【同步必刷题】2.2 直线、平面平行的判定及其性质 提高练（含解析）

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2020-2021学年人教A版必修二同步必刷题提高练
第二章《点、直线、平面之间的位置关系》
2.2
直线、平面平行的判定及其性质
一．选择题
1．（2020秋?成都期中）如图，在以下四个正方体中，直线MN与平面ABC平行的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．（2020秋?西城区校级期中）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．（2020春?垫江县校级月考）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝DD1＝1，，E，F分别是AB，BC棱靠近B点的三等分点，G是CC1棱靠近C1的三等分点，P是底面ABCD内一个动点，若直线D1P与平面EFG平行，则△BB1P周长的最小值为（　　）
A．
B．
C．
D．
4．（2020春?江岸区期末）如图，若Ω是长方体ABCD﹣A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是（　　）
A．EH∥FG
B．EF∥HG
C．Ω是棱柱
D．Ω是棱台
5．（2020春?密云区期末）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别是棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动，若PA1∥面AMN，则线段PA1的长度范围是（　　）
A．[2，]
B．[2，3]
C．[，3]
D．[，]
6．（2020?浦东新区二模）如图，正方体A1B1C1D1﹣ABCD中，E、F分别为棱A1A、BC上的点，在平面ADD1A1内且与平面DEF平行的直线（　　）
A．有一条
B．有二条
C．有无数条
D．不存在
7．（2019秋?中原区校级月考）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝DD1＝1，，E，F，G分别是AB，BC，CC1的中点，P是底面ABCD内一个动点，若直线D1P与平面EFG平行，则△BB1P面积的最小值为（　　）
A．
B．1
C．
D．
二．填空题
8．（2020秋?永州月考）已知四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为4的正方形，SD⊥面ABCD，点M、N分别是AD、CD的中点，P为SD上一点，且SD＝3PD＝3，H为正方形ABCD内一点，若SH∥面PMN，则SH的最小值为　
　．
9．（2020秋?太和县校级月考）已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E在棱AD上，且2AE＝DE，则过点B1且与平面A1BE平行的正方体的截面面积为　
　．
10．（2020秋?安徽月考）如图，在三棱锥P﹣ABC中，点D，E，F分别在棱AB，PB，BC上，且平面DEF∥平面PAC，若，则△DEF与△APC的面积之比为　
　．
11．（2020?金安区校级模拟）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点M，N分别是棱BC，CC1的中点，则点A1到平面AMN的距离是　
　；若动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动，且PA1∥平面AMN，则线段PA1的长度范围是　
　．
12．（2020秋?武侯区校级月考）四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，点E是棱PD上一点，PE＝3ED，若且满足BF∥平面ACE，则λ＝　
　．
13．（2020秋?瑶海区校级期中）如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，且E为CD的中点，M、N分别是AD，BE的中点，将△ADE沿AE折起，则下列说法正确的是　
　．（写出所有正确说法的序号）
①不论D折至何位置（不在平面ABC内，都有MN∥平面DEC；
②不论D折至何位置（不在平面ABC内）都有MN⊥AE；
③不论D折至何位置（不在平面ABC内），都有MN∥AB；
④不论D折至何位置（不在平面ABC内），都有EC不垂直AD．
