2.2.1 基本不等式 随堂跟踪练习（含答案）

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2.2.1 基本不等式跟踪练习
　　　　　　　　　　　　　 (15分钟　35分)
1.已知a+2b=2(a>0，b>0)，则ab的最大值为 (　　)
A. B.2 C.3 D.
2.不等式+(x-2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是 (　　)
A.x=3 B.x=6
C.x=5 D.x=10
3.设非零实数a，b，则“a2+b2≥2ab”是“+≥2”成立的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.函数y=1-2x-(x<0)的最小值为_______.?
5.若06.已知方程ax2-3x+2=0的解为1，b.
(1)求a，b的值.
(2)求(2a+b)x-(x>0)的最小值.
　　　　　　　　　　　　　 (30分钟　60分)
一、单选题(每小题5分，共20分)
1.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(aA.aC.2.已知当x=a时，代数式x-4+(x>-1)取得最小值b，则a+b= (　　)
A.-3 B.2 C.3 D.8
3.已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为 (　　)
A.2 B.4 C.9 D.16
4.如图所示，4个长为a，宽为b的长方形，拼成一个正方形ABCD，中间围成一个小正方形A1B1C1D1，则以下说法中错误的是 (　　)
A.(a+b)2≥4ab
B.当a=b时，A1，B1，C1，D1四点重合
C.(a-b)2≤4ab
D.(a+b)2>(a-b)2
二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5.设a，b∈R，且a≠b，a+b=2，则必有 (　　)
A.ab>1 B.ab<1
C.<1 D.>1
6.下列推导过程，正确的为 (　　)
A.因为a，b为正实数，所以+≥2=2
B.因为x∈R，所以>1
C.a<0，所以+a≥2=4
D.因为x，y∈R，xy<0，所以+=-+≤-2=-2
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.已知t>0，则函数y=的最小值为_______.?
8.规定记号“☉”表示一种运算，即a☉b=+a+b(a，b为正实数).若1☉k=3，则k的值为_______，此时的最小值为_______.?
四、解答题(每小题10分，共20分)
9.求t=x+的取值范围.
10.已知a>b>c，你能比较出4与(a-c)的大小吗？
创新练习：
1.已知a>0，b>0，则++2的最小值是 (　　)
A.2 B.2 C.4 D.5
2.已知x1·x2·…·x2 020=1，且x1，x2，…，x2 020都是正数，求(1+x1)(1+x2)…
(1+x2 020)的最小值.
（解析版）
　　　　　　　　　　　　　 (15分钟　35分)
1.已知a+2b=2(a>0，b>0)，则ab的最大值为 (　　)
A. B.2 C.3 D.
【解析】选A.因为a>0，b>0，所以a+2b≥2，
所以2≤2，所以ab≤，当且仅当a=1，b=时，等号成立.
2.不等式+(x-2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是 (　　)
A.x=3 B.x=6
C.x=5 D.x=10
【解析】选C.由基本不等式知等号成立的条件为=x-2，即x=5(x=-1舍去).
3.设非零实数a，b，则“a2+b2≥2ab”是“+≥2”成立的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.因为a，b∈R时，都有a2+b2-2ab=(a-b)2≥0，
即a2+b2≥2ab，而+≥2?ab>0，
所以“a2+b2≥2ab”是“+≥2”的必要不充分条件.
4.函数y=1-2x-(x<0)的最小值为_______.?
【解析】因为x<0，所以y=1-2x-
=1+(-2x)+≥1+2=1+2，当且仅当x=-时取等号，故y的最小值为1+2.
答案：1+2
5.若0【解析】因为0所以a+b>2，a2+b2>2ab.
所以四个数中最大的应从a+b，a2+b2中选择.
而a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1).
又因为0所以a+b最大.
答案：a+b
6.已知方程ax2-3x+2=0的解为1，b.
(1)求a，b的值.
(2)求(2a+b)x-(x>0)的最小值.
【解题指南】(1)利用一元二次方程根与系数的关系求a，b.(2)利用基本不等式求最小值.
【解析】(1)由题意知：
解得a=1，b=2.
(2)由(1)知a=1，b=2，
所以(2a+b)x-=4x+，
而x>0时，4x+≥2=2×6=12.
当且仅当4x=，即x=时取等号.
所以(2a+b)x-(x>0)的最小值为12.
　　　　　　　　　　　　　 (30分钟　60分)
一、单选题(每小题5分，共20分)
1.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(aA.aC.【解题指南】先写出全程的平均时速为v的表达式，再利用基本不等式与作差法比较即可.
