【同步必刷题】2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 基础练（含解析）
文档属性
| 名称 | 【同步必刷题】2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 基础练（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-01-25 14:08:34 | ||
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文档简介
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2020-2021学年人教A版必修二同步必刷题基础练
第二章《点、直线、平面之间的位置关系》
2.1
空间点、直线、平面之间的位置关系
一．选择题
1．（2021?二模拟）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，BB1的中点，则异面直线AE，FC所成的角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2021?五模拟）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则CM与D1N所成角的正切值为（ ）
A．
B．
C．4
D．﹣4
3．（2020秋?香坊区校级期末）已知三个不同的平面α，β，γ，三条不重合的直线m，n，l，有下列四个命题：
①若m⊥l，n⊥l，则m∥n；
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若m⊥α，m∥n，n?β，则α⊥β；
④若m∥α，α∩β＝n，则m∥n
其中真命题的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．（2020秋?皇姑区校级期末）如图所示，设E、F分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱CD上两点，且AB＝2，EF＝1，其中正确的命题为（ ）
A．异面直线B1D1与EF所成的角为45°
B．异面直线B1D1与EF所成的角为30°
C．直线B1D1与平面B1EF所成的角为45°
D．直线B1D1与平面B1EF所成的角为60°
5．（2020秋?香坊区校级期末）已知三个不同的平面α，β，γ，三条不重合的直线m，n，l，有下列四个命题中正确的是（ ）
A．若m⊥l，n⊥l，则m∥n
B．若a⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m⊥α，m∥n，n?β，则α⊥β
D．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n
6．（2020秋?朝阳区校级期末）在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，其中AB＝BC＝BB1＝2，点D是AC的中点，则异面直线AB1与BD所成角的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2020秋?城关区校级期末）已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且l∥α，m⊥β，则下列命题中不正确的是（ ）
A．若α∥β，则m⊥α
B．若α∥β，则l⊥m
C．若l⊥m，则l∥β
D．若m∥α，则α⊥β
二．填空题
8．（2021?闵行区一模）如图，已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，高为3，则异面直线AA1与BD1所成角的大小是
．
9．（2020秋?宝应县月考）四棱锥P﹣ABCD的底面是一个正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝4，E是棱PA的中点，则异面直线BE与AC所成角的余弦值是
．
10．（2020秋?秦都区校级月考）已知直线m∥平面α，直线n在α内，则m与n所有可能的位置关系是
．
11．（2020秋?海曙区校级期中）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的正弦值为
．
12．（2020秋?闵行区校级期末）设E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，若AC⊥BD，则四边形EFGH的形状是
．
13．（2020秋?闵行区校级期末）在所有经过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的任意两个顶点的直线中任取k条，求这k条直线恰是两两异面，则k的最大值为
．
