【同步必刷题】2.2 直线、平面平行的判定及其性质 基础练（含解析）

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2020-2021学年人教A版必修二同步必刷题基础练
第二章《点、直线、平面之间的位置关系》
2.2
直线、平面平行的判定及其性质
一．选择题
1．（2020秋?成都月考）若α、β、γ是空间中三个不同的平面，α∩β＝l，α∩γ＝m，γ∩β＝n，则l∥m是n∥m的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（2020秋?三明期中）如图，在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，E、F分别为平面ABCD和平面A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有（　　）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
3．（2020?浙江学业考试）已知平面α∥平面β，m?α，n?β，那么下列结论正确的是（　　）
A．m，n是平行直线
B．m，n是异面直线
C．m，n是共面直线
D．m，n是不相交直线
4．（2020秋?香坊区校级期末）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是它们所在线段的中点，则满足A1F∥平面BD1E的图形个数为（　　）
A．0
B．1
C．2
D．3
5．（2020秋?12月份月考）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M为棱BC的中点，用平行于体对角线BD1且过点A，M的平面去截正方体ABCD﹣A1B1C1D1，得到的截面的形状是（　　）
A．平行四边形
B．梯形
C．五边形
D．以上都不对
6．（2020秋?武汉月考）如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线MN∥平面ABC的是（　　）
A．
B．
C．
D．
二．填空题
7．（2020?浙江学业考试）设，分别是平面α，β的法向量，（1，2，﹣2），（﹣2，﹣4，m）．若α∥β，则实数m＝　
　．
8．（2020?贵州模拟）已知三个互不重合的平面α，β，γ，且直线m，n不重合，由下列条件：
①m⊥n，m⊥β；②n?α，α∥β；③α⊥γ，β⊥γ，n?α；
能推得n∥β的条件是　
　．
9．（2019秋?青云谱区校级月考）在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，SA＝SB＝SC＝10，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于D，E，F，H且D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为　
　．
10．（2018秋?庐阳区校级期中）已知平面α，β，直线l，若α∥β，l?α，则直线l与平面β的位置关系为　
　．
11．（2020秋?富顺县校级期中）已知平面α∥平面β，点S是α，β外一点过S的两条直线AB，CD分别交α于A，C，交β于B，D，若SA＝2，SB＝4，CD＝6，则SC＝　
　．
12．（2020秋?永州月考）已知四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为4的正方形，SD⊥面ABCD，点M、N分别是AD、CD的中点，P为SD上一点，且SD＝3PD＝3，H为正方形ABCD内一点，若SH∥面PMN，则SH的最小值为　
　．
13．（2020秋?太和县校级月考）已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E在棱AD上，且2AE＝DE，则过点B1且与平面A1BE平行的正方体的截面面积为　
　．
三．解答题
14．（2020春?浙江月考）如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是等边三角形，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝BC＝2，，F，G分别是PC，AD的中点．
（1）①求证：FG∥平面PAB；
②求线段FG的长度．
