【同步必刷题】3.2 直线的方程 提高练（含解析）

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2020-2021学年人教A版必修二同步必刷题提高练
第三章《直线与方程》
3.2
直线的方程
一．选择题
1．（2020秋?通化县期末）过点（2，1）且与直线3x﹣2y＝0垂直的直线方程为（　　）
A．2x﹣3y﹣1＝0
B．2x+3y﹣7＝0
C．3x﹣2y﹣4＝0
D．3x+2y﹣8＝0
2．（2020秋?浙江月考）已知直线，直线l2与l1关于直线y＝﹣x+1对称，则直线l2的斜率为（　　）
A．
B．
C．
D．
3．（2020春?越秀区期末）已知直线l过点P（1，﹣2），且在x轴和y轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为（　　）
A．x﹣y﹣3＝0
B．x+y+1＝0或x﹣y﹣3＝0或2x+y＝0
C．x﹣y﹣3＝0或2x+y＝0
D．x+y+1＝0或2x+y＝0
4．（2019春?张家口期末）如果平面直角坐标系内的两点A（a﹣1，a+1），B（a，a）关于直线l对称，那么直线l的方程为（　　）
A．x﹣y+1＝0
B．x+y+1＝0
C．x﹣y﹣1＝0
D．x+y﹣1＝0
5．（2019春?温江区期末）已知△ABC的顶点坐标为A（1，4），B（﹣2，0），C（3，0），则角B的内角平分线所在直线方程为（　　）
A．x﹣y+2＝0
B．xy+2＝0
C．xy+2＝0
D．x﹣2y+2＝0
6．（2018秋?岳阳期末）已知△ABC的顶点A（1，2），AB边上的中线CM所在的直线方程为x+2y﹣1＝0，∠ABC的平分线BH所在直线方程为y＝x，则直线BC的方程为（　　）
A．2x﹣3y﹣1＝0
B．2x+3y﹣1＝0
C．3x﹣2y﹣1＝0
D．3x﹣2y+1＝0
7．（2018秋?铜官区校级月考）经过两条直线2x+3y+1＝0和x﹣3y+4＝0的交点，并且垂直于直线3x+4y﹣7＝0的直线方程为（　　）
A．4x﹣3y+9＝0
B．4x+3y+9＝0
C．3x﹣4y+9＝0
D．3x+4y+9＝0
二．填空题
8．（2021?杨浦区一模）若关于x，y的方程组无解，则实数a＝　
　．
9．（2020秋?沈阳期末）若直线x+2y+2＝0与直线（m+2）x+（3﹣2m）y+1＝0平行，则m＝　
　．
10．（2020秋?城关区校级期末）过点A（2，1），且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是　
　．
11．（2019秋?浦东新区校级期末）已知直线l1：2x+ay+2＝0与直线l2：（a﹣1）x+3y+1＝0平行，则实数a的值为　
　．
12．（2020秋?浦东新区校级期中）已知直线l：x﹣y﹣1＝0，l1：2x﹣y﹣2＝0．若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程为　
　．
13．（2020?肥城市模拟）在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移5个单位，得到直线l1．再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位，又与直线l重合．若直线l与直线l1关于点（2，3）对称，则直线l的方程是　
　．
14．（2019秋?南岸区期末）设点A（﹣3，5）和B（2，15），在直线l：3x﹣4y+4＝0上找一点P，使|PA|+|PB|为最小，则这个最小值为　
　．
15．（2019秋?慈溪市期中）将一张坐标纸折叠一次，使得点P（1，2）与点Q（﹣2，1）重合，则直线y＝x+4关于折痕对称的直线为　
　．
三．解答题
16．（2020秋?杨浦区校级期末）已知点A（﹣1，0）和点B关于直线l：x+y﹣1＝0对称．
（1）若直线l1过点B，且使得点A到直线l1的距离最大，求直线l1的方程；
（2）若直线l2过点A且与直线l交于点C，△ABC的面积为2，求直线l2的方程．
17．（2020秋?嘉定区校级月考）已知m，n为实数，直线l1的方程为（m﹣1）x+2my﹣8m＝0，直线l2的方程为（2n﹣1）x+4ny﹣4n＝0．
（1）讨论直线l1和l2的位置关系；
（2）当直线l1和l2平行时，求这两条平行线的距离的最大值．
18．（2020春?番禺区期末）已知△ABC的三个顶点A（4，﹣6），B（﹣4，1），C（﹣1，4）．试求：
（1）AC边上高BD所在的直线方程；
（2）△ABC的面积．
