【同步必刷题】3.2 直线的方程 基础练（含解析）

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2020-2021学年人教A版必修二同步必刷题基础练
第三章《直线与方程》
3.2
直线的方程
一．选择题
1．（2020秋?海南期末）过点（1，﹣3），且垂直于直线x+2y﹣3＝0的直线方程为（　　）
A．2x﹣y﹣5＝0
B．2x﹣y﹣1＝0
C．x﹣2y+5＝0
D．x﹣2y﹣7＝0
2．（2020秋?香坊区校级期末）过点M（﹣4，3）和N（﹣2，1）的直线方程是（　　）
A．x﹣y+3＝0
B．x+y+1＝0
C．x﹣y﹣1＝0
D．x+y﹣3＝0
3．（2020秋?天津期末）经过A（2，1），B（0，﹣3）两点的直线方程为（　　）
A．2x﹣y﹣3＝0
B．2x+y﹣3＝0
C．x﹣2y﹣3＝0
D．x+2y﹣3＝0
4．（2020秋?香坊区校级期末）过点（0，1）且斜率为的直线在x轴上的截距是（　　）
A．4
B．﹣4
C．2
D．﹣2
5．（2020秋?工农区校级期末）过点（0，1）且与直线y＝2x﹣3平行的直线方程（　　）
A．y＝2x﹣2
B．y＝2x+1
C．y＝﹣2x+2
D．
6．（2021?山东模拟）已知直线l1：xsinα﹣2y+5＝0，l2：x+（2﹣sinα）y+cos（α）＝0，若l1∥l2，则sinα＝（　　）
A．﹣1
B．0
C．1
D．﹣1或1
7．（2020秋?城关区校级期末）已知直线l1：2x+（a+5）y﹣8＝0，l2：（a+3）x+4y+3a﹣5＝0平行，则实数a的值为（　　）
A．﹣1或﹣7
B．﹣7
C．﹣1
D．
8．（2021?宝山区一模）直线x+3y﹣1＝0的一个法向量可以是（　　）
A．（3，﹣1）
B．（3，1）
C．（1，3）
D．（﹣1，3）
二．填空题
9．（2021?黄浦区一模）已知直线l过点P（﹣2，1），直线l的一个方向向量是，则直线l的点斜式方程是　
　．
10．（2020秋?和平区期末）设直线l1：x+my+6＝0和l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，若l1⊥l2，则实数m＝　
　．
11．（2019秋?松江区校级期末）直线y＝kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4＝0相交于P、Q两点，且P、Q两点关于直线x+y＝0对称，则m的值是　
　．
12．（2020秋?黄浦区校级月考）点D（0，﹣3）关于直线l：x﹣y+1＝0对称的点E的坐标为　
　．
13．（2020秋?城关区校级期末）已知直线l1：ax﹣2y＝2a﹣4，l2：2x+a2y＝2a2+4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝　
　．
14．（2020秋?沈阳期末）已知直线l1：4x+（a+2）y+4＝0，和直线l2：（a﹣1）x+y+1＝0平行，则a的值是　
　．
15．（2021?杨浦区一模）若直线l1：2x+my+1＝0与l2：y＝3x﹣1互相垂直，则实数m＝　
　．
三．解答题
16．（2020秋?辽阳期末）在①l与坐标轴所围成三角形面积为6，②l与11之间的距离为，③点A（1，1）到l的距离为这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
问题：已知直线l与直线l1：x+3y﹣1＝0平行，且____，求l的方程．
17．（2019秋?雨花区期末）已知直线l经过点（0，﹣2），且与直线x﹣y+1＝0平行．
（1）求直线l的方程；
（2）求直线l与两坐标轴围成三角形的面积．
18．（2020秋?庐阳区校级期中）已知直线l：3x+4y﹣7＝0．
（1）若直线m与直线l平行，且直线m过点P（﹣2，5），求直线m的方程；
（2）若点C坐标为（0，），过点C的直线与直线l垂直，垂足为M，求点M的坐标．
