【同步必刷题】2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 提高练（含解析）

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2020-2021学年人教A版必修二同步必刷题提高练
第二章《点、直线、平面之间的位置关系》
2.1
空间点、直线、平面之间的位置关系
一．选择题
1．（2020秋?河南月考）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论正确的是（　　）
A．若α∥β，m?α，n?β，则m∥n
B．若α⊥β，m?α，n?β，则m⊥n
C．若点A，B到α平面的距离相等，则直线AB∥α
D．若m⊥α，m∥β，则α⊥β
2．（2020秋?朝阳区校级期末）在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，其中AB＝BC＝BB1＝2，点D是AC的中点，则异面直线AB1与BD所成角的大小为（　　）
A．
B．
C．
D．
3．（2020秋?城关区校级期末）已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且l∥α，m⊥β，则下列命题中不正确的是（　　）
A．若α∥β，则m⊥α
B．若α∥β，则l⊥m
C．若l⊥m，则l∥β
D．若m∥α，则α⊥β
4．（2020秋?长安区校级期末）在三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC，M，N分别为AC，AB的中点，则异面直线PN和BM所成角的余弦值为（　　）
A．
B．
C．
D．
二．填空题
5．（2021?浙江模拟）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为6，点F是棱AA1的中点，AC与BD的交点为O，点M在棱BC上，且BM＝2MC，动点T（不同于点M）在四边形ABCD内部及其边界上运动，且TM⊥OF，则直线B1F与TM所成角的余弦值为　
　．
6．（2020秋?汾阳市期中）如图，在正方体中，A，B，C，D分别是顶点或所在棱的中点，则A，B，C，D四点共面的图形有　
　（填上所有正确答案的序号）．
7．（2020秋?南海区校级月考）如图，在三棱锥A﹣BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则：
（1）当AC，BD满足条件　
　时，四边形EFGH为菱形；
（2）当AC，BD满足条件　
　时，四边形EFGH为正方形．
8．（2020秋?河南月考）若正三棱锥A﹣BCD的侧棱长为8，底面边长为4，E，F分别为AC，AD上的动点（如图），则截面△BEF的周长最小值为　
　．
9．（2020秋?安徽月考）已知四面体ABCD的所有棱长均为6，过D作平面α使得BC∥α，且棱AB，AC分别与平面α交于点E，F，若异面直线DE，BC所成角的余弦值为，则AE的长为　
　．
10．（2020秋?上城区校级期中）如图，在四面体ABCD中，AB＝CD，M、N、P、Q分别是BC、AD、AC、BD的中点，则MN与PQ所成角为　
　，若AB与CD所成角为30°，则MN和CD所成的角的大小为　
　．
11．（2020秋?浙江期中）若棱长为4的正四面体A﹣BCD的顶点都在同一球面上，则异面直线AB与CD所成角的余弦值是　
　，该球的表面积是　
　．
三．解答题
12．（2020秋?辽阳期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BB1的中点．
（1）证明：AB∥平面C1D1E；
（2）若O为平面A1B1C1D1的中心，求异面直线C1E与AO所成角的余弦值．
13．（2021?虹口区一模）如图在三棱锥P﹣ABC中，棱AB、AC、AP两两垂直，AB＝AC＝AP＝3，点M在AP上，且AM＝1．
（1）求异面直线BM和PC所成的角的大小；
（2）求三棱锥P﹣BMC的体积．
14．（2021?闵行区一模）如图，在圆柱OO1中，AB是圆柱的母线，BC是圆柱的底面⊙O的直径，D是底面圆周上异于B、C的点．
（1）求证：CD⊥平面ABD；
（2）若BD＝2，CD＝4，AC＝6，求圆柱OO1的侧面积．
15．（2020秋?金凤区校级月考）如图，在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝3，BC＝4，AA′＝8，且E，F分别是棱AA′，BB′的中点．求直线A′F与D′E所成角的余弦值．
16．（2020秋?南岗区校级期末）已知正四棱锥S﹣ABCD的侧棱长为，底面的边长为，E是SA的中点，求异面直线BE与SC所成的角．
17．（2020秋?重庆期末）已知圆台O1O2，轴截面ABCD，圆台的上底面圆半径与高相等，下底面圆半径为高的两倍，点E为下底圆弧的中点，点N为上底圆周上靠近点A的的四等分点，经过O1，O2，N三点的平面与弧交于点M，且E，M，N三点在平面ABCD的同侧．