14．（2021?十三模拟）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FC∥ED，且AB＝ED＝2FC＝2，则异面直线AC与EF所成角的余弦值为
，多面体ABCDEF的体积为
．
三．解答题
15．（2021?浦东新区一模）如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A的中点．
（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；
（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）
16．（2020春?烟台期中）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为C1D1，B1C1的中点．
（1）求证：E，F，B，D四点共面；
（2）若AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，AC1与平面EFBD交于点R，求证：P，Q，R三点共线．
17．（2020春?德州期末）在四面体A﹣BCD中，点E，F，M分别是AB，BC，CD的中点，且BD＝AC＝2，EM＝1．
（1）求证：EF∥平面ACD；
（2）求异面直线AC与BD所成的角．
18．（2020?济南模拟）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，，将直角梯形ABCD（及其内部）以AB所在直线为轴顺时针旋转90°，形成如图所示的几何体，其中M为的中点．
（1）求证：BM⊥DF；
（2）求异面直线BM与EF所成角的大小．
19．（2019秋?湖北期中）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥CD，∠PAD＝∠ABC＝90°，AB∥CD，DC＝CBAB＝2，PA＝2．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求异面直线AB与PD所成角的余弦值；
20．（2019秋?路南区校级期中）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AA1＝2，D为AB的中点．
（1）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值；
（2）在棱A1B1上是否存在一点M，使得平面C1AM∥平面B1CD．
21．（2020秋?河南月考）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，PD⊥CD，PD＝2CD，过直线AB的平面与棱PC，PD分别交于点E，F．
（1）求异面直线PC与AB所成角的正切值；
（2）求证：EF∥CD．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：以D为原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则A（2，0，0），C（0，2，0），E（0，1，2），F（2，2，1），
∴（﹣2，1，2），（﹣2，0，﹣1），
∴cos，，
∴异面直线AE，FC所成的角的余弦值为．
故选：B．
2．【解答】解：设正方体的棱长为2，
以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则C（0，2，0），M（2，0，1），D1（0，0，2），N（2，2，1），
∴（2，﹣2，1），（2，2，﹣1），
∴cos，，
∵异面直线所成角的取值范围为（0，]，
∴tan，，
∴CM与D1N所成角的正切值为．
故选：C．
3．【解答】解：由三个不同的平面α，β，γ，三条不重合的直线m，n，l，知：
在①中，若m⊥l，n⊥l，则m与n相交、平行或异面，故①错误；
在②中，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故②错误；
在③中，若m⊥α，m∥n，n?β，则由面面垂直的判断定理得α⊥β，故③正确；
在④中，若m∥α，α∩β＝n，则m与n异面或平行，故④错误．
故选：A．
4．【解答】解：因为EF∥D1C1，
所以∠B1D1C1是异面直线B1D1与EF所成的角为45°，
故选项A正确，选项B错误；
在三棱锥D1﹣B1DC中，设点D1到平面DCB1的距离为h，
则有，
所以，
解得，
则直线B1D1与平面B1EF所成的角的正弦值为，
所以直线B1D1与平面B1EF所成的角为30°，
故选项C，D错误．
故选：A．
5．【解答】解：由三个不同的平面α，β，γ，三条不重合的直线m，n，l，知：
对于A，若m⊥l，n⊥l，则m与n相交、平行或异面，故A错误；
对于B，若a⊥γ，β⊥γ，则α与β平行或相交，故B错误；