14．（2020春?湖北期末）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PC⊥AD，底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，AB＝BC，点E在棱PB上，若PD∥平面EAC，则　
　．
15．（2020?韶关二模）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝10，E，F，M分别是棱AB，BC，CC1的中点，P是该长方体底面ABCD上的动点，若PD1∥平面EFM，则△PBB1面积的取值范围是　
　．
三．解答题
16．（2020秋?金凤区校级月考）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，求证：AB∥EF．
17．（2020秋?富顺县校级期中）如图，已知点P在四面体A﹣BCD的棱AB（不含A，B两点）上运动，过点P作四面体A﹣BCD的一个与AC，BD都平行的截面．
（1）试画出该截面（不写作法），判断该截面的形状，并证明你的结论；
（2）当P为AB的中点，且AC＝8，BD＝6，AC与BD所成角为60°时，求截面的面积．
18．（2020秋?宜宾月考）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，且AD⊥DC，AD∥BC，PD⊥平面ABCD，AD＝4，BC＝CD＝2，点E为线段PA的靠近点P的三等分点．
（1）求证：PC∥平面BDE；
（2）若异面直线PA与BC所成的角为45°，求多面体BCDEP的体积．
19．（2020秋?太原期中）如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AC，BD为圆锥底面的两条直径，M为母线PD上一点，连接MA，MO，MC．
（1）若M为PD的中点，证明：PB∥平面MAC；
（2）若PB∥平面MAC，证明：M为PD的中点．
20．（2020秋?济宁期末）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧面ACC1A1⊥底面ABC，且侧面ACC1A1为菱形，∠A1AC＝60°，E是BB1的中点，F是AC1与A1C的交点．
（1）求证：EF∥底面ABC；
（2）求BC与平面A1AB所成角θ的正弦值．
21．（2021?八模拟）如图，已知图1中△ABC是等腰三角形，AC＝BC，D，E分别是AC，BC的中点，沿着DE把△CDE折起到△C′DE，使得平面C′DE⊥平面BADE，图2中AD，AB＝4，F为BC′的中点，连接EF．
（Ⅰ）求证：EF∥平面AC′D；
（Ⅱ）求四棱锥C′﹣ABED的侧面积．
22．（2020秋?镇江期中）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠B1A1C1＝90°，P，Q分别是棱A1B1，B1C1的中点．求证：
（1）AC∥平面BPQ；
（2）AC⊥BP．
23．（2020秋?蚌埠期中）如图所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE＝90°，AF∥DE，DE＝DA＝2AF＝2．
（1）求证：AC⊥平面BDE；
（2）求证：AC∥平面BEF；
（3）若AC与BD相交于点O，求四面体BOEF的体积．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：A中，
连接MG，可得MG⊥BC，由正方体的结构特征可得NG⊥BC，
又NG∩MG＝G，∴BC⊥平面MNG，可得BC⊥MN，同理可得，AB⊥MN，
又AB∩BC＝B，∴MN⊥平面ABC；
B中，
∵AC∥BN，则平面ABC与平面ANBC为同一平面，N∈平面ANBC，M?平面ANBC，
则直线MN与平面ABC相交；
C中，
∵BC∥AN，则平面ABC与平面ANBC为同一平面，N∈平面ANBC，M?平面ANBC，
则直线MN与平面ABC相交；
D中，
由CM＝AN，CM∥AN，可得四边形ANMC为平行四边形，得MN∥CA，
∵CA?平面ABC，MN?平面ABC，∴MN∥平面ANBC．
故选：D．
2．【解答】解：对于选项A，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB与平面MNQ平行；
对于选项B，如图，
O为底面对角线的交点，可得AB∥OQ，
又OQ∩平面MNQ＝Q，
所以直线AB与平面MNQ不平行．
对于选项C，由题意，可得AB∥MN，结合线面平行判定定理可知AB与平面MNQ平行；
对于选项D，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB与平面MNQ平行；
