【同步必刷题】3.3 直线的交点坐标与距离公式 基础练（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2020-2021学年人教A版必修二同步必刷题基础练
第三章《直线与方程》
3.3
直线的交点坐标与距离公式
一．选择题
1．（2020秋?香坊区校级期末）直线kx﹣y+2k+1＝0与x+2y﹣4＝0的交点在第四象限，则k的取值范围为（　　）
A．（﹣6，2）
B．
C．
D．
2．（2020秋?市中区校级月考）已知平面上一点M（5，0）若直线l上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为点M（5，0）的“相关直线”，下列直线中不是点M（5，0）的“相关直线”的是（　　）
A．y＝x﹣3
B．y＝2
C．4x﹣3y＝0
D．2x﹣y+1＝0
3．（2020春?番禺区期末）点P在直线x+y﹣4＝0上，O为坐标原点，则|OP|的最小值为（　　）
A．4
B．2
C．
D．2
4．（2020秋?镜湖区校级期中）已知直线l1：mx﹣y+m﹣1＝0与射线l2：x﹣y﹣2＝0（x≥0）恒有公共点，则m的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1]∪（1，+∞）
B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
C．[﹣1，1）
D．[﹣1，1]
5．（2020秋?聊城期中）已知直线x+2y+3＝0与直线2x+my+1＝0平行，则它们之间的距离为（　　）
A．
B．
C．
D．
6．（2020秋?安徽月考）已知直线l过点，当原点到直线l的距离最大时，直线l的方程为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．（2020秋?潞州区校级月考）已知直线l1：kx+2y﹣k﹣4＝0恒过点M，直线l2：y＝x﹣1上有一动点P，点N的坐标为（4，6），当|PM|+|PN|取得最小值时，点P的坐标为（　　）
A．（，）
B．（，）
C．（，）
D．（，）
8．（2020秋?河南月考）设m∈R，动直线l1：x+my＝0过定点A，动直线l2：mx﹣y﹣m+3＝0过定点B，且l1，l2交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的最大值是（　　）
A．
B．2
C．5
D．10
二．填空题
9．（2020秋?大通县期末）已知直线l1：2x+by+2＝0与直线l2：2x﹣y+1＝0平行，则直线l1，l2之间的距离为　
　．
10．（2019秋?杨浦区校级期末）已知点A（﹣1，2），B（1，4），A、B在直线l同侧且A、B到直线l的距离相等，则直线l的一个法向量为　
　．
11．（2019秋?徐汇区校级期末）若O为坐标原点，点A（4，0）、B（4，4）、C（2，6），则直线AC与OB交点P的坐标为　
　．
12．（2020秋?新市区校级月考）已知直线l的方程为（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4＝0，其中m∈R．求出当m变化时，点Q（3，4）到直线l的距离的最大值为　
　．
13．（2020秋?大通县期末）已知直线l：（2k﹣1）x+（2k+3）y﹣k＝0，则当k变化时，直线l恒过定点　
　．
14．（2020秋?营口期末）若直线l1：y＝kx+4与直线l2关于点M（1，2）对称，则当l2经过点N（0，﹣1）时，点M到直线l2的距离为　
　．
15．（2020秋?秦州区校级期末）不论m取何实数，直线l：（m﹣1）x+（2m﹣1）y＝m﹣5恒过定点　
　．
16．（2020秋?潞州区校级月考）若直线l1：3x+4y+3＝0与l2：6x+my+1＝0平行，则l1与l2之间的距离为　
　．
三．解答题
17．（2020秋?宣城期中）若点A（﹣2，﹣1）与点B（3，2）到直线ax+y+1＝0的距离相等，求a的值．
18．（2020秋?资中县校级期中）已知直线l过直线3x+4y﹣2＝0与直线x﹣y+4＝0的交点．
（1）若直线l斜率为1，求l的方程，
（2）若直线l与直线x﹣2y﹣1＝0垂直，求直线l的方程．
19．（2020春?乐山期末）已知两条直线l1：mx+4y﹣2＝0和l2：x+my+1＝0．
（1）当l1∥l2时，求m的值；
（2）在（1）的条件下，求l1、l2间的距离．
20．（2020春?重庆期末）已知△ABC中，点A（1，3），B（2，1），C（﹣1，0）．
（1）求直线AB的方程；