（Ⅰ）判断平面O1O2MN与直线CE的位置关系，并证明你的结论；
（Ⅱ）P为上底圆周上的一个动点，当四棱锥P﹣ABCD的体积最大时，求异面直线CP与DB所成角的余弦值．
18．（2021?嘉定区一模）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，A1D＝4．
（1）求该正四棱柱的表面积和体积；
（2）求异面直线A1D与AC所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）．
19．（2021?徐汇区一模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝2，CC1＝4，∠ACB＝90°，E、F分别为棱AA1、AB的中点．
（1）求异面直线A1C与EF所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）求五棱锥C﹣EFBB1A1的体积．
20．（2020秋?黄浦区校级月考）空间四边形ABCD中，AB＝CD，点M、N分别为对角线BD、AC的中点．
（1）若直线AB与MN所成角为60°，求直线AB与CD所成角的大小；
（2）若直线AB与CD所成角为θ，求直线AB与MN所成角的大小．
21．（2020秋?河南月考）如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2．
（1）当点M在何位置时，BM∥平面AEF？
（2）若BM∥平面AEF，判断BM与EF的位置关系，说明理由；并求BM与EF所成的角的余弦值．
22．（2020秋?聊城期中）如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，设，，为空间向量的一组基底，，，，试用基底向量法求解以下各题．求：
（1）；
（2）求异面直线CF与BD所成角的余弦值．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：由α∥β，m?α，n?β，得m∥n或m与n异面，故A错误；
若α⊥β，m?α，n?β，则m∥n或m与n相交或m与n异面，相交或异面时也不一定垂直，故B错误；
若点A，B到α平面的距离相等，AB可能与α平行，也可能与平面a相交，故C错误；
若m∥β，过m作平面与β相交，交线为n，则m∥n，又m⊥α，所以n⊥α，得α⊥β，故D正确．
故选：D．
2．【解答】解：∵在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，
∴以B为原点，以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AB＝BC＝BB1＝2，点D是AC的中点，
∴A（0，2，0），B1（0，0，2），B（0，0，0），D（1，1，0），
（0，﹣2，2），（1，1，0），
设异面直线AB1与BD所成角的大小为θ，
则cosθ，
∴θ．
∴异面直线AB1与BD所成角的大小为．
故选：A．
3．【解答】解：因为l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且l∥α，m⊥β，
若α∥β，则由线面垂直的判定定理得m⊥α，故选项A正确；
若α∥β，则由线面垂直的判定定理得m⊥α，
又l∥α，所以l⊥m，故选项B正确；
若l⊥m，则l与β平行或l?β，故选项C错误；
若m∥α，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故选项D正确．
故选：C．
4．【解答】解：∵在三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC，M，N分别为AC，AB的中点，
∴以P为原点，PA为x轴，PB为y轴，PC为z轴，建立空间直角坐标系，
设PA＝PB＝PC＝2，则P（0，0，0），N（1，1，0），B（0，2，0），M（1，0，1），
（1，1，0），（1，﹣2，1），
设异面直线PN和BM所成角为θ，
则cosθ．
∴异面直线PN和BM所成角的余弦值为．
故选：D．
二．填空题
5．【解答】解：以A为原点，AD，AB，AA1所在的直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则B1（0，6，6），F（0，0，3），M（4，6，0），O（3，3，0），
设T（x，y，0），则（4﹣x，6﹣y，0），（0，﹣6，﹣3），（﹣3，﹣3，3），
∵TM⊥OF，
∴?0，即﹣3（4﹣x）﹣3（6﹣y）＝0，
∴y＝10﹣x，
∴（4﹣x，x﹣4，0），
∴|cos，|＝||＝||＝||，
∵点T与点M不重合，∴x﹣4≠0，∴|cos，|，