19．（2020秋?香坊区校级期末）已知直线l过点（1，2）．
（1）当直线l在两坐标轴上的截距相等时，求直线l方程；
（2）若直线l交x轴正半轴，y轴正半轴分别于A，B两点，求△AOB面积的最小值．
20．（2020秋?杨浦区校级期末）已知点A（﹣1，0）和点B关于直线l：x+y﹣1＝0对称．
（1）若直线l1过点B，且使得点A到直线l1的距离最大，求直线l1的方程；
（2）若直线l2过点A且与直线l交于点C，△ABC的面积为2，求直线l2的方程．
21．（2020秋?东辽县期末）求过点P（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．
22．（2020秋?嘉定区校级月考）已知m，n为实数，直线l1的方程为（m﹣1）x+2my﹣8m＝0，直线l2的方程为（2n﹣1）x+4ny﹣4n＝0．
（1）讨论直线l1和l2的位置关系；
（2）当直线l1和l2平行时，求这两条平行线的距离的最大值．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：设过点（1，﹣3），且垂直于直线x+2y﹣3＝0的直线方程为2x﹣y+c＝0，
把（1，﹣3）代入，得：2+3+c＝0，解得c＝﹣5，
∴过点（1，﹣3），且垂直于直线x+2y﹣3＝0的直线方程为2x﹣y﹣5＝0．
故选：A．
2．【解答】解：因为直线MN的斜率k1，
故直线MN的方程y﹣1＝﹣（x+2），即x+y+1＝0．
故选：B．
3．【解答】解：由题意得，直线AB的斜率k2，
故直线AB的方程为y+3＝2x，即2x﹣y﹣3＝0．
故选：A．
4．【解答】解：依题意知，该直线方程为y﹣1x，即yx+1．
令y＝0，则x＝﹣2．
所以直线在x轴上的截距是﹣2．
故选：D．
5．【解答】解：设过点（0，1）且与直线y＝2x﹣3平行的直线方程为
y＝2x+m，
把点（0，1）代入，可得1＝0+m，即
m＝1，
故要求的直线的方程为
y＝2x+1，
故选：B．
6．【解答】解：∵直线l1：xsinα﹣2y+5＝0，l2：x+（2﹣sinα）y+cos（α）＝0，若l1∥l2，
∴，求得sinα＝3（舍去），或sinα＝﹣1，
故选：A．
7．【解答】解：∵直线l1：2x+（a+5）y﹣8＝0，与l2：（a+3）x+4y+3a﹣5＝0平行，
∴，求得a＝﹣7，
故选：B．
8．【解答】解：直线x+3y﹣1＝0的方向向量为，
设该直线的法向量为，
利用，所以：，解得t＝3．
故选：C．
二．填空题
9．【解答】解：由直线的方向向量可得直线l的斜率为k，
所以直线l的点斜式方程为：y﹣1，
故答案为：y﹣1．
10．【解答】解：直线l1：x+my+6＝0和l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，
由L1⊥L2，得3m+（m﹣2）＝0，即4m＝2，解得m．
故答案为：．
11．【解答】解：P、Q两点关于直线x+y＝0对称，
∴直线x+y＝0过圆心，且与直线y＝kx+1垂直，
则k＝1，
圆心坐标为（，），
且0，
得m＝﹣k＝﹣1．
故答案为：﹣1
12．【解答】解：设点D（0，﹣3）关于直线l：x﹣y+1＝0对称的点E的坐标（x，y）
则DE中点的坐标为（，）利用对称的性质得：KDE1，且
1＝0，
解得：x＝﹣4，y＝1，
∴点E的坐标（﹣4，1），
故答案为（﹣4，1）
13．【解答】解：根据题意，如图所示：
由于直线l1：ax﹣2y＝2a﹣4，
当x＝0时，y＝2﹣a，
即直线l1和y轴交于点A（0，2﹣a），
由于直线l2：2x﹣a2y＝2a2+4，
由于l2与x轴交于点C（a2+2，0），
易知：l1和l2均经过定点（2，2），
即两直线交于点B（2，2）．
则四边形AOBC的面积S＝S△AOB+S△BOC，
即当a时，．
故答案为：．
14．【解答】解：∵直线l1：4x+（a+2）y+4＝0，和直线l2：（a﹣1）x+y+1＝0平行，