（2）求△ABC的面积．
21．（2020秋?城关区校级期末）根据所给条件求直线的方程：
（1）直线过点（﹣3，4），且在两坐标轴上的截距之和为12；
（2）直线过点（5，10），且到原点的距离为5．
22．（2020春?荔湾区期中）已知斜率为的直线l过点（1，0），且点P（﹣1，a）在直线l上．
（1）求a的值；
（2）若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为2，求直线m的方程．
23．（2020秋?九江期中）已知直线l的方程为（m﹣1）x+（m+3）y+6﹣10m＝0，m∈R．
（1）求证：直线l恒过定点P，并求出定点P的坐标；
（2）若直线l与直线3x﹣4y+2＝0平行，求m的值．
24．（2020秋?瑶海区校级期中）已知A，B为直线l1上两点，且A（1，0），B（﹣3，3），直线l2：6x+my+14＝0．
（1）求直线l1方程；
（2）若l1∥l2，求l1，l2之间的距离．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：联立方程，可解得，
由两直线y＝kx+2k+1与x+2y﹣4＝0交点在第四象限可得，
解此不等式组可得k，即k的取值范围为（，）
故选：C．
2．【解答】解：根据题意，当点M到直线l的距离d≤4时，该直线上存在点P使|PM|＝4，此时直线l为点M（5，0）的“相关直线”，
依次分析选项：
对于A，y＝x﹣3，即x﹣y﹣3＝0，点M到直线l的距离d4，该直线是点M（5，0）的“相关直线”，
对于B，y＝2，M到直线l的距离d＝|5﹣2|＝3≤4，该直线是点M（5，0）的“相关直线”，
对于C，4x﹣3y＝0，M到直线l的距离d4，该直线是点M（5，0）的“相关直线”，
对于D，2x﹣y+1＝0，M到直线l的距离d54，该直线不是点M（5，0）的“相关直线”，
故选：D．
3．【解答】解：根据题意，O的坐标为（0，0），直线x+y﹣4＝0，
点O到直线x+y﹣4＝0的距离d2，
而|OP|的最小值就是O到直线x+y﹣4＝0的距离，即|OP|的最小值为2，
故选：D．
4．【解答】解：联立，得x，
∵直线l1：mx﹣y+m﹣1＝0与射线l2：x﹣y﹣2＝0（x≥0）恒有公共点，
∴x0，
解得﹣1≤m＜1．
∴m的取值范围是[﹣1，1）．
故选：C．
5．【解答】解：∵直线x+2y+3＝0与直线2x+my+1＝0平行，∴，求得m＝4，
故两平行直线即
直线2x+4y+6＝0与直线2x+4y+1＝0，
故它们之间的距离为
，
故选：A．
6．【解答】解：当OP⊥l时，原点到直线l的距离最大，
因为直线l过点，
则OP的斜率等于，
所以直线l的斜率为，
带入点斜式方程，可得y（x﹣1），
可得直线l的方程为．
故选：A．
7．【解答】解：kx+2y﹣k﹣4＝0整理可得k（x﹣1）+2y﹣4＝0，可得直线恒过定点M（1，2），
因为（4﹣1﹣6）（1﹣1﹣2）＞0，所以M，N在直线的同一侧，
设M'（a，b）为点M关于直线y＝x﹣1，可得，解得：a＝3，b＝0，
所以M'（3，0），
因为|PM|+|PN|＝|PM'|+|PN|≥|M'N|，当|PM|+|PN|取得最小值时，
则P，M'，N三点共线，
直线M'N的方程为：y（x﹣3），即y＝6x﹣18，
联立，解得：x，y，
所以P（，），
故选：B．
8．【解答】解：直线l1：令y＝0，则x＝0，所以直线l1过定点A（0，0），
直线l2方程为：m（x﹣1）＝y﹣3，令x﹣1＝0，则y﹣3＝0，
解得x＝1，y＝3，所以直线l2过定点B（1，3），
当m＝0时，显然直线l与l2垂直，
当m≠0时，k1，即l1⊥l2，
又P是两直线的交点，则PA⊥PB，
所以|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝12+32＝10，
所以（）25，
即|PA|+|PB|，当且仅当|PA|＝|PB|时取等号，
故选：B．
二．填空题
9．【解答】解：直线l1：2x+by+2＝0与直线l2：2x﹣y+1＝0平行，
则2×（﹣1）﹣2b＝0，解得b＝﹣1，
所以直线l1的方程为2x﹣y+2＝0；
所以直线l1，l2之间的距离为
．
故答案为：．
10．【解答】解：根据题意，若A、B在直线l同侧且A、B到直线l的距离相等，
则直线l与直线AB平行，
又由A（﹣1，2），B（1，4），则KAB1，
则直线l的斜率k＝1，其方向向量为（1，1），
则直线l的一个法向量为（1，﹣1），
故答案为：（1，﹣1）（答案不唯一）．