对于C，若m⊥α，m∥n，n?β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；
对于D，若m∥α，α∩β＝n，则m与n平行或异面，故D错误．
故选：C．
6．【解答】解：∵在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，
∴以B为原点，以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AB＝BC＝BB1＝2，点D是AC的中点，
∴A（0，2，0），B1（0，0，2），B（0，0，0），D（1，1，0），
（0，﹣2，2），（1，1，0），
设异面直线AB1与BD所成角的大小为θ，
则cosθ，
∴θ．
∴异面直线AB1与BD所成角的大小为．
故选：A．
7．【解答】解：因为l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且l∥α，m⊥β，
若α∥β，则由线面垂直的判定定理得m⊥α，故选项A正确；
若α∥β，则由线面垂直的判定定理得m⊥α，
又l∥α，所以l⊥m，故选项B正确；
若l⊥m，则l与β平行或l?β，故选项C错误；
若m∥α，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故选项D正确．
故选：C．
二．填空题
8．【解答】解：由正四棱柱的性质知，AA1∥DD1，
∴∠DD1B即为异面直线AA1与BD1所成角，
在Rt△DD1B中，tan∠DD1B，
∴∠DD1B＝arctan，
∴异面直线AA1与BD1所成角的大小是arctan．
故答案为：arctan．
9．【解答】解：以A为原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4，0），E（0，0，2），
∴（﹣4，0，2），（4，4，0），
∴cos，，
∵异面直线夹角的取值范围为（0，]，
∴异面直线BE与AC所成角的余弦值为．
故答案为：．
10．【解答】解：直线m∥平面α，直线n在α内，
所以直线m与n没有交点，
所以直线m与n所有可能的关系为平行或异面．
故答案为：平行或异面．
11．【解答】解：连接B1C，交BC1于点O，则O为BC1的中点，取AC的中点D，连接OD，
∴OD∥AB1，ODAB1，
∴∠BOD或其补角即为异面直线AB1与BC1所成角，
在△OBD中，BDAC，OBBC1，
由余弦定理知，cos∠BOD，
∴sin∠BOD，
∴异面直线AB1与BC1所成角的正弦值为．
故答案为：．
12．【解答】解：如图所示，
∵E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EFAC，HGAC，
∴EFHG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
又AC⊥BD，
∴EF⊥EH．
则四边形EFGH的形状是矩形．
故答案为：矩形．
13．【解答】解：正方体共有8个顶点，若选出的k条线两两异面，则不能共顶点，即至多可选出4条，
又可以选出4条两两异面的线（如图DB，B1C，A1C1，AD1），故所求k的最大值是4．
故答案为：4．
14．【解答】解：取DE的中点G，连接GA，GC，BD，则有CF∥EG，CFDE＝EG，
∴四边形CGEF为平行四边形，∴EF∥CG，
∴∠ACG或其补角为异面直线AC与EF所成的角．
由勾股定理可知，CG＝AG，AC，
在等腰△ACG中，cos∠ACG，
∴异面直线AC与EF所成角的余弦值为．
∵DE⊥平面ABCD，∴DE⊥BC，
∵BC⊥CD，DE∩CD＝C，DE、CD?平面CDEF，
∴BC⊥平面CDEF，
∴VB﹣CDEFBC?S梯形CDEF22＝2，
VE﹣ABDDE?S△ABD22×2，
∴多面体ABCDEF的体积V＝VB﹣CDEF+VE﹣ABD＝2．
故答案为：；．
三．解答题
15．【解答】解：（1）∵，
∴V＝S△ABC?A1A4＝2．
（2）∵BC∥B1C1，
∴∠MBC或其补角是异面直线BM与B1C1所成的角，
在△MBC中，BM＝CM，BC，
由余弦定理得，cos∠MBC，
∴∠MBC＝arccos，
故异面直线BM与B1C1所成的角为．
16．【解答】证明：（1）连接B1D1，
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵E，F分别为C1D1，B1C1的中点，
∴EF是△B1C1D1的中位线，∴EF∥B1D1，
又因为B1D1∥BD，∴EF∥BD
∴四边形BDEF为梯形，即B，D，E，F四点共面．
（2）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，
∴PQ是平面AA1C1C与平面BDEF的交线，
又因为AC1交平面BDEF于点R，
∴R是平面AA1C1C与平面BDEF的一个公共点．
因为两平面相交的所有公共点都在这两个平面的交线上，