（2）若PC＝3，求直线FG与平面PBC所成角的正弦值．
15．（2019秋?榆林期末）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是正三角形，AA1⊥平面ABC，AB＝AA1＝a，D是BC边上的一点，且AD为∠BAC的平分线．
（1）证明：A1B∥平面ADC1；
（2）若在三棱柱ABC﹣A1B1C1中去掉三棱锥C1﹣ACD后得到的几何体的表面积为318，求a值．
16．（2020?南通模拟）如图所示，已知在五棱锥P﹣ABCDE底面ABCDE为凸五边形，AE＝DC＝2，AB＝BC＝3，DE＝1，∠EAB＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEA＝120°，F为AE上的点，且AF，平面PAE与底面ABCDE垂直．求证：
（1）BC∥平面PAE；
（2）PA⊥FC．
17．（2020春?丽水期中）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝AB＝2，BC＝4，E为线段AB上的动点（异于A、B），EF∥AD交CD于点F，沿EF折叠使二面角A﹣EF﹣B为直二面角．
（I）在线段BC上是否存在点M，使DM∥面AEB？若存在，则求出BM的长；若不存在，则说明理由；
（Ⅱ）若直线AC与面DCF所成的角为θ，求sinθ的取值范围．
18．（2020秋?大通县期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB，E，F分别在棱PC，PD上．
（1）求证：BC⊥PC；
（2）若A，B，E，F四点共面，求证：EF∥CD．
19．（2021?二十模拟）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，AE⊥平面ABCD，AE∥CF．
（1）求证：DF∥平面ABE；
（2）若AD＝AE＝2CF＝2，求该几何体的表面积．
20．（2020秋?金凤区校级月考）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，求证：AB∥EF．
21．（2020春?如皋市月考）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为A1C、BC1的中点．求证：
（1）MN∥平面A1B1C1D1；
（2）A1C⊥平面BDC1．
22．（2020?南开区学业考试）如图，在正方体ABCD﹣EFGH中，
（Ⅰ）求证：平面BEG∥平面ACH；
（Ⅱ）求证：DF⊥平面BEG．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：根据题意，如图，若l∥m，则m∥平面β，则有m∥n，则l∥m是n∥m的充分条件，
反之：若n∥m，则m∥平面β，则有l∥m，则l∥m是n∥m的必要条件，
故l∥m是n∥m的充要条件，
故选：C．
2．【解答】解：如图，连接AC，A′C′，BD，BD，EF，
则由题意可得EF∥AA′∥CC′，
又EF?平面AA′DD′，EF?平面CC′DD′，EF?平面BB′CC′，EF?平面AA′BB′，
所以EF∥平面AA′DD′，EF∥平面CC′DD′，EF∥平面BB′CC′，EF∥平面AA′BB′，
则正方体的六个面中与EF平行的平面有4个．
故选：A．
3．【解答】解：若平面α∥平面β，m?α，n?β，则m与n的位置关系可以是平行、异面，但一定不相交．
故选：D．
4．【解答】解：①中，平移A1F至D1F′，可知D1F′与面BD1E只有一个交点D1，则A1F与平面BD1E不平行；
②中，由于AF∥DE，而AF?平面BDE，DE?平面BDE，故A1F∥平面BD1E；
③中，平移A1F至D1F′，可知D1F′与面BD1E只有一个交点D1，则A1F与平面BD1E不平行；
故选：B．
5．【解答】解：如图，设截面为α，设BD∩AM＝O，P为DD1的靠近于D1的三等分点，
N为CC1的靠近于C的三等分点，
由BD1∥α可得平面BDD1与α的交线平行于BD1，所以α∩平面DBD1＝OP，
又平面α与两平行平面AA1D1D，BB1C1C的交线应互相平行，
∴α∩平面BB1C1C＝MN，
由MN∥AP且MN≠AP可得截面AMNP为梯形，
故选：B．
6．【解答】解：对于A，作出完整的截面ABCD，由正方体的性质可得MN∥EF∥AC，可得直线MN∥平面ABC，能满足；