19．（2020春?天河区期末）已知直线l1：2x+y﹣2＝0；l2：mx+4y+n＝0（m，n为常数）．
（1）若l1⊥12，求m的值；
（2）若l1∥12，且它们的距离为，求m，n的值．
20．（2020秋?潞州区校级月考）写出满足下列条件的直线的方程．
（1）经过点A（3，2），且与直线2x+y﹣3＝0垂直；
（2）经过点B（﹣5，2），且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍．
21．（2020秋?朝阳区校级期中）已知△ABC的顶点C（4，3），边AC上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5＝0，点（2，﹣1）是边AB的中点．
（1）求边AC所在直线的方程；
（2）求点B的坐标．
22．（2020秋?浦东新区校级期中）（1）已知直线l过点P（﹣3，4），若直线l在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l的一般式方程；
（2）已知直线l过点P（3，2）且与x轴，y轴的正半轴相交于A，B两点，求△ABO面积最小值及这时直线l的一般式方程；
（3）已知直线l经过点P（2，﹣2），且与第一象限的平分线y＝x（x≥0），y轴（原点除外）分别交于A，B两点，直线l，射线y＝x（x≥0），y轴围成的三角形OAB的面积为12，则符合要求的直线共有几条，请说明理由．
23．（2020春?黄冈期末）已知直线l1：x+2y﹣4＝0与直线l2：x﹣y﹣1＝0的交点为A，直线l经过点A，点P（1，﹣1）到直线l的距离为2．直线l3与直线l1关于直线l2对称．
（Ⅰ）求直线l的方程；
（Ⅱ）求直线l3的方程．
24．（2020?来宾模拟）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点P（2，0）的直线交抛物线C于A（x1，y1）和B（x2，y2）两点．
（1）当x1+x2＝4时，求直线AB的方程；
（2）若过点P且垂直于直线AB的直线l与抛物线C交于C，D两点，记△ABF与△CDF的面积分别为S1，S2，求S1S2的最小值．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：设过点（2，1）且与直线3x﹣2y＝0垂直的直线方程为2x+3y+m＝0，
把点（2，1）代入可得：4+3+m＝0，解得m＝﹣7．
∴要求的直线方程为：2x+3y﹣7＝0，
故选：B．
2．【解答】解：联立，解得x1，y，
所以直线l1与直线y＝﹣x+1的交点坐标为（1，），
设直线l2的方程为yk（x1），即kx﹣y+k（1）0，
在直线y＝﹣x+1上取点（0，1），
由题设知点（0，1）到直线l1，l2的距离相等，
所以由点到直线的距离得，
化简得2k2﹣3k+2＝0，
解得k或k，
当k时，直线l2为x﹣y+2＝0，与l1重合，舍，
所以k．
故选：D．
3．【解答】解：当直线过原点时，由于斜率为2，故直线方程为
y＝﹣2x，即2x+y＝0．
当直线不过原点时，设方程为1，把点A（1，﹣2）代入可得a＝3，
故直线的方程为x﹣y﹣3＝0，
故答案为：2x+y＝0，或x﹣y﹣3＝0，
故选：C．
4．【解答】解：∵kAB1，线段AB的中点为（，），
两点A（a﹣1，a+1），B（a，a）关于直线L对称，
∴kL＝1，其准线方程为：yx，
化为：x﹣y+1＝0．
故选：A．
5．【解答】解：由已知可得|AB|＝|BC|＝5，
所以角B的内角平分线所在直线方程为AC的垂直平分线，
又线段AC中点坐标为（2，2），
则角B的内角平分线所在直线方程为y﹣2，
即x﹣2y+2＝0．
故选：D．
6．【解答】解：（1）由题意可知，点B在角平分线y＝x上，可设点B的坐标是（m，m），
则AB的中点（，）在直线CM上，∴2?1＝0，
解得：m＝﹣1，故点B（﹣1，﹣1）．
设A关于y＝x的对称点为A′（x0，y0），则有
，，即A′（2，1）
则由A′在直线BC上，可得BC的方程为
，即3（y+1）＝2（x+1），即2x﹣3y﹣1＝0，
故选：A．
7．【解答】解：经过两条直线2x+3y+1＝0和x﹣3y+4＝0的交点的直线设为：
2x+3y+1+λ（x﹣3y+4）＝0，即（2+λ）x+（3﹣3λ）y+1+4λ＝0，
依题意得：（2+λ）×3+（3﹣3λ）×4＝0
解得：λ＝2，
所以所求直线为：4x﹣3y+9＝0
故选：A．
二．填空题
8．【解答】解：若关于x，y的方程组无解，
则直线2x+y﹣4＝0
和直线3x﹣ay﹣8＝0平行，
故有
，求得a，
故答案为：．