∴P，Q，R三点共线．
17．【解答】解：（1）证明：∵点E，F分别是AB，BC的中点，∴EF∥AC，
∵EF?平面ACD，AC?平面ACD，
∴EF∥平面ACD．
（2）解：∵点E，F，M分别是AB，BC，CD的中点，
∴EF∥AC，FM∥BD，
∴∠EFM是异面直线AC与BD所成的角（或所成角的补角），
在△EFM中，EF＝FM＝EM＝1，
∴△EFM是等边三角形，∴∠EFM＝60°，
∴异面直线AC与BD所成的角为60°．
18．【解答】（1）证明：∵AB⊥BC，AB⊥BE，BC∩BE＝B，
∴AB⊥平面BCE，
以B为原点，以BE，BC，BA为坐标轴建立空间坐标系B﹣xyz，如图所示：
设AB＝AD＝1，则D（0，1，1），F（1，0，1），B（0，0，0），M（，，0），
∴（，，0），（1，﹣1，0），
∴0＝0，
∴BM⊥DF．
（2）解：E（2，0，0），故（﹣1，0，1），
∴cos，，
∴设异面直线BM与EF所成角为θ，则cosθ＝|cos，|，
故θ．
19．【解答】（1）证明：∵PA⊥CD，PA⊥AD，CD∩AD＝D，
∴PA⊥平面ABCD，
（2）∵AB∥CD，
∴∠PDC为异面直线AB与PD所成的角或其补角，
∵PA⊥平面ABCD，
∴在Rt△PAD中，，，
∴，
∴，
∴异面直线AB与PD所成角的余弦值为：．
20．【解答】解：（1）以C为原点，CB、CA、CC1分别为x、z、y轴建立空间直角坐标系．
因为AC＝BC，AA1＝2．
所以C（0，0，0），A（），C1（0，2，0），．
所以，
那么；
（2）在A1B1上中点M，连接MA．
证明如下：
∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱．
∴平面ABC∥平面A1B1C1，AB∥A1B1，AB＝A1B1．
∵D、M分别是AB、A1B1的中点．
∴C1M∥CD．
∵CD?平面CDB1，C1M?平面CDB1，
∴C1M∥平面CDB1．
∴，．
∴MB1＝AD，MB1∥AD．
∴四边形ADB1M是平行四边形．
∴AM∥DB1．
∵DB1?平面DCB1，AM?平面DBC1．
∴AM∥平面DCB1．
∵C1M∩AM＝M．
∴平面C1AM∥平面B1CD．
21．【解答】（1）解：∵AB∥CD，∴∠PCD即为异面直线PC与AB所成的角或其补角．
∵PD⊥CD，PD＝2CD，∴，
又∠PCD∈（0°，90°]，∴异面直线PC与AB所成角的正切值为2．
（2）证明：∵AB∥CD，
又CD?平面PCD，AB?平面PCD，∴AB∥平面PCD．
又由题意，得平面ABEF∩平面PCD＝EF，AB?平面ABEF，
∴AB∥EF，∴EF∥CD．
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2020-2021学年人教A版必修二同步必刷题基础练
第二章《点、直线、平面之间的位置关系》
2.1
空间点、直线、平面之间的位置关系
一．选择题
1．（2021?二模拟）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，BB1的中点，则异面直线AE，FC所成的角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2021?五模拟）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则CM与D1N所成角的正切值为（ ）
A．
B．
C．4
D．﹣4
3．（2020秋?香坊区校级期末）已知三个不同的平面α，β，γ，三条不重合的直线m，n，l，有下列四个命题：
①若m⊥l，n⊥l，则m∥n；
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若m⊥α，m∥n，n?β，则α⊥β；
④若m∥α，α∩β＝n，则m∥n
其中真命题的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．（2020秋?皇姑区校级期末）如图所示，设E、F分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱CD上两点，且AB＝2，EF＝1，其中正确的命题为（ ）
A．异面直线B1D1与EF所成的角为45°
B．异面直线B1D1与EF所成的角为30°
C．直线B1D1与平面B1EF所成的角为45°
D．直线B1D1与平面B1EF所成的角为60°
5．（2020秋?香坊区校级期末）已知三个不同的平面α，β，γ，三条不重合的直线m，n，l，有下列四个命题中正确的是（ ）
A．若m⊥l，n⊥l，则m∥n
B．若a⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m⊥α，m∥n，n?β，则α⊥β
D．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n