∴a≠1，且，
则a＝﹣3，
故答案为：﹣3．
15．【解答】解：∵直线l1：2x+my+1＝0与l2：y＝3x﹣1互相垂直，
∴2×3+m×（﹣1）＝0，求得实数m＝6，
故答案为：6．
三．解答题
16．【解答】解：依题意可设直线l的方程为x+3y+m＝0（m≠﹣1），
选择①，令x＝0，得y，令y＝0，得x＝﹣m，
∴l与坐标轴所围成的三角形的面积S6，
解得m＝±6，∴l的方程为x+3y+6＝0或x+3y﹣6＝0．
选择②，∵l与l1之间的距离为，∴，
解得m＝﹣11，或m＝9，
∴l的方程为x+3y﹣11＝0或x+3y+9＝0．
选择③，∵点A（1，1）到l的距离为，
∴，解得m＝﹣14或m＝6，
∴l的方程为x+3y﹣14＝0或x+3y+6＝0．
17．【解答】解：（1）设直线l经过点（0，﹣2），且与直线x﹣y+1＝0平行的直线为x﹣y+c＝0，
把点（0，﹣2）代入得：0+2+c＝0，解得c＝﹣2，
∴直线l经过点（0，﹣2），且与直线x﹣y+1＝0平行的直线为x﹣y﹣2＝0．
（2）在直线l：x﹣y﹣2＝0中，令x＝0，得y＝﹣2，
令y＝0，得x＝2，
∴直线l与两坐标轴围成三角形的面积S2．
18．【解答】解：（1）设直线m：3x+4y+a＝0（a≠﹣7），
将点P（﹣2，5）代入得a＝﹣14，
∴直线m：3x+4y﹣14＝0．
（2）设M（x0，y0），则kCM，
即4x0﹣3y0﹣1＝0，①
∵M在直线l上，∴3x0+4y0﹣7＝0，②
①②联立，得，∴M（1，1）．
19．【解答】解：（1）当直线当直线l在两坐标轴上的截距相等为0时，
可得直线的斜率k＝2，此时直线方程为y＝2x，
当直线l在两坐标轴上的截距相等且不为0时，
可设直线方程为1，
则1，
故a＝3，此时直线方程x+y＝3，即x+y﹣3＝0，
综上，直线方程为y＝2x或x+y﹣3＝0；
（2）设直线方程1，a＞0，b＞0，
则1，
S△AOB（2a+b）（2a+b）（）4，
当且仅当且1，即a＝2，b＝4时取等号，此时直线方程为2x+y﹣4＝0．
20．【解答】解：（1）由题意设B（m，n），由题意可得，解得：m＝1，n＝2，
即B（1，2），
当直线l1⊥AB时，A到直线l1的距离最大，所以kkAB1，
所以直线l1的方程为：y﹣2＝﹣（x﹣1），
即直线l1的方程为：x+y﹣3＝0．
（2）因为AB⊥l，设线段AB的中点为D，由（1）可得|AB|2，
则D（0，1），则CD⊥AB，
由题意设C（x0，﹣x0+1），
所以S△ABC|AB|?|CD|?|CD|＝2，
所以|CD|，
而|CD|
所以x02＝1，所以x0＝±1，
即C（1，0）或（﹣1，2），
所以直线l2的方程为：x＝﹣1或y＝0．
21．【解答】解：当横截距a＝0时，纵截距b＝0，
此时直线过点（0，0），P（1，2），
∴直线方程为，整理得y＝2x；
当横截距a≠0时，纵截距b＝a，
此时直线方程设为，
把P（1，2）代入，得，解得a＝3，
∴所求的直线方程为：x+y﹣3＝0．
综上：过点P（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为2x﹣y＝0或x+y﹣3＝0．
22．【解答】解：（1）由题意可得：联立方程组，
设D＝4n×（m﹣1）﹣2m（2n﹣1）＝2（m﹣2n），
①当D≠0即m≠2n时，l1，l2相交，
②当D＝0即m＝2n时，（Ⅰ）当m＝2n＝0时，两直线重合，
（Ⅱ）当m＝2n≠0时，两直线平行；
（2）当l1∥l2时，m＝2n≠0，
此时直线l1：（2n﹣1）x+4ny﹣16n＝0恒过定点A（0，4），
直线l2：（2n﹣1）x+4ny﹣4n＝0恒过定点B（0，1），
当直线AB与直线l1，l2垂直时，直线l1，l2这两条平行线的距离最大，
且最大值为|AB|＝3．
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