故选：B．
3．【解答】解：连接AD1，AC，CD1，则AC∥EF，AD1∥FG，
∴平面ACD1∥平面EFG，
∵D1P∥平面EFG，∴P点轨迹为线段AC，
将△ACB1绕AC旋转到平面ABC上，如图所示：
由题意可知AB，BC＝1，AC＝2，故∠BAC＝30°，
又AB1＝2，B1C，AC＝2，∴cos∠CAB1，
∴sin∠CAB1，
∴cos∠BAB1＝cos（∠CAB1+30°），
∴BP+B1P的最小值为BB1，
∴△BB1P周长的最小值为1，
故选：A．
4．【解答】解：因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，
所以EH∥B1C1，又EH?平面BCC1B1，
所以EH∥平面BCB1C1，又EH?平面EFGH，
平面EFGH∩平面BCB1C1＝FG，
所以EH∥FG，故EH∥FG∥B1C1，
所以选项A、C正确，D错误；
因为平面ABB1A1∩平面EFGH＝EF，
平面CDD1C1∩平面EFGH＝GH，
平面ABB1A1∥平面CDD1C1，
所以EF∥GH，故B正确．
故选：D．
5．【解答】解：取B1C1的中点E，BB1的中点F，连结A1E，A1F，EF，取EF中点O，连结A1
∵点M，N分别是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱BC，CC1的中点，
∴AM∥A1E，MN∥EF，
∵AM∩MN＝M，A1E∩EF＝E，
∴平面AMN∥平面A1EF，
∵动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动，且PA1∥面AMN，
∴点P的轨迹是线段EF，
∵A1E＝A1F，EF，
∴A1O⊥EF，
∴当P与O重合时，PA1的长度取最小值为A1O，
当P与E（或F）重合时，PA1的长度取最大值为A1E＝A1F．
∴PA1的长度范围为[，]．
故选：D．
6．【解答】解：由题设知平面ADD1A1与平面DEF有公共线DE，
则在平面ADD1A1内与DE平行的线有无数条，且它们都不在平面DEF内，
由线面平行的判定定理知它们都与面DEF平行，
故选：C．
7．【解答】解：如图，
补全截面EFG为截面EFGHQR，易知平面ACD1∥平面EFGHQR，设BR⊥AC于点R，
∵直线D1P∥平面EFG，
∴P∈AC，且当P与R重合时，BP＝BR最短，此时△PBB1的面积最小，
由等积法：BR×ACBA×BC得BR，又BB1⊥平面ABCD，
∴BB1⊥BP，△PBB1为直角三角形，
故SBB1×BP，
故选：A．
二．填空题
8．【解答】解：如图所示：
四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以SD⊥BD；
由点M、N分别是AD、CD的中点，所以MN∥AC；
又SD＝3PD＝3，取OB的中点H，连接SH，
则，
所以PQ∥SH；
又PQ?平面PMN，SH?平面PMN，
所以SH∥平面PMN．
所以SH的最小值为．
故答案为：3．
9．【解答】解：取ED的中点F，取G，使A1G，取H使BHBC，连接GH，FH，GB1，由平行性质可知：FH∥GB1且FH＝GB1，即四边形FHB1G为平行四边形，
∵棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E在棱AD上，且2AE＝DE，AEAD，
∴BE∥FH，A1E∥GF，∴BE∥面FHB1G，A1E∥面FHB1G，
∵A1E∩EB＝E，
∴面A1BE∥面FHB1G，
∵FH＝EB，FG＝A1E，
∴四边形FHB1G为菱形，，
∴2，．
截面面积S．．
故答案为：，
10．【解答】解：∵在三棱锥P﹣ABC中，点D，E，F分别在棱AB，PB，BC上，且平面DEF∥平面PAC，
∴DE∥AP，DF∥AC，EF∥PC，
∴△DEF∽△APC，
∵，∴，
∴△DEF与△APC的面积之比为：（）2．
故答案为：．
11．【解答】解：取B1C1的中点E，BB1的中点F，连接A1E，A1F，EF，FM，
则A1E∥AM，EF∥MN，
∴平面A1EF∥平面AMN，
∴A1到平面AMN的距离等于F到平面AMN的距离，
∵正方体棱长为2，∴AM，MN，AN＝3，
∴cos∠MAN，sin∠MAN，
∴S△AMN，设F到平面AMN的距离为h，则VF﹣AMN，
又VF﹣AMN＝VA﹣MNF，
∴，即h．
∴A1到平面AMN的距离为．
∵A1P∥平面AMN，∴P的轨迹为线段EF．
∵A1E＝A1F，EF，
∴当A1P⊥EF时，A1P取得最小值，
当P与E（或F）重合时，A1P取得最大值．
∴A1P．
故答案为：，[，]．