6．（2020秋?朝阳区校级期末）在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，其中AB＝BC＝BB1＝2，点D是AC的中点，则异面直线AB1与BD所成角的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2020秋?城关区校级期末）已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且l∥α，m⊥β，则下列命题中不正确的是（ ）
A．若α∥β，则m⊥α
B．若α∥β，则l⊥m
C．若l⊥m，则l∥β
D．若m∥α，则α⊥β
二．填空题
8．（2021?闵行区一模）如图，已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，高为3，则异面直线AA1与BD1所成角的大小是
．
9．（2020秋?宝应县月考）四棱锥P﹣ABCD的底面是一个正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝4，E是棱PA的中点，则异面直线BE与AC所成角的余弦值是
．
10．（2020秋?秦都区校级月考）已知直线m∥平面α，直线n在α内，则m与n所有可能的位置关系是
．
11．（2020秋?海曙区校级期中）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的正弦值为
．
12．（2020秋?闵行区校级期末）设E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，若AC⊥BD，则四边形EFGH的形状是
．
13．（2020秋?闵行区校级期末）在所有经过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的任意两个顶点的直线中任取k条，求这k条直线恰是两两异面，则k的最大值为
．
14．（2021?十三模拟）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FC∥ED，且AB＝ED＝2FC＝2，则异面直线AC与EF所成角的余弦值为
，多面体ABCDEF的体积为
．
三．解答题
15．（2021?浦东新区一模）如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A的中点．
（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；
（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）
16．（2020春?烟台期中）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为C1D1，B1C1的中点．
（1）求证：E，F，B，D四点共面；
（2）若AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，AC1与平面EFBD交于点R，求证：P，Q，R三点共线．
17．（2020春?德州期末）在四面体A﹣BCD中，点E，F，M分别是AB，BC，CD的中点，且BD＝AC＝2，EM＝1．
（1）求证：EF∥平面ACD；
（2）求异面直线AC与BD所成的角．
18．（2020?济南模拟）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，，将直角梯形ABCD（及其内部）以AB所在直线为轴顺时针旋转90°，形成如图所示的几何体，其中M为的中点．
（1）求证：BM⊥DF；
（2）求异面直线BM与EF所成角的大小．
19．（2019秋?湖北期中）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥CD，∠PAD＝∠ABC＝90°，AB∥CD，DC＝CBAB＝2，PA＝2．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求异面直线AB与PD所成角的余弦值；
20．（2019秋?路南区校级期中）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AA1＝2，D为AB的中点．
（1）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值；
（2）在棱A1B1上是否存在一点M，使得平面C1AM∥平面B1CD．
21．（2020秋?河南月考）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，PD⊥CD，PD＝2CD，过直线AB的平面与棱PC，PD分别交于点E，F．
（1）求异面直线PC与AB所成角的正切值；