9．【解答】解：∵直线x+2y+2＝0与直线（m+2）x+（3﹣2m）y+1＝0平行，
∴，
求得m，
10．【解答】解：当直线过原点时，方程为
yx，即x﹣2y＝0．
当直线不过原点时，设直线的方程为x+y＝k，把点A（2，1）代入直线的方程可得
k＝3，
故直线方程是
x+y﹣3＝0．
综上，所求的直线方程为
x﹣2y＝0，或
x+y﹣3＝0，
故答案为
x﹣2y＝0，或x+y﹣3＝0．
11．【解答】解：∵直线l1：2x+ay+2＝0与直线l2：（a﹣1）x+3y+1＝0平行，
∴，求得a＝﹣2或3，
故答案为：﹣2或3．
12．【解答】解：联立解得，所以三条直线的交点为（1，0）
在l1上取点（2，2），依题意该点关于l的对称点（3，1）在l2上
由两点式得l2的方程为，化简得x﹣2y﹣1＝0
故答案为：x﹣2y﹣1＝0．
13．【解答】解：设直线l的方程为：y＝kx+b，将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移5个单位，得到直线l1：y＝k（x﹣3）+5+b，化为y＝kx+b+5﹣3k，
再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位，y＝k（x﹣3﹣1）+b+5﹣2，化为y＝kx+3﹣4k+b．
又与直线l重合．
∴b＝3﹣4k+b，解得k．
∴直线l的方程为：yx+b，直线l1为：yxb，
设直线l上的一点P（m，b），则点P关于点（2，3）的对称点P′（4﹣m，6﹣bm），
∴6﹣bm（4﹣m）+b，解得b．
∴直线l的方程是yx，化为：6x﹣8y+1＝0．
故答案为：6x﹣8y+1＝0．
14．【解答】解：设点A（﹣3，5）关于直线l：3x﹣4y+4＝0的对称点为A′（a，b），
则，解得A′（3，﹣3）．
则|PA|+|PB|的最小值＝|A′B|＝5．
故答案为：5．
15．【解答】解：P，Q的中点坐标为M（，），即M（，），
PQ的斜率k，
则对称直线和直线PQ垂直，
则对称直线的斜率k＝﹣3，
则对应的方程为y3（x），即y＝﹣3x，
由得，即交点坐标为N（﹣1，3），
设直线y＝x+4关于折痕对称的直线斜率为k，
则由直线到角公式得，
得2，
得k+3＝2﹣6k，
得k，对折直线过N（﹣1，3），
则对应直线方程为y﹣3（x+1）．
即x+7y﹣20＝0，
故答案为：x+7y﹣20＝0．
三．解答题
16．【解答】解：（1）由题意设B（m，n），由题意可得，解得：m＝1，n＝2，
即B（1，2），
当直线l1⊥AB时，A到直线l1的距离最大，所以kkAB1，
所以直线l1的方程为：y﹣2＝﹣（x﹣1），
即直线l1的方程为：x+y﹣3＝0．
（2）因为AB⊥l，设线段AB的中点为D，由（1）可得|AB|2，
则D（0，1），则CD⊥AB，
由题意设C（x0，﹣x0+1），
所以S△ABC|AB|?|CD|?|CD|＝2，
所以|CD|，
而|CD|
所以x02＝1，所以x0＝±1，
即C（1，0）或（﹣1，2），
所以直线l2的方程为：x＝﹣1或y＝0．
17．【解答】解：（1）由题意可得：联立方程组，
设D＝4n×（m﹣1）﹣2m（2n﹣1）＝2（m﹣2n），
①当D≠0即m≠2n时，l1，l2相交，
②当D＝0即m＝2n时，（Ⅰ）当m＝2n＝0时，两直线重合，
（Ⅱ）当m＝2n≠0时，两直线平行；
（2）当l1∥l2时，m＝2n≠0，
此时直线l1：（2n﹣1）x+4ny﹣16n＝0恒过定点A（0，4），
直线l2：（2n﹣1）x+4ny﹣4n＝0恒过定点B（0，1），
当直线AB与直线l1，l2垂直时，直线l1，l2这两条平行线的距离最大，
且最大值为|AB|＝3．
18．【解答】解：（1）kAC2，
∴kBD．
∴直线BD的方程为y﹣1（x+4），即x﹣2y+6＝0．
（2）∵A（4，﹣6），C（﹣1，4）．
∴AC5．
直线AC的方程为：y+2x﹣2＝0．
∴点B（﹣4，1）到直线AC的距离为：d，
∴△ABC的面积5．
19．【解答】解：（1）∵直线l1：2x+y﹣2＝0；l2：mx+4y+n＝0，若l1⊥12，
则﹣2?（）＝﹣1，求得m＝﹣2．
（2）若l1∥12，则，求得m＝8，n≠﹣8，
故
直线l1：8x+4y﹣8＝0；
l2：8x+4y+n＝0．
再根据它们的距离为，∴n＝12，或n＝﹣28．
综上可得，m＝8，n＝12或﹣28．
20．【解答】解：（1）因为直线2x+y﹣3＝0的斜率为﹣2，直线与2x+y﹣3＝0垂直，
所以直线的斜率为，所以直线的方程为，
即x﹣2y+1＝0．
（2）当直线过原点时，设直线的方程为y＝kx，