12．【解答】解：如图，连接BD，交AC于点O，连接OE，在线段PE取一点G使得GE＝ED，
连接BG，则BG∥OE，
又因为OE?平面AEC，BG?平面AEC，
所以BG∥平面AEC．
因为BF∥平面ACE，且满足BG∩BF＝B，
故平面BGF∥平面AEC．
因为平面PCD∩平面BGF＝GF，平面PCD∩平面AEC＝EC，
则GF∥EC．
所以，
可得．
故答案为：．
13．【解答】解：由已知，在未折叠的原梯形中，AB∥DE，BE∥AD．所以四边形ABED为平行四边形，∴DA＝EB．折叠后得出图形如下：
①过M，N分别作AE，BC的平行线，交ED，EC于F，H．连接FH
则
，，由平行公理得HN∥FM，
∵DA＝EB，∴HN＝FM，
∴四边形MNHF是平行四边形．
∴MN∥FH
MN?面CED，HF?面CED．∴MN∥平面DEC．
①正确；
②由已知，AE⊥ED，AE⊥EC，
∴AE⊥面CED，HF?面CED∴AE⊥HF，∴MN⊥AE；②正确；
③MN与AB
异面．假若MN∥AB，则MN与AB确定平面MNAB，
从而BE?平面MNAB，AD?平面MNAB．与BE和AD是异面直线矛盾．③错误；
④当CE⊥ED时，EC⊥AD．
这是因为，由于CE⊥EA，EA∩ED＝E，
所以CE⊥面AED，AD?面AED．得出EC⊥AD．④错误．
故答案为：①②．
14．【解答】解：如图所示，连接BD交AC于点O，连接OE，
∵PA⊥平面ABCD，AD?面ABCD，∴PA⊥AD，
∵PC⊥AD，PA∩PC＝P，PA、PC?面PAC，∴AD⊥面PAC，
∵AC?面PAC，∴AD⊥AC．
∵AB⊥BC，AB＝BC，∴ACAB，∠BAC＝45°，
又AB∥DC，∴∠ACD＝∠BAC＝45°，∴△ACD为等腰直角三角形，CDAC＝2AB，
∴．
∵PD∥平面EAC，PD?面PBD，且平面EAC∩平面PBD＝OE，
∴OE∥PD，
∴2．
故答案为：2．
15．【解答】解：补全截面EFM为截面EFMHQR如图，设BR⊥AC，
∵直线D1P与平面EFM不存在公共点，
∴D1P∥平面EFMHQR，
易知平面ACD1∥平面EFMHQR，
∴P∈AC，
且当P与R重合时，BP＝BR最短，此时△PBB1的面积最小；
由等积法：BRAB×BC，
即：BR3×4；
∴BP，
又BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥BP，△PBB1为直角三角形，
∴△PBB1的面积为：10＝12，
当P与C重合时，PB＝BC最长为4，此时△PBB1的面积最大；
最大值为：4×10＝20；
故答案为：[12，20]．
三．解答题
16．【解答】证明：在五面体ABCDEF中，因为四边形ABCD是矩形，
所以AB∥CD．
因为AB?平面CDEF，CD?平面CDEF，
所以AB∥平面CDEF．
因为AB?平面ABFE，平面ABFE∩平面CDEF＝EF，
所以AB∥EF．
17．【解答】解：（1）画出过点P且平行于AC和BD的截面PQRS，如图所示：
该截面PQRS是平行四边形，证明如下：
由AC∥平面PQRS，AC?平面ABC，平面ABC∩平面PQRS＝PQ，所以AC∥PQ；
同理，AC∥SR；所以PQ∥SR．
同理，PS∥QR，所以四边形PQRS是平行四边形．
（2）当P为AB的中点时，PQ∥AC，且PQAC＝4；
PS∥BD，且PSBD＝3；
由AC与BD所成角为60°，所以PS、PQ所成的角也是60°，
所以截面四边形PQRS的面积为
S平行四边形PQRS＝PS?PQ?sin60°＝3×46．
18．【解答】解：（1）连接AC交BD于点O，连接OE．
因
ABCD是直角梯形，且AD⊥DC，AD∥BC，AD＝4，BC＝2，
所以△ADO和△CBO相似，且有2；
又点E为线段PA的靠近点P的三等分点，有2，
所以有；
所以OE∥CP．
又OE?平面BDE，PC?平面BDE，
所以PC∥平面BDE．
（2）直线PA与BC所成的角为45°，即∠PAD＝45°，
又AD＝4，PD⊥平面ABCD，所以PD＝AD＝4．
计算得V四棱锥P﹣ABCD（2+4）×2×4＝8，
V三棱锥E﹣ABD4×24．
所以多面体BCDEP的体积为V多面体BCDEP＝V四棱锥P﹣ABCD﹣V三棱锥E﹣ABD＝8．
19．【解答】证明：（1）若M为PD的中点，由BD为圆锥底面的直径，有O为BD的中点，
则在△PBD中有MO∥PB，
又MO?平面MAC，PB?平面MAC，
则有PB∥平面MAC．
（2）若PB∥平面MAC，由PB?平面PBD，平面PBD∩平面MAC＝MO，
可得PB∥MO，
所以在△PBD中，，
又O为BD的中点，则有DM＝MP，
则M为PD的中点．
20．【解答】解：（1）证法一：取CC1的中点M，连接EM，FM，