（2）求证：EF∥CD．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：以D为原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则A（2，0，0），C（0，2，0），E（0，1，2），F（2，2，1），
∴（﹣2，1，2），（﹣2，0，﹣1），
∴cos，，
∴异面直线AE，FC所成的角的余弦值为．
故选：B．
2．【解答】解：设正方体的棱长为2，
以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则C（0，2，0），M（2，0，1），D1（0，0，2），N（2，2，1），
∴（2，﹣2，1），（2，2，﹣1），
∴cos，，
∵异面直线所成角的取值范围为（0，]，
∴tan，，
∴CM与D1N所成角的正切值为．
故选：C．
3．【解答】解：由三个不同的平面α，β，γ，三条不重合的直线m，n，l，知：
在①中，若m⊥l，n⊥l，则m与n相交、平行或异面，故①错误；
在②中，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故②错误；
在③中，若m⊥α，m∥n，n?β，则由面面垂直的判断定理得α⊥β，故③正确；
在④中，若m∥α，α∩β＝n，则m与n异面或平行，故④错误．
故选：A．
4．【解答】解：因为EF∥D1C1，
所以∠B1D1C1是异面直线B1D1与EF所成的角为45°，
故选项A正确，选项B错误；
在三棱锥D1﹣B1DC中，设点D1到平面DCB1的距离为h，
则有，
所以，
解得，
则直线B1D1与平面B1EF所成的角的正弦值为，
所以直线B1D1与平面B1EF所成的角为30°，
故选项C，D错误．
故选：A．
5．【解答】解：由三个不同的平面α，β，γ，三条不重合的直线m，n，l，知：
对于A，若m⊥l，n⊥l，则m与n相交、平行或异面，故A错误；
对于B，若a⊥γ，β⊥γ，则α与β平行或相交，故B错误；
对于C，若m⊥α，m∥n，n?β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；
对于D，若m∥α，α∩β＝n，则m与n平行或异面，故D错误．
故选：C．
6．【解答】解：∵在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，
∴以B为原点，以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AB＝BC＝BB1＝2，点D是AC的中点，
∴A（0，2，0），B1（0，0，2），B（0，0，0），D（1，1，0），
（0，﹣2，2），（1，1，0），
设异面直线AB1与BD所成角的大小为θ，
则cosθ，
∴θ．
∴异面直线AB1与BD所成角的大小为．
故选：A．
7．【解答】解：因为l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且l∥α，m⊥β，
若α∥β，则由线面垂直的判定定理得m⊥α，故选项A正确；
若α∥β，则由线面垂直的判定定理得m⊥α，
又l∥α，所以l⊥m，故选项B正确；
若l⊥m，则l与β平行或l?β，故选项C错误；
若m∥α，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故选项D正确．
故选：C．
二．填空题
8．【解答】解：由正四棱柱的性质知，AA1∥DD1，
∴∠DD1B即为异面直线AA1与BD1所成角，
在Rt△DD1B中，tan∠DD1B，
∴∠DD1B＝arctan，
∴异面直线AA1与BD1所成角的大小是arctan．
故答案为：arctan．
9．【解答】解：以A为原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4，0），E（0，0，2），
∴（﹣4，0，2），（4，4，0），
∴cos，，
∵异面直线夹角的取值范围为（0，]，
∴异面直线BE与AC所成角的余弦值为．
故答案为：．
10．【解答】解：直线m∥平面α，直线n在α内，
所以直线m与n没有交点，
所以直线m与n所有可能的关系为平行或异面．
故答案为：平行或异面．
11．【解答】解：连接B1C，交BC1于点O，则O为BC1的中点，取AC的中点D，连接OD，
∴OD∥AB1，ODAB1，
∴∠BOD或其补角即为异面直线AB1与BC1所成角，
在△OBD中，BDAC，OBBC1，
由余弦定理知，cos∠BOD，
∴sin∠BOD，
∴异面直线AB1与BC1所成角的正弦值为．
故答案为：．
12．【解答】解：如图所示，
∵E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EFAC，HGAC，
∴EFHG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
又AC⊥BD，
∴EF⊥EH．
