线交轴于点，点在轴上，且，设直线交椭圆于另一点，求的面积的最大值.
【详解】（1）由题意得，解得，所以椭圆的标准方程为.
（2）由题可设直线的方程为，则，又且，所以，所以直线的方程为，则，联立消去并整理得，解得或，则，直线的方程为，同理可得，所以关于原点对称，即过原点，所以的面积，当且仅当，即时，等号成立，所以的面积的最大值为.
2．已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，点在椭圆上，且的面积的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线与椭圆交于不同的两点，若在轴上存在点，使得，求点的横坐标的取值范围.
【详解】
(1)由已知得，解得，
∴椭圆的方程为.
(2)设，的中点为，点，使得,
则.
由得，由，得.∴，
∴.
∵∴，即，∴.当时，（当且仅当，即时，取等号），∴；当k<0时，（当且仅当，即时，取等号），∴，∴点的横坐标的取值范围为.
3．已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为，设点.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；
（3）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值.
【详解】
(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1.
又椭圆的焦点在x轴上,
∴椭圆的标准方程为
(2)设线段PA的中点为M(x,y)
,点P的坐标是(x0,y0),
由
得
又点P在椭圆上,得,
∴线段PA中点M的轨迹方程是.
(3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S△ABC=1.
当直线BC不垂直于x轴时,设该直线方程为y=kx,代入,
解得B(,),C(－,－),
则,又点A到直线BC的距离d=,
∴△ABC的面积S△ABC=
于是S△ABC=
由≥－1,得S△ABC≤,其中,当k=－时,等号成立.
∴S△ABC的最大值是.
4．已知椭圆与y轴的正半轴相交于点M，且椭圆E上相异两点A、B满足直线MA,MB的斜率之积为．
（Ⅰ）证明直线AB恒过定点，并求定点的坐标；
（Ⅱ）求三角形ABM的面积的最大值．
【详解】（Ⅰ）由椭圆的方程得，上顶点,记
由题意知，，若直线的斜率不存在，则直线的方程为，故，且，因此，与已知不符，因此直线的斜率存在，设直线：，代入椭圆的方程得：
………①
因为直线与曲线有公共点，所以方程①有两个非零不等实根，
所以，
又，
，
由
，得
即
所以
化简得：，故或，
结合知，
即直线恒过定点．
（Ⅱ）由且得：或，
又
，当且仅当，即
时，的面积最大，最大值为
．
5．已知椭圆的离心率为，点，，分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线：被圆：所截得的弦长为，若直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值．
【详解】（1）由题意，椭圆的焦点在轴上，设椭圆标准方程为，则，所以，即，可得，
，
∴，∴，，
所以椭圆的方程为．
（2）由题意知，圆心到直线的距离为1，即，所以．
由消去，得，
∴，所以，
设，，则，，
所以
，
所以的面积为
，
令，
则，
所以当，即时，面积取到最大值1．
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椭圆轨迹方程及最值问题专题
一、知识梳理
1.求解范围问题的方法
求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围，要特别注意变量的取值范围.
2.圆锥曲线中常见最值的解题方法
(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；
(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解.
3.求动点轨迹常用方法
求动点的轨迹方程有如下几种方法：
（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
（3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；
（4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；
（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.
二、例题精讲
+
随堂练习
1．在平面直角坐标系内，一动圆与圆外切，同时与圆内切.
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）设该轨迹与曲线的交点为、，求面积的最大值.
2．已知椭圆C：的右焦点为，过的直线与C交于两点.当与轴垂直时，线段长度为1.
为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）若对任意的直线，点总满足，求实数的值.
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求面积的最大值.
3．已知椭圆的离心率是，短轴长为2，A，B分别是E的左顶点和下顶点，O为坐标原点.
（1）求E的标准方程；
（2）设点M在E上且位于第一象限，的两边和分别与x轴、y轴交于点C和点D，求△CDM的面积的最大值.
4．已知椭圆：的离心率，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线交椭圆分别于，且满足，，求面积的最大值．
5．设椭圆：的离心率为，椭圆上一点到左右两个焦点、的距离之和是4.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过的直线与椭圆交于、两点，且两点与左右顶点不重合，若，求四边形面积的最大值.
6．已知曲线E上任一点P到直线l：x＝4的距离是点P到点M(1，0)的距离的2倍.
（1）求曲线E的方程；
（2）过点A(2，0)作两条互相垂直的直线分别交曲线E于B、D两点(均异于点A)，又C(－2，0)，求四边形ABCD的面积的最大值.
7．在平面直角坐标系内，有一动点到直线的距离和到点的距离比值是
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）已知点(异于点)为曲线上一个动点，过点作直线的垂线交曲线于点，，求的最小值.
8．已知F1，F2分别为椭圆C：的左焦点.右焦点，椭圆上的点与F1的最大距离等于4，离心率等于，过左焦点F的直线l交椭圆于M，N两点，圆E内切于三角形F2MN；
（1）求椭圆的标准方程
（2）求圆E半径的最大值
9．已知椭圆：的离心率为，且椭圆上一点的坐标为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于，两点，且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，求面积的最大值.
10．已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线与以椭圆的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆相交于不同的两点，若椭圆的左焦点为，求面积的最大值.
11．已知椭圆.过点（m,0）作圆的切线l交椭圆G于A，B两点.
（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；
（II）将表示为m的函数，并求的最大值.
三、课后练习
1．如图所示，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，短轴长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为椭圆的左顶点，为椭圆上位于轴上方的点，直线交轴于点，点在轴上，且，设直线交椭圆于另一点，求的面积的最大值.
2．已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，点在椭圆上，且的面积的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线与椭圆交于不同的两点，若在轴上存在点，使得，求点的横坐标的取值范围.
3．已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为，设点.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；
（3）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值.
4．已知椭圆与y轴的正半轴相交于点M，且椭圆E上相异两点A、B满足直线MA,MB的斜率之积为．
（Ⅰ）证明直线AB恒过定点，并求定点的坐标；
（Ⅱ）求三角形ABM的面积的最大值．
5．已知椭圆的离心率为，点，，分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线：被圆：所截得的弦长为，若直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值．
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