【解析】选A.设甲、乙两地相距s，
则小王用时为+，
因为a又v-a=-a=>=0，所以v>a.
2.已知当x=a时，代数式x-4+(x>-1)取得最小值b，则a+b= (　　)
A.-3 B.2 C.3 D.8
【解析】选C. 令y=x-4+=x+1+-5，由x>-1，得x+1>0，>0，
所以由基本不等式得y=x+1+-5≥
2-5=1，当且仅当x+1=，即(x+1)2=9，即x+1=3，即x=2时取等号，所以a=2，b=1，a+b=3.
3.已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为 (　　)
A.2 B.4 C.9 D.16
【解析】选B.(x+y)=1+a++≥1+a+2=(1+)2.
当且仅当=时取等号.
所以(1+)2≥9，所以a≥4.
4.如图所示，4个长为a，宽为b的长方形，拼成一个正方形ABCD，中间围成一个小正方形A1B1C1D1，则以下说法中错误的是 (　　)
A.(a+b)2≥4ab
B.当a=b时，A1，B1，C1，D1四点重合
C.(a-b)2≤4ab
D.(a+b)2>(a-b)2
【解析】选C.由题图可知正方形ABCD的面积不小于4个长方形的面积之和，即有(a+b)2≥4ab；正方形A1B1C1D1的面积为(a-b)2，结合图形可知(a+b)2>(a-b)2，且当a=b时A1，B1，C1，D1四点重合，但是正方形A1B1C1D1的面积与4个长方形的面积之和大小关系不定.因此C选项错误.
二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5.设a，b∈R，且a≠b，a+b=2，则必有 (　　)
A.ab>1 B.ab<1
C.<1 D.>1
【解析】选BD.因为ab≤，a≠b，所以ab<1，
又1==<，
所以>1，所以ab<1<.
6.下列推导过程，正确的为 (　　)
A.因为a，b为正实数，所以+≥2=2
B.因为x∈R，所以>1
C.a<0，所以+a≥2=4
D.因为x，y∈R，xy<0，所以+=-+≤-2=-2
【解析】选AD.因为a，b为正实数，所以，为正实数，符合基本不等式的条件，故A正确；
当x=0时，有=1，故B不正确；当a<0时，+a≥2=4是错误的，C不正确；由xy<0，得，均为负数，但在推导过程中将整体+提出负号后，，均变为正数，符合基本不等式的条件，且计算正确，D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.已知t>0，则函数y=的最小值为_______.?
【解析】因为t>0，所以y==t+-4≥2-4=-2，且在t=1时取等号.答案：-2
8.规定记号“☉”表示一种运算，即a☉b=+a+b(a，b为正实数).若1☉k=3，则k的值为_______，此时的最小值为_______.?
【解析】1☉k=+1+k=3，即k+-2=0，
所以=1或=-2(舍)，所以k=1.
==1++≥1+2=3，当且仅当=，即x=1时等号成立.
答案：1　3
四、解答题(每小题10分，共20分)
9.求t=x+的取值范围.
【解析】当x>0时，x+≥2=2，
当且仅当x=，即x=1时，“=”成立，
所以x+≥2.
当x<0时，x+=-≤
-2=-2，当且仅当-x=，
即x=-1时，“=”成立.
所以x+≤-2.
故t=x+的取值范围为{t|t≤-2或t≥2}.
10.已知a>b>c，你能比较出4与(a-c)的大小吗？
【解析】(a-c)≥4，理由如下：
因为a-c=(a-b)+(b-c)，
所以[(a-b)+(b-c)]
=2++，
又a>b>c，所以+≥2，
故(a-c)≥4，
当且仅当=时，取“=”.
创新练习：
1.已知a>0，b>0，则++2的最小值是 (　　)
A.2 B.2 C.4 D.5
【解析】选C.++2≥2+2≥
4=4.当
即a=b=1时，等号成立，
因此++2的最小值为4.
2.已知x1·x2·…·x2 020=1，且x1，x2，…，x2 020都是正数，求(1+x1)(1+x2)…
(1+x2 020)的最小值.
【解析】因为x1·x2·…·x2 020=1，
且x1，x2，…，x2 020都是正数，
所以(1+x1)(1+x2)…(1+x2 020)≥
2·2·…·2
=22 020·=22 020.
当且仅当x1=x2=…=x2 020=1时，取“=”.
故所求最小值为22 020.
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