11．【解答】解：∵O为坐标原点，点A（4，0）、B（4，4）、C（2，6），
∴直线AC的方程为：，整理得：3x+y﹣12＝0，
直线OB的方程为：，解得x﹣y＝0．
联立，解得x＝3，y＝3，
∴直线AC与OB交点P的坐标为（3，3）．
故答案为：（3，3）．
12．【解答】解：根据题意，设Q（3，4）到直线l的距离为d，
直线l的方程为（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4＝0，变形可得m（2y﹣x+3）+2x+y+4＝0，
则有，解可得，则直线l恒过定点（﹣1，﹣2），
设M（﹣1，﹣2），又由Q（3，4），
则|MQ|2，
而d≤|MQ|，即点Q（3，4）到直线l的距离的最大值为2，
故答案为：2．
13．【解答】解：直线方程（2k﹣1）x+（2k+3）y﹣k＝0可化为k（2x+2y﹣1）﹣x+3y＝0，
因为直线所过的定点与k的取值无关，
所以，
解得，
所以直线恒过定点．
故答案为：．
14．【解答】解：因为直线l1：y＝kx+4恒过定点P（0，4），
所以P（0，4）关于点M（1，2）对称，
所以P（0，4）关于点M（1，2）的对称点为（2，0），
此时（2，0）和N（0，﹣1）都在直线l2上，
由直线方程的两点式可得，即x﹣2y﹣2＝0，
所以点M到直线l2的距离为．
故答案为：．
15．【解答】解：∵不论m取何实数，直线L：（m﹣1）x+（2m﹣1）y＝m﹣5恒过定点，
∴m（x+2y﹣1）﹣x﹣y+5＝0恒成立，
∴，
∴
∴直线L：（m﹣1）x+（2m﹣1）y＝m﹣5恒过定点（9，﹣4）．
故答案为：（9，﹣4）．
16．【解答】解：把直线l2的方程化为：，
∴l1与l2之间的距离d，
故答案为：．
三．解答题
17．【解答】解：∵点A（﹣2，﹣1）与点B（3，2）到直线ax+y+1＝0的距离相等，
∴，
解得a或a＝﹣3．
∴a的值为或﹣3．
18．【解答】解：解方程组：，解得交点坐标为（﹣2，2），
（1）因为直线l的斜率为1且过交点（﹣2，2），
所以直线l的方程为：x﹣y+4＝0；
（2）由题意可知：可设直线l的方程为2x+y+m＝0，
代入点（﹣2，2），解得m＝2，
所以直线l的方程为：2x+y+2＝0．
19．【解答】解：（1）根据题意，直线l1：mx+4y﹣2＝0和l2：x+my+1＝0．
若l1∥l2，必有m2﹣4＝0，解可得m＝±2，
当m＝2时，直线l1：x+2y﹣1＝0，直线l2：x+2y+1＝0，两直线平行，符合题意，
当m＝﹣2时，直线l1：x﹣2y+1＝0，直线l2：x﹣2y+1＝0，两直线重合，不符合题意，
故m＝2；
（2）由（1）的结论，直线l1：x+2y﹣1＝0，直线l2：x+2y+1＝0，
直线l1、l2间的距离d．
20．【解答】解：（1）由题意可知，直线AB的斜率k2，
故直线AB的方程为y﹣1＝﹣2（x﹣2）即y＝﹣2x+5，
（2）点C到直线AB的方程d，
|AB|，
故△ABC的面积S．
21．【解答】解
（1）由题设知纵横截距不为0，设直线方程为1，
又直线过点（﹣3，4），
从而1，解得a＝﹣4或a＝9．
故所求直线方程为4x﹣y+16＝0或x+3y﹣9＝0．
（2）当斜率不存在时，所求直线方程为x﹣5＝0满足题意；
当斜率存在时，设其为k，
则所求直线方程为y﹣10＝k（x﹣5），
即kx﹣y+10﹣5k＝0．
由点线距离公式，得5，解得k．
故所求直线方程为3x﹣4y+25＝0．
综上知，所求直线方程为x﹣5＝0或3x﹣4y+25＝0．
22．【解答】解：（1）依题意可得，直线l的方程为：y（x﹣1），即3x﹣4y﹣3＝0，
代入x＝﹣1，可得a．
（2）设m的方程为3x﹣4y+c＝0，
则由平行线间的距离公式可得：2，
解得c＝7，或﹣13，
所以直线m的方程为：3x﹣4y+7＝0，或3x﹣4y﹣13＝0．
23．【解答】解：（1）由（m﹣1）x+（m+3）y+6﹣10m＝0，化简得
m（x+y﹣10）+（﹣x+3y+6）＝0，
令，
故直线l恒过定点P（9，1）．
（2）由题得
（m﹣1）x+（m+3）y+6﹣10m＝0，与直线
3x﹣4y+2＝0
平行，
∴3（m+3）+4（m﹣1）＝0，即
．
24．【解答】解：（1）∵A，B为直线l1上两点，且A（1，0），B（﹣3，3），直线l2：6x+my+14＝0，∴，
∴直线l1方程为：3x+4y﹣3＝0．
（2）∵l1∥l2，∴，即m＝8，
故直线l2：6x+my+14＝0可化为3x+4y+7＝0，
∴两平行线之间的距离．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)