∴直线B1F与TM所成角的余弦值为．
故答案为：．
6．【解答】解：如图所示：
对于①作中点F，
所以EF∥CD∥AB，则A、B、C、D四点共面．
对于②直线AB和CD
为异面直线，
对于③：如图所示：
连接EF，所以AC∥EF∥BD，
故A、B、C、D四点共面，
对于④：如图所示：
连接EF，GH，
所以AC∥BD∥EF∥GH，
故A、B、C、D四点共面，
对于⑤：直线AB和CD
为异面直线，
故答案为：①③④．
7．【解答】解：（1）因为四边形
EFGH
为菱形，所以
EF＝EH，所以
AC＝BD．
解：（2）因为四边形
EFGH
为正方形，
所以
EF＝EH
且
EF⊥EH，
因为
EF∥AC，EH∥BD，且
，，
所以
AC＝BD
且
AC⊥BD．
8．【解答】解：正三棱锥A﹣BCD的侧面展开图如图，
由平面几何知识可得BB'∥CD，
所以∠BEC＝∠ECD＝∠ACB，
于是△BCE∽△ABC，
所以．
即，
所以CE＝2，
所以AE＝6，
又，
可得EF＝3．
截面△BEF的周长最小值为：4+3+4＝11．
故答案为：11．
9．【解答】解：由题意可得EF∥BC，异面直线DE，BC所成的角为∠DEF，且cos∠DEF，
设AE＝EF＝x（0＜x＜6），则DE＝DF，
于是cos∠DEF，
解得x＝2，
即AE的长为2．
故答案为：2．
10．【解答】解：连接MP，NP，MQ，NQ，
∵M、N、P、Q分别为BC、AD、AC、BD的中点，
∴MQ∥CD，MQCD，NP∥CD，NPCD，
∴MQ∥NP，MQ＝NP，
∴四边形MPNQ是平行四边形，
∵MPAB，AB＝CD，∴MPCD，
∴MP＝MQ，
∴平行四边形MPNQ是菱形，
∴MN⊥PQ，
∴MN与PQ所成角为90°．
∵MP∥AB，MQ∥CD，
∴∠PMQ或其补角即为AB与CD所成的角，
∴∠PMQ＝30°或150°，
∵MQ∥CD，
∴∠NMQ为MN和CD所成角，
而∠NMQ∠PMQ＝15°或75°，
∴MN和CD所成角为15°或75°．
故答案为：90°；15°或75°．
11．【解答】解：取CD中点E，连接BE、AE，
∵棱长为4的正四面体A﹣BCD中，BC＝BD，AC＝AD，
∴BE⊥CD，AE⊥CD，
∵BE∩AE＝E，∴CD⊥平面ABE，
∵AB?平面ABE，∴AB⊥CD，
∴异面直线AB与CD所成角的余弦值是cos0．
过A作AF⊥平面BCD，交BE于F，
棱长为4的正四面体A﹣BCD的顶点都在同一球面上，则球心O在AF上，连结OB，
设球半径为R，
BE2，BF，AF，
∵OB＝OA＝R，∴OF，
∵OB2＝BF2+OF2，∴R2＝（）2+（）2，
解得R，
∴该球的表面积是S＝4πR2＝4π×6＝24π．
故答案为：0，24π．
三．解答题
12．【解答】解：（1）证明：∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD∥C1D1，
∴AB∥C1D1，
∵AB?平面C1D1E，C1D1?平面C1D1E，
∴AB∥平面C1D1E．
（2）以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设AB＝2，则A（2，0，0），O（1，1，2），C1（0，2，2），E（2，2，1），
∵（2，0，﹣1），（﹣1，1，2），
∴cos，
∴异面直线C1E与AO所成角的余弦值为．
13．【解答】解：（1）在AC上取点N，使ANAC＝1，连接MN，BN，
∵AP＝3，AM＝1，
∴MN∥PC，
∴∠BMN或其补角即为异面直线BM和PC所成的角，
在△BMN中，BM，MN，BN，
由余弦定理知，cos∠BMN，
∴∠BMN＝arccos，
∴异面直线BM和PC所成的角的大小为arccos．
（2）V＝VP﹣ABC﹣VM﹣ABCS△ABC?（AP﹣AM）3×3×2＝3，
故三棱锥P﹣BMC的体积为3．
14．【解答】证明：（1）∵AB⊥底面BCD，∴AB⊥CD，
又CD⊥BD，且AB∩BD＝B，
∴CD⊥平面ABD；
解：（2）在Rt△BCD中，由BD＝2，CD＝4，
得BC，
又在Rt△ABC中，AC＝6，得AB．
∴圆柱的底面半径为，母线长为4，
∴圆柱OO1的侧面积为．
15．【解答】解：连接C′F，A′C′，因为E，F分别是棱AA′，BB′的中点．
所以D′E∥C′F，所以直线A′F与D′E所成的角为∠A′FC′或其补角，
在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝3，BC＝4，AA′＝8，
所以B′F＝4，则A′F＝5，C′F＝4，A′C′＝5，
所以cos∠A′FC′，
即直线A′F与D′E所成角的余弦值为．
16．【解答】解：连接底面正方形ABCD对角线AC、BD，交于F，
则F是AC和BD的中点，
连接EF，BD，EF是三角形ASC的中位线，EF∥SC，
且EFSC，则∠BEF或补角即为BE与SC的所成角，
BF，AB，EF，