对于B，作出完整的截面ABDCEF，由正方体的性质可得MN∥BF，可得直线MN∥平面ABC，能满足；
对于C，作出完整的截面ABCD，由正方体的性质可得MN∥BD，可得直线MN∥平面ABC，能满足；
对于D，作出完整的截面，如下图ABNMHC，可得MN在平面ABC内，不能得出平行，不能满足．
故选：D．
二．填空题
7．【解答】解：，分别是平面α，β的法向量，（1，2，﹣2），（﹣2，﹣4，m），
当α∥β时，λ（1，2，﹣2）＝（﹣2，﹣4，m），且λ∈R；
解得λ＝﹣2，m＝4．
故答案为：4．
8．【解答】解：①m⊥n，m⊥β；可能n?β；
②n?α，α∥β；面面平行的性质得出成立；
③α⊥γ，β⊥γ，n?α；若α与β相交，n可能与β相交，
故答案为：②
9．【解答】解：∵D、E、F、H分别是AB、BC、SA、SC的中点，
∴DE∥AC，FH∥AC，DH∥SB．EF∥SB，
则四边形DEFH是平行四边形，且HDSB5，DEAC2，
取AC的中点O，连结OB，
∵SA＝SC＝10，AB＝BC＝4，
∴AC⊥SO，AC⊥OB，
∵S0∩OB＝O，
∴AO⊥平面SOB，
∴AO⊥SB，
则HD⊥DE，
即四边形DEFH是矩形，
∴四边形DEFH的面积S10．
故答案为：10．
10．【解答】解：因为平面α∥β，且l?α，
所以l∥β．
故答案为：l∥β．
11．【解答】解：当两个平面在点S的同侧时，如图1所示：
由面面平行的性质定理可得AC∥BD，
所以，由SA＝2，AB＝SB﹣SA＝2，CD＝6，解得SC＝6；
当点P在两个面的中间时，如图2所示：
由AC∥BD，可得，
所以SCCD＝2．
综上知，SC的值为6或2．
故答案为：2或6．
12．【解答】解：如图所示：
四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以SD⊥BD；
由点M、N分别是AD、CD的中点，所以MN∥AC；
又SD＝3PD＝3，取OB的中点H，连接SH，
则，
所以PQ∥SH；
又PQ?平面PMN，SH?平面PMN，
所以SH∥平面PMN．
所以SH的最小值为．
故答案为：3．
13．【解答】解：取ED的中点F，取G，使A1G，取H使BHBC，连接GH，FH，GB1，由平行性质可知：FH∥GB1且FH＝GB1，即四边形FHB1G为平行四边形，
∵棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E在棱AD上，且2AE＝DE，AEAD，
∴BE∥FH，A1E∥GF，∴BE∥面FHB1G，A1E∥面FHB1G，
∵A1E∩EB＝E，
∴面A1BE∥面FHB1G，
∵FH＝EB，FG＝A1E，
∴四边形FHB1G为菱形，，
∴2，．
截面面积S．．
故答案为：，
三．解答题
14．【解答】解：（1）①证明：取BC的中点I，则GI∥AB，FI∥PB，
∵GI∩FI＝I，AB∩BP＝B，
∴平面GFI∥平面PAB，
∴FG∥平面PAB；
②由①可知，，
由余弦定理有，．
（2）∵，
∴∠POC＝120°，
又EO⊥AB，OC⊥AB，
∴AB⊥平面POC，
∴平面POC⊥平面ABC，
延长CO到H，使得PH⊥OH，则PH⊥平面ABC，，
∵PB＝BC＝2，PC＝3，
∴，
设G到平面PBC的距离设为h，则，
∴，
∴直线FG与平面PBC所成角的正弦值为．
15．【解答】（1）证明：如图，连接A1C交AC1于点E，连接DE，易知E是A1C的中点，
因为△ABC是正三角形，且AD为∠BAC的平分线，所以D是BC的中点，
所以DE是△A1BC的中位线，A1B∥DE．
因为A1B?平面ADC1，DE?平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1．
（2）解：设剩余的几何体的表面积为S，
则，．
易证平面ABC⊥平面BCC1，
因为AD⊥BC，所以AD⊥平面BCC1，所以AD⊥DC1，
可得△ADC1的面积为，
所以．
因为，所以．
16．【解答】证明：（1）如图，凸五边形ABCDE，延长AE、CD交于点H．
∵∠AED＝∠EDC＝120°，
∴∠HED＝∠HDE＝60°，∴△HED为等边三角形，
∠H＝60°．
∴∠H+∠BCD＝60°+120°＝180°，
∴BC∥AE．
又∵AE?平面PAE，BC?平面PAE，
∴BC∥平面PAE；
（2）如图，连结AC．
∵△HED是等边三角形，
∴HE＝HD＝ED＝1，
∴HC＝HA＝3．