∵F是AC1与A1C的交点，且侧面ACC1A1是菱形，
∴F是AC1的中点，∴FM∥AC，
∵FM?底面ABC，AC?底面ABC，∴FM∥底面ABC，
∵BB1∥CC1，BB1＝CC1，E为BB1中点，∴BE∥CM，BE＝CM，
∴四边形BCME为平行四边形，∴EM∥BC，
∵EM?底面ABC，BC?底面ABC，
∴EM∥底面ABC，
∵EM∩FM＝M，EM?平面EFM，FM?平面EFM，
∴平面EFM∥底面ABC，
∵EF?平面EFM，∴EF∥底面ABC．
证法二：取AC中点O，连接OB，OF，
∵F是AC1与A1C的交点，且侧面ACC1A1为菱形，∴F是A1C的中点，
∴OF∥AA1，OF，
∵E是BB1的中点，AA1∥BB1，AA1＝BB1，
∵E是BB1的中点，AA1∥BB1，AA1＝BB1，
∴OF∥BE，OF＝BE，
∴四边形OBEF是平行四边形，∴EF∥OB，
又EF?底面ABC，OB?底面ABC，
∴EF∥底面ABC．
（2）连接OA1，∵侧面ACC1A1为菱形，∠A1AC＝60°，
∴△A1AC是正三角形，∴A1O⊥AC，
∵侧面ACC1A1⊥底面ABC，侧面ACC1A1∩底面ABC＝AC，A1O?侧面ACC1A1，
∴A1O⊥底面ABC，
∵底面ABC为正三角形，O为AC的中点，∴BO⊥AC，
以O为坐标原点，分别以OB，OC，OA所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
∵底面ABC是边长为2的正三角形，
∴A（0，﹣1，0），B（，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，），
∴（，1，0），（0，1，），（，1，0），
设平面A1AB的一个法向量为（x，y，z），
由，取x＝1，得（1，，1），
∴BC与平面A1AB所成角θ的正弦值为：
sinθ＝|cos|．
21．【解答】（Ⅰ）证明：取AC′中点G，连接DG，FG，
由点F、G分别是BC′，AC′的中点，
得GF∥AB，GFAB，
又DE∥AB，DEAB．
所以四边形DEFG是平行四边形，
所以DG∥EF，且EF?平面AC′D，
DG?平面AC′D，
所以EF∥平面AC′D；
（Ⅱ）因为△ABC是等腰三角形，AC＝BC，AD，AB＝4，
所以∠ACB＝90°，
所以△ABC是等腰直角三角形，且AC＝BC＝2．
分别取DE、AB的中点H、I，
连接C′H，HI，C′I，从而有C′H⊥DE．
又因为平面C′DE⊥平面BADE，平面C′DE∩平面BADE＝DE，
所以C′H⊥平面BADE，
又HI?平面BADE，所以C′H⊥HI，
在△C′HI中，C′H＝HI＝1，∴，
又翻折后，C′A＝C′B，在△C′IA中，，
∴四棱锥C′﹣ABED的侧面积为：
1．
22．【解答】证明：（1）P，Q分别是棱A1B1，B1C1的中点．
所以PQ∥A1C1∥AC，
又AC?平面BPQ，
所以AC∥平面BPQ；
（2）因为在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠B1A1C1＝90°，
所以B1A1⊥A1C1，
又因为AA1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，
所以，A1C1⊥平面AA1BB1，
又BP?平面AA1BB1，
所以A1C1⊥BP，
又AC∥A1C1，
所以AC⊥BP．
23．【解答】证明：（1）∵平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF＝AD
ED⊥AD，ED?平面ADEF，
∴ED⊥面ABCD，得ED⊥AC，
又四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
又BD∩ED＝D，∴AC⊥平面BDE；
证明：（2）取EB中点G，连接OG，FG，
∵O，G分别为BD，BE的中点，∴OG∥DE，OG，
又AF∥DE，AFDE，
∴AF∥OG且AF＝OG，则四边形AOGF为平行四边形，得AC∥FG，
∵AC?平面EFB，FG?平面EFB，
∴AC∥面EFB；
解：（3）∵平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，∴AB⊥平面ADEF．
∵AF∥DE，∠ADE＝90°，DE＝DA＝2AF＝2，∴△DEF的面积为，
∴四面体BDEF的体积，
又O是BD中点，∴，则．
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精品试卷·第
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