三角形SAB是等腰三角形，从S作SG⊥AB，
cos∠SAB，
根据余弦定理，BE2＝AE2+AB2﹣2AE?AB?cos∠SAB3﹣22，
可得BE，
在△BFE中根据余弦定理，
BF2＝EF2+BE2﹣2EF?BEcos∠BEF，
可得cos∠BEF，∴∠BEF＝60°，
∴异面直线BE与SC所成角的大小60°．
17．【解答】解：（Ⅰ）CE∥平面O1O2MN．
证明：∵圆台的两个底面互相平行，
∴平面O1O2MN与圆台两个底面的交线平行，
又因为点N为上底圆周上靠近点A的的四等分点，
∴点M为下底圆周上靠近点D的的四等分点，
∴，
∵点E为下底圆弧CD的中点，∴，
∴O2M∥CE，
又O2M?平面O1O2MN，CE?平面O1O2MN，
∴CE∥平面O1O2MN．
（II）当四棱锥P﹣ABCD的体积最大时，也就是点P到平面ABCD的距离最大，
此时点P为上底圆周上的中点．
设圆台的上底面圆的半径为r，则高为r，O2C＝2r．
以点O2为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则C（0，2r，0），P（r，0，r），D（0，﹣2r，0），B（0，r，r），
∴，
则cos，
∴异面直线CP与DB所成角的余弦值为．
当点P在的另一侧中点时，异面直线CP与DB所成角的余弦值也是，
∴异面直线CP与DB所成角的余弦值为．
18．【解答】解：（1）由题意，得，
则该正四棱柱的表面积为8+16，
该正四棱柱的体积为V8．
（2）连接A1C1，DC1，则AC∥A1C1，
∴直线A1D，A1C1所成角就是异面直线A1D，AC所成角，
在△A1DC1中，A1D＝DC1＝2，A1C1＝2，
由余弦定理得cos∠DA1C1
．
∴异面直线A1D与AC所成的角的大小为arccos．
19．【解答】解：（1）如图建立里空间坐标系，A1（2，0，4），E（2，0，2），F（1，1，0），C（0，0，0），
∴（﹣2，0，﹣4），（﹣1，1，﹣2），
∴?2×（﹣1）+0×1+（﹣4）×（﹣2）＝10，||2，||，
∴cosθ，
∴θ＝arccos．
（2）VC﹣AEF2×2×42×2×42×22．
20．【解答】解：取AD的中点为P，连结PM，PN，
因为点M，N分别为对角线BD，AC的中点，
所以PM∥AB，PN∥CD，且，
则∠MPN为直线AB与CD所成的角或所成角的补角，∠PMN为直线AB与MN所成角或所成角的补角，
又AB＝CD，
所以PM＝PN，即△PMN为等腰三角形．
（1）若直线AB与MN所成角为60°，即∠PMN＝60°，
则∠MPN＝180°﹣2×60°＝60°，
所以直线AB与CD所成的角为60°；
（2）若直线AB与CD所成的角为θ，则∠MPN＝θ或∠MPN＝π﹣θ，
若∠MPN＝θ，则∠PMN，即直线AB与MN所成角为；
若∠MPN＝π﹣θ，则∠PMN，即直线AB与MN所成角为；
综上所述，直线AB与MN所成角为或．
21．【解答】（1）方法一：证明：如图所示，取AE的中点O，连接OF，过点O作OM⊥AC于点M．
因为EC⊥AC，OM，EC?平面ACC1A1，所以OM∥EC．
又因为EC＝2FB＝2，EC∥FB，
所以OM∥FB且，
所以四边形OMBF为矩形，BM∥OF．
因为OF?平面AEF，BM?平面AEF，
故BM∥平面AEF，此时点M为AC的中点．
（2）解：由（1）知，BM与EF异面，∠OFE就是异面直线BM与EF所成的角或其补角．
可得，，OF⊥AE，
所以，
所以BM与EF所成的角的余弦值为．
方法二：（1）证明：如图所示，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ．
因为EC＝2FB＝2，所以PE∥BF且PE＝BF，
所以四边形PEFB为平行四边形，
所以PB∥EF，PQ∥AE，
又AE，EF?平面AEF，PQ，PB?平面AEF，
所以PQ∥平面AFE，PB∥平面AEF，
因为PB∩PQ＝P，PB，PQ?平面PBQ，
所以平面PBQ∥平面AEF．
又因为BQ?平面PBQ，所以BQ∥平面AEF．
故点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点．
（2）解：由（1）知，BM与EF异面，
∠MBP就是异面直线BM与EF所成的角或其补角．
可得，，BM⊥AC，
所以，
所以BM与EF所成的角的余弦值为．
22．【解答】解：（1）由题意，，，
则||＝||＝||＝1，且的夹角为60°，
∵（），
∴，
（2），，
∵（）?（），
，
∵||，||＝1，
设异面直线CF与BD所成角θ，则cosθ＝||，
因此异面直线CF与BD所成角的余弦值．
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精品试卷·第
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