2.3.2 一元二次不等式的应用 随堂跟踪练习（含答案）

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2.3.2 一元二次不等式的应用跟踪练习
　　　　　　　　　　　　　 (15分钟　35分)
1.已知集合M=，N={x|x≤-3}，则集合{x|x≥1}等于 (　　)
A.M∩N B.M∪N
C.R(M∩N) D.R(M∪N)
【补偿训练】
　　 不等式<0的解集为 (　　)
A.{x|-1B.{x|1C.{x|2D.{x|-12.关于x的不等式<0(其中a<-1)的解集为 (　　)
A.
B.
C.∪
D.(-∞，-1)∪
3.若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3000+20x-0.1x2(0A.100台 B.120台
C.150台 D.180台
4. “t≥-2”是“对任意正实数x，都有t2-t≤x+恒成立”的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.若不等式x2-4x+3m<0的解集为空集，则实数m的取值范围是_______.?
6.解下列不等式.
(1)≥0.　　　　(2)>1.
　　　　　　　　　　　　　 (30分钟　60分)
一、单选题(每小题5分，共20分)
1.若不等式x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为 (　　)
A.[-1，4]
B.(-∞，-2]∪[5，+∞)
C.(-∞，-1]∪[4，+∞)
D.[-2，5]
【补偿训练】
函数y=对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围是 (　　)
A.m>2 B.m<2
C.m<0或m>2 D.0≤m≤2
2.不等式<2的解集为 (　　)
A.{x|x≠-2} B.R
C.? D.{x|x<-2或x>2}
3.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是 (　　)
A.[15，20] B.[12，25]
C.[10，30] D.[20，30]
【补偿训练】
某地每年销售木材约20万m3，每m3价格为2 400元.为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万m3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是_______.?
4.若不等式x2+ax-2>0在区间[1，5]上有解，则a的取值范围是 (　　)
A. B.
C.(1，+∞) D.
二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5.下列结论错误的是 (　　)
A.若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2+bx+c>0的解集为R
B.不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0
C.若关于x的不等式ax2+x-1≤0的解集为R，则a≤-
D.不等式>1的解集为x<1
6.在一个限速40 km/h的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离S m与车速x km/h之间分别有如下关系：S甲=0.1x+0.01x2，S乙=0.05x+0.005x2.则下列判断错误的是 (　　)
A.甲车超速 B.乙车超速
C.两车均不超速 D.两车均超速
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.在R上定义运算?：x?y=x(1-y).若不等式(x-a)?(x+a)<1对任意的实数x都成立，则a的取值范围是_______.?
8.已知关于x的不等式ax+b>0的解集是(1，+∞)，则=_____，关于x的不等式>0的解集是_____.?
四、解答题(每小题10分，共20分)
9.若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对x∈R恒成立，求实数a的取值范围.
【补偿训练】
　　 已知不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R，求实数a的取值范围.
10.某城市上年度电价为0.80元/千瓦时，年用电量为a千瓦时.本年度计划将电价降到0.55元/千瓦时～0.75元/千瓦时，而居民用户期望电价为0.40元/千瓦时(该城市电力成本价为0.30元/千瓦时).
经测算，下调电价后，该城市新增用电量与实际电价和用户期望电价之差成反比，比例系数为0.2a.试问当地电价最低为多少时，可保证电力部门的收益比上年度至少增加20%.
创新训练：
1.在关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中至多包含1个整数，则a的取值范围是 (　　)
A.(-3，5) B.(-2，4)
C.[-1，3] D.[-2，4]
2.已知方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0有两个负实根，求实数k的取值范围.
（解析版）
　　　　　　　　　　　　　 (15分钟　35分)
1.已知集合M=，N={x|x≤-3}，则集合{x|x≥1}等于 (　　)
A.M∩N B.M∪N
C.R(M∩N) D.R(M∪N)
【解析】选D.<0?(x+3)(x-1)<0，
故集合M可化为{x|-3将集合M和集合N在数轴上表示出来(如图)，
易知答案为D.