则四边形EFGH的形状是矩形．
故答案为：矩形．
13．【解答】解：正方体共有8个顶点，若选出的k条线两两异面，则不能共顶点，即至多可选出4条，
又可以选出4条两两异面的线（如图DB，B1C，A1C1，AD1），故所求k的最大值是4．
故答案为：4．
14．【解答】解：取DE的中点G，连接GA，GC，BD，则有CF∥EG，CFDE＝EG，
∴四边形CGEF为平行四边形，∴EF∥CG，
∴∠ACG或其补角为异面直线AC与EF所成的角．
由勾股定理可知，CG＝AG，AC，
在等腰△ACG中，cos∠ACG，
∴异面直线AC与EF所成角的余弦值为．
∵DE⊥平面ABCD，∴DE⊥BC，
∵BC⊥CD，DE∩CD＝C，DE、CD?平面CDEF，
∴BC⊥平面CDEF，
∴VB﹣CDEFBC?S梯形CDEF22＝2，
VE﹣ABDDE?S△ABD22×2，
∴多面体ABCDEF的体积V＝VB﹣CDEF+VE﹣ABD＝2．
故答案为：；．
三．解答题
15．【解答】解：（1）∵，
∴V＝S△ABC?A1A4＝2．
（2）∵BC∥B1C1，
∴∠MBC或其补角是异面直线BM与B1C1所成的角，
在△MBC中，BM＝CM，BC，
由余弦定理得，cos∠MBC，
∴∠MBC＝arccos，
故异面直线BM与B1C1所成的角为．
16．【解答】证明：（1）连接B1D1，
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵E，F分别为C1D1，B1C1的中点，
∴EF是△B1C1D1的中位线，∴EF∥B1D1，
又因为B1D1∥BD，∴EF∥BD
∴四边形BDEF为梯形，即B，D，E，F四点共面．
（2）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，
∴PQ是平面AA1C1C与平面BDEF的交线，
又因为AC1交平面BDEF于点R，
∴R是平面AA1C1C与平面BDEF的一个公共点．
因为两平面相交的所有公共点都在这两个平面的交线上，
∴P，Q，R三点共线．
17．【解答】解：（1）证明：∵点E，F分别是AB，BC的中点，∴EF∥AC，
∵EF?平面ACD，AC?平面ACD，
∴EF∥平面ACD．
（2）解：∵点E，F，M分别是AB，BC，CD的中点，
∴EF∥AC，FM∥BD，
∴∠EFM是异面直线AC与BD所成的角（或所成角的补角），
在△EFM中，EF＝FM＝EM＝1，
∴△EFM是等边三角形，∴∠EFM＝60°，
∴异面直线AC与BD所成的角为60°．
18．【解答】（1）证明：∵AB⊥BC，AB⊥BE，BC∩BE＝B，
∴AB⊥平面BCE，
以B为原点，以BE，BC，BA为坐标轴建立空间坐标系B﹣xyz，如图所示：
设AB＝AD＝1，则D（0，1，1），F（1，0，1），B（0，0，0），M（，，0），
∴（，，0），（1，﹣1，0），
∴0＝0，
∴BM⊥DF．
（2）解：E（2，0，0），故（﹣1，0，1），
∴cos，，
∴设异面直线BM与EF所成角为θ，则cosθ＝|cos，|，
故θ．
19．【解答】（1）证明：∵PA⊥CD，PA⊥AD，CD∩AD＝D，
∴PA⊥平面ABCD，
（2）∵AB∥CD，
∴∠PDC为异面直线AB与PD所成的角或其补角，
∵PA⊥平面ABCD，
∴在Rt△PAD中，，，
∴，
∴，
∴异面直线AB与PD所成角的余弦值为：．
20．【解答】解：（1）以C为原点，CB、CA、CC1分别为x、z、y轴建立空间直角坐标系．
因为AC＝BC，AA1＝2．
所以C（0，0，0），A（），C1（0，2，0），．
所以，
那么；
（2）在A1B1上中点M，连接MA．
证明如下：
∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱．
∴平面ABC∥平面A1B1C1，AB∥A1B1，AB＝A1B1．
∵D、M分别是AB、A1B1的中点．
∴C1M∥CD．
∵CD?平面CDB1，C1M?平面CDB1，
∴C1M∥平面CDB1．
∴，．
∴MB1＝AD，MB1∥AD．
∴四边形ADB1M是平行四边形．
∴AM∥DB1．
∵DB1?平面DCB1，AM?平面DBC1．
∴AM∥平面DCB1．
∵C1M∩AM＝M．
∴平面C1AM∥平面B1CD．
21．【解答】（1）解：∵AB∥CD，∴∠PCD即为异面直线PC与AB所成的角或其补角．
∵PD⊥CD，PD＝2CD，∴，
又∠PCD∈（0°，90°]，∴异面直线PC与AB所成角的正切值为2．
（2）证明：∵AB∥CD，
又CD?平面PCD，AB?平面PCD，∴AB∥平面PCD．
又由题意，得平面ABEF∩平面PCD＝EF，AB?平面ABEF，
∴AB∥EF，∴EF∥CD．
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精品试卷·第
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