又∵∠H＝60°，
∴△HAC为等边三角形．
又∵AFAH，
∴CF⊥AE．
∵平面PAE⊥平面ABCDE，平面PAE∩平面ABCDE＝AE，CF?平面ABCDE，
∴CF⊥平面PAE．
又∵PA?平面PAE，
∴PA⊥FC．
17．【解答】解：（Ⅰ）假设在线段BC上存在点M，使DM∥面AEB，则DM∥AB即可，
∵DM∥AB，AB?平面ABE，DM?平面ABE，
∴DM∥面AEB，
∵AD∥BC，M∈BC，∴AD∥BM，又DM∥AB，
∴四边形ABMD是平行四边形，
∴BM＝AD＝2．
（Ⅱ）以E为原点，EA为x轴，EF为y轴，EA为z轴，建立空间直角坐标系，
设BE＝a，则EA＝2﹣a，
∴B（a，0，0），A（0，0，2﹣a），C（a，4，0），E（0，0，0），F（0，4﹣a，0），D（0，2，2﹣a），
（a，4，a﹣2），（a，2，a﹣2），（0，2﹣a，a﹣2），
∴，0＜a＜2，
∴（﹣1，1，1），
∴cos，
∵直线AC与面DCF所成的角为θ，
∴sinθ＝cos．
∴．
18．【解答】证明：（1）∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PD⊥BC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CD⊥BC，
又PD∩CD＝D，PD，CD?平面PCD．
∴BC⊥平面PCD，
又PC?平面PCD，
∴BC⊥PC．
（2）∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD．
又CD?平面PCD，AB?平面PCD，
∴AB∥平面PCD．
又由题意，得平面ABEF∩平面PCD＝EF，AB?平面ABEF，
∴AB∥EF，
∴EF∥CD．
19．【解答】解：（1）证明：因为AE∥CF，CF?平面ABE，
所以CF∥平面ABE，
因为四边形ABCD是菱形，
所以CD∥AB，
由于CD?平面ABE，
所以CD∥平面ABE，
又CF∩CD＝C，
所以平面CDF∥平面ABE，
又DF?平面CDF，
所以DF∥平面ABE．
（2）由AE∥CF，知A，C，F，E四点共面，
连接AC，于是该几何体是由两个相同的四棱锥B﹣ACFE，D﹣ACFE构成的，
由题意知，S△ABE2，S△ABC，S△BCF1，
在△BEF中，EF，BE＝2，BF，S△BEF，
所以该几何体的表面积为2×（S△ABE+S△ABC+S△BCF+S△BEF）＝6+22．
20．【解答】证明：在五面体ABCDEF中，因为四边形ABCD是矩形，
所以AB∥CD．
因为AB?平面CDEF，CD?平面CDEF，
所以AB∥平面CDEF．
因为AB?平面ABFE，平面ABFE∩平面CDEF＝EF，
所以AB∥EF．
21．【解答】证明：（1）连接B1C，
由正方体的性质知，四边形B1BCC1为正方形，
∵N为BC1的中点，∴N也为B1C的中点，
又M为A1C的中点，∴MN∥A1B1，
∵A1B1?平面A1B1C1D1，MN?平面A1B1C1D1，
∴MN∥平面A1B1C1D1．
（2）连接AC，
由正方体的性质知，A1B1⊥平面B1BCC1，
∵BC1?平面B1BCC1，∴A1B1⊥BC1，
又B1C⊥BC1，A1B1∩B1C＝B1，A1B1、B1C?平面A1B1C，
∴BC1⊥平面A1B1C，∴BC1⊥A1C．
由正方体的性质知，AA1⊥平面ABCD，
∵BD?平面ABCD，∴AA1⊥BD，
又BD⊥AC，AA1∩AC＝A，AA1、AC?平面A1AC，
∴BD⊥平面A1AC，∴BD⊥A1C．
∵BC1∩BD＝B，BC1、BD?平面BDC1，
∴A1C⊥平面BDC1．
22．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形BEHC和四边形ABGH为平行四边形，
∴BE∥CH，BG∥AH，
又BE，BG?平面BEG，且CH，AH?平面BEG，
∴CH∥平面BEG，AH∥平面BEG．
又CH，AH?平面ACH，且CH∩AH＝H，
∴平面BEG∥平面ACH；
（Ⅱ）连结HF，∵DH⊥平面EFGH，且EG?平面EFGH，∴DH⊥EG．
∵EG⊥HF，又HF∩DH＝H，∴EG⊥平面HDF．
∵DF?平面HDF，∴EG⊥DF．
同理可得EB⊥DF．
∵EG∩EB＝E，
∴DF⊥平面BEG．
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