【补偿训练】
　　 不等式<0的解集为 (　　)
A.{x|-1B.{x|1C.{x|2D.{x|-1【解析】选A.原不等式等价于
解得-12.关于x的不等式<0(其中a<-1)的解集为 (　　)
A.
B.
C.∪
D.(-∞，-1)∪
【解析】选D.原不等式变形，得(ax-1)(x+1)<0，
又因为a<-1，所以(x+1)>0，
解得x<-1或x>，
则原不等式的解集为(-∞，-1)∪.
3.若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3000+20x-0.1x2(0A.100台 B.120台
C.150台 D.180台
【解析】选C.y-25x=-0.1x2-5x+3 000≤0，
即x2+50x-30 000≥0，
解得x≥150或x≤-200(舍去).
故生产者不亏本的最低产量是150台.
4. “t≥-2”是“对任意正实数x，都有t2-t≤x+恒成立”的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.由于x+≥2 ，可知t2-t≤2，
解得-1≤t≤2.
所以“t≥-2”是“-1≤t≤2”的必要不充分条件.
5.若不等式x2-4x+3m<0的解集为空集，则实数m的取值范围是____.?
【解析】由题意，知x2-4x+3m≥0对一切实数x恒成立，
所以Δ=(-4)2-4×3m≤0，解得m≥.
答案：
6.解下列不等式.
(1)≥0.　　　　(2)>1.
【解析】(1)原不等式可化为
解得
所以x<-或x≥，
所以原不等式的解集为.
(2)方法一：原不等式可化为
或
解得或
所以-3所以原不等式的解集为.
方法二：原不等式可化为>0，
化简得>0，
即<0，所以(2x+1)(x+3)<0，
解得-3所以原不等式的解集为.
　　　　　　　　　　　　　 (30分钟　60分)
一、单选题(每小题5分，共20分)
1.若不等式x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为 (　　)
A.[-1，4]
B.(-∞，-2]∪[5，+∞)
C.(-∞，-1]∪[4，+∞)
D.[-2，5]
【解析】选A.x2-2x+5=(x-1)2+4的最小值为4，
所以x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立，
只需a2-3a≤4，解得-1≤a≤4.
【补偿训练】
函数y=对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围是 (　　)
A.m>2 B.m<2
C.m<0或m>2 D.0≤m≤2
【解析】选D.由题意知x2+mx+≥0对一切x∈R恒成立，所以Δ=m2-2m≤0，所以0≤m≤2.
2.不等式<2的解集为 (　　)
A.{x|x≠-2} B.R
C.? D.{x|x<-2或x>2}
【解析】选A.因为x2+x+1>0恒成立，
所以原不等式?x2-2x-2<2x2+2x+2?x2+4x+4>0，
所以(x+2)2>0，所以x≠-2.
所以不等式的解集为{x|x≠-2}.
3.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是 (　　)
A.[15，20] B.[12，25]
C.[10，30] D.[20，30]
【解析】选C.设矩形的另一边长为y m，
则由三角形相似知，=，所以y=40-x.
因为xy≥300，所以x(40-x)≥300，
所以x2-40x+300≤0，
所以10≤x≤30.
【补偿训练】
某地每年销售木材约20万m3，每m3价格为2 400元.为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万m3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是_______.?
【解析】设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，
则y=2 400×t%=60(8t-t2).
令y≥900，即60(8t-t2)≥900，解得3≤t≤5.
答案：[3，5]
4.若不等式x2+ax-2>0在区间[1，5]上有解，则a的取值范围是 (　　)
A. B.
C.(1，+∞) D.
【解题指南】转化为二次方程与二次函数问题求解.
【解析】选A.由Δ=a2+8>0知方程恒有两个不等实根，
又因为x1x2=-2<0，所以方程必有一正根，一负根，对应二次函数图象过点(0，-2)，如图.只要当x=5时，二次函数y=x2+ax-2的函数值大于0，就能保证不等式x2+ax-2>0在[1，5]上有解，即25+5a-2>0，所以a>-.
二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5.下列结论错误的是 (　　)
A.若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2+bx+c>0的解集为R
B.不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0
C.若关于x的不等式ax2+x-1≤0的解集为R，则a≤-
D.不等式>1的解集为x<1
【解析】选ABD.A选项中，只有a>0时才成立；B选项当a=b=0，c≤0时也成立；D选项x是大于0的.