把点B（﹣5，2）代入可得，，
此时，直线的方程为2x+5y＝0．
当直线不过原点时，设直线的方程为，
把点B（﹣5，2）代入可得，
此时直线的方程为x+2y+1＝0．
综上，满足条件的直线方程为2x+5y＝0或x+2y+1＝0．
21．【解答】解：（1）因为边AC上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5＝0，
所以边AC所在直线的斜率为﹣2，
所以边AC所在直线的方程为y﹣3＝﹣2（x﹣4），
即边AC所在直线的方程为2x+y﹣11＝0．
（2）设点B的坐标为（x0，y0），
因为边AC上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5＝0，
所以x0﹣2y0﹣5＝0，
又因为点（2，﹣1）是边AB的中点，所以点A的坐标为（4﹣x0，﹣2﹣y0），
又因为边AC所在直线的方程为2x+y﹣11＝0，
所以2（4﹣x0）﹣（2+y0）﹣11＝0，即2x0+y0+5＝0，
由，得，
所以点B的坐标为（﹣1，﹣3）．
22．【解答】解：（1）由题意显然直线的斜率存在求不为0，设直线l的方程为y＝kx+b，
由直线过P点（﹣3，4），所以4＝﹣3k+b，所以b＝3k+4，
所以直线在x轴的截距3，
在y轴的截距为b＝3k+4，
由题意可得3k+4﹣312，整理可得：3k2﹣11k﹣4＝0，
解得：k或k＝4，
所以直线l的方程为：yx+3或y＝4x+16，
即x+3y﹣9＝0或4x﹣y+16＝0；
（2）直线l过点P（3，2）且与x轴，y轴的正半轴相交于A，B两点，
设直线方程为y＝kx+b，k＜0，过P（3，2），
所以2＝3k+b，所以b＝2﹣3k，
可得在x轴的截距为：3，
在y轴的截距为b＝2﹣3k，
所以S△OAB（2﹣3k）?（3）[12+（﹣9k）+（）]，
因为﹣9k＞0，0，
所以?[12+（﹣9k）+（）]（12+2）＝12，当且仅当﹣9k，k＜0即k，b＝2﹣3k＝4，
所以△ABO面积最小值为12，此时直线的方程为yx+4即2x+3y﹣12＝0；
（3）符合要求的直线共有1条；理由如下：
设直线AB的方程为：y＝kx+b，k＞0且b＜﹣4，由过P（2，﹣2），所以可得﹣2＝2k+b，
即b＝﹣2﹣2k，所以在y轴的截距为b＝﹣2﹣2k＜﹣4，
即k＞1，
与直线y＝x的交点为x＝y，
所以可得S△OAB?|xA|?|xB|??（2+2k）?（）?（2+2k），
由题意可得12
解得k（舍去）或k．
∴符合要求的直线共有1条．
23．【解答】解：（Ⅰ）由，解得，
所以A（2，1）∈l，
当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝2，此时点P（1，﹣1）到直线l的距离d＝1≠2，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y﹣1＝k（x﹣2），
则点P（1，﹣1）到直线l的距离为d2，
解得k＝0或k，
故直线l的方程为y＝1，或4x+3y﹣11＝0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，点A（2，1），
由4+2×0﹣4＝0，得点B（4，0）∈l1，
设点B关于直线l2的对称点为B0（x0，y0），则B0（x0，y0）∈l1且BB0⊥l2，
设点B与点B0的中点为C，则C（，）∈l2，
故，解得，所以B0（1，3），
由A∈l3，B∈l3，
由两点式方程可知直线l3的方程为：，化简得2x+y﹣5＝0．
24．【解答】解：（1）由直线AB过定点P（2，0），可设直线方程为x＝my+2．
联立消去x，得y2﹣4my﹣8＝0，
由韦达定理得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣8，
所以．
因为x1+x2＝4．所以4m2+4＝4，解得m＝0．
所以直线AB的方程为x＝2．
（2）由（1），知△ABF的面积为
．
因为直线CD与直线AB垂直，
且当m＝0时，直线AB的方程为x＝2，则此时直线l的方程为y＝0，
但此时直线l与抛物线C没有两个交点，
所以不符合题意，所以m≠0．因此，直线CD的方程为．
同理，△CDF的面积．
所以，
当且仅当，即m2＝1，亦即m＝±1时等号成立．
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精品试卷·第
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