6.在一个限速40 km/h的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离S m与车速x km/h之间分别有如下关系：S甲=0.1x+0.01x2，S乙=0.05x+0.005x2.则下列判断错误的是 (　　)
A.甲车超速 B.乙车超速
C.两车均不超速 D.两车均超速
【解析】选ACD.由题意列出不等式S甲=0.1x甲+0.01>12，
S乙=0.05x乙+0.005>10.
分别求解，得x甲<-40或x甲>30，x乙<-50或x乙>40.
由于x>0，从而得x甲>30 km/h，x乙>40 km/h.
经比较知乙车超过限速.
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.在R上定义运算?：x?y=x(1-y).若不等式(x-a)?(x+a)<1对任意的实数x都成立，则a的取值范围是_______.?
【解题指南】按照运算?的定义，转化为不等式恒成立问题解决.
【解析】根据定义得(x-a)?(x+a)=(x-a)[1-(x+a)]=-x2+x+a2-a，
又(x-a)?(x+a)<1对任意的实数x都成立，
所以x2-x+a+1-a2>0对任意的实数x都成立，
所以Δ<0，即1-4(a+1-a2)<0，
解得-答案：
8.已知关于x的不等式ax+b>0的解集是(1，+∞)，则=_____，关于x的不等式>0的解集是_____.?
【解析】依题意，a>0且-=1，所以=-1；
不等式>0可变形为(ax-b)(x-2)>0，即x-(x-2)>0，
所以(x+1)(x-2)>0，故x>2或x<-1.
答案：-1　{x|x<-1或x>2}
四、解答题(每小题10分，共20分)
9.若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对x∈R恒成立，求实数a的取值范围.
【解析】因为a=2时，原不等式为-4<0，
所以a=2时恒成立.
当a≠2时，由题意得
即
解得-2综上两种情况可知-2【误区警示】失分点一：不能将不等式恒成立问题转化为不等式组求解.
失分点二：没能对二次项系数分情况讨论使答案不准确.
【补偿训练】
　　 已知不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R，求实数a的取值范围.
【解析】当a2-1=0，即a=1或a=-1时，原不等式的解集为R或，所以a=1满足不等式的解集为R；
当a2-1≠0，即a≠±1时，要使原不等式的解集为R，
必须，
即，
解得：-所以实数a的取值范围是.
10.某城市上年度电价为0.80元/千瓦时，年用电量为a千瓦时.本年度计划将电价降到0.55元/千瓦时～0.75元/千瓦时，而居民用户期望电价为0.40元/千瓦时(该城市电力成本价为0.30元/千瓦时).
经测算，下调电价后，该城市新增用电量与实际电价和用户期望电价之差成反比，比例系数为0.2a.试问当地电价最低为多少时，可保证电力部门的收益比上年度至少增加20%.
【解析】设新电价为x元/千瓦时(0.55≤x≤0.75)，
则新增用电量为千瓦时.
依题意，有(x-0.3)
≥a(0.8-0.3)(1+20%)，
即(x-0.2)(x-0.3)≥0.6(x-0.4)，
整理得x2-1.1x+0.3≥0，
解此不等式，得x≥0.6或x≤0.5，
又0.55≤x≤0.75，所以0.6≤x≤0.75，
因此，xmin=0.6，即电价最低为0.6元/千瓦时，可保证电力部门的收益比上年度至少增加20%.
创新训练：
1.在关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中至多包含1个整数，则a的取值范围是 (　　)
A.(-3，5) B.(-2，4)
C.[-1，3] D.[-2，4]
【解析】选C.因为关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0可化为(x-1)(x-a)<0，
当a>1时，不等式的解集为{x|1当a<1时，不等式的解集为{x|a当a=1时，不等式的解集为?，
要使得解集中至多包含1个整数，则a=1或1a≥-1，
所以实数a的取值范围是a∈[-1，3]，故选C.
2.已知方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0有两个负实根，求实数k的取值范围.
【解析】要使原方程有两个负实根，必须满足：
即
所以
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