【同步必刷题】4.2 直线、圆的位置关系 基础练（含解析）

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2020-2021学年人教A版必修二同步必刷题基础练
第四章《圆与方程》
4.2
直线、圆的位置关系
一．选择题
1．（2020秋?和平区期末）已知圆C1：x2+y2＝4和圆C2：x2+y2+2ay﹣6＝0（a＞0）的公共弦长为2，则实数a的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
2．（2020秋?通化县期末）若圆（x+1）2+y2＝m与圆x2+y2﹣4x+8y﹣16＝0内切，则实数m的值为（　　）
A．1
B．11
C．121
D．1或121
3．（2021?浙江模拟）已知圆C1的标准方程是（x﹣4）2+（y﹣4）2＝25，圆C2：x2+y2﹣4x+my+3＝0关于直线xy+1＝0对称，则圆C1与圆C2的位置关系为（　　）
A．相离
B．相切
C．相交
D．内含
4．（2021?山东模拟）在平面直角坐标系中，动圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝r2与直线y+1＝m（x﹣2）（m∈R）相切，则面积最大
的圆的标准方程为（　　）
A．（x﹣1）2+（y﹣1）
2＝4
B．（x﹣1）
2+（y﹣1）
2＝5
C．（x﹣1）
2+（y﹣1）
2＝6
D．（x﹣1）
2+（y﹣1）
2＝8
5．（2020秋?大通县期末）直线y＝x﹣2被圆x2+y2﹣4x+2y+1＝0所截得的弦长为（　　）
A．4
B．
C．
D．
6．（2020秋?海南期末）直线x+y+1＝0被圆x2+y2﹣2x+2y+1＝0截得的弦长为（　　）
A．2
B．
C．1
D．
7．（2020秋?香坊区校级期末）已知点（x，y）满足：x2+y2＝1，x，y≥0，则x+y的取值范围是（　　）
A．
B．[﹣1，1]
C．[1，]
D．
8．（2020秋?大通县期末）若直线y＝x+2与圆x2+y2﹣2ax﹣2y+a2＝0有公共点，则实数a的取值范围是（　　）
A．
B．
C．
D．
9．（2020秋?鸡冠区校级期末）已知直线xy+4＝0与圆心为（2，0）的圆C相切，则圆C的方程为（　　）
A．（x﹣2）2+y2＝3
B．（x﹣2）2+y2＝9
C．（x+2）2+y2＝3
D．（x+2）2+y2＝9
二．填空题
10．（2020秋?公主岭市期末）已知圆C：x2+y2＝20，则过点P（2，4）的圆的切线方程是　
　．
11．（2020秋?秦州区校级期末）已知圆C1：x2+y2﹣4＝0与圆C2：x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0相交于A，B两点，则直线AB的方程为　
　．
12．（2020秋?秦州区校级期末）已知直线l过点P（1，1），圆C：x2+y2＝4，则直线l与圆C的位置关系是　
　．
13．（2020秋?天津期末）已知圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8＝0，圆C2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣2＝0，则圆C1与圆C2的位置关系是　
　．
14．（2020秋?天津期末）已知直线x+y+5＝0与圆x2+y2+4x﹣2y+m＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则实数m＝　
　．
15．（2020秋?鸡冠区校级期末）已知直线y＝ax与圆C：x2+y2﹣6y+6＝0相交于A，B两点，C为圆心．若△ABC为等边三角形，则a的值为　
　．
16．（2020秋?南岗区校级期末）若过点A（1，1）的直线l将圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4的周长分为2：1两部分，则直线l的斜率为　
　．
三．解答题
17．（2019秋?雨花区期末）已知直线l：x﹣y+3＝0被圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2＝4（a＞0）截得的弦长为．
（1）求a的值；
（2）求过点（3，5）与圆相切的直线的方程．
18．（2020秋?通化县期末）已知直线l与圆C相交于点P（1，0）和点Q（0，1）．
（1）求圆心所在的直线方程；
（2）若圆C的半径为1，求圆C的标准方程．
19．（2020秋?沈阳期末）已知两圆C1：x2+y2﹣2x﹣6y﹣1＝0，C2：x2+y2﹣10x﹣12y+45＝0．
（1）求证：圆C1和圆C2相交；
（2）求圆C1和圆C2的公共弦所在直线方程和公共弦长．
20．（2020秋?大连期末）已知圆C：（x﹣1）2+y2＝9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．
（Ⅰ）当经过圆心C时，求直线l的方程；
（Ⅱ）求弦长AB的最小值，以及此时直线l的方程．
21．（2020秋?辽宁期末）（1）直线l在两坐标轴上的截距相等，且点P（2，1）到直线l的距离为2，求直线l的方程．
（2）圆心在直线y＝﹣4x上，且与直线l：x+y﹣1＝0相切于点P（3，﹣2），求圆的方程．
22．（2020秋?道里区校级期末）已知直线4x+3y+1＝0被圆C：（x+3）2+（y﹣m）2＝13（m＜3）所截得的弦长为4，且P（x，y）为圆C上任意一点．
（1）求m；
（2）求圆C的斜率为1的切线方程．
23．（2020秋?浙江月考）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0，动直线l：（m﹣1）x+（2m+1）y﹣7m+1＝0．
（Ⅰ）判断直线l是否过定点？若过定点，请求出该定点；
（Ⅱ）动直线l与圆C所成的弦中，求以最长弦和最短弦为对角线的四边形ABCD的面积．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：根据题意，圆C1：x2+y2＝4和圆C2：x2+y2+2ay﹣6＝0（a＞0），
则有，联立可得：y，即两圆公共弦所在直线的方程为y，
圆C1：x2+y2＝4，其圆心为（0，0），半径r＝2，
若公共弦的弦长为2，则圆C1的圆心C1到公共弦的距离d，
又由a＞0，则有，解可得a，
故选：A．
2．【解答】解：根据题意，圆（x+1）2+y2＝m，必有m＞0，其圆心为（﹣1，0），半径R，
圆x2+y2﹣4x+8y﹣16＝0，即（x﹣2）2+（y+4）2＝36，其圆心为（2，﹣4），半径r＝6，
两圆的圆心距d5，
若两圆内切，则有|6|＝5，解可得m＝1或121，
故选：D．
3．【解答】解：根据题意，圆C2：x2+y2﹣4x+my+3＝0，其圆心为（2，），
若圆C2关于直线xy+1＝0对称，即点C2在直线xy+1＝0上，则有2（）+1＝0，解可得m＝2，
即圆C2的方程为（x﹣2）2+（y）2＝4，其圆C2的圆心为（2，），半径r＝2，
此时，圆心距|C1C2|，
则有5﹣2＜|C1C2|＜5+2，
故两圆相交，
故选：C．
4．【解答】解：根据题意，直线y+1＝m（x﹣2），恒过定点（2，﹣1），
动圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝r2，其圆心为（1，1），半径为r，
若圆的面积最大，即圆心到直线l的距离最大，且其最大值|CP|，
即圆的面积最大时，圆的半径r，
此时圆的方程为：（x﹣1）
2+（y﹣1）
2＝5，
故选：B．
5．【解答】解：由题设可得圆的标准方程为（x﹣2）2+（y+1）2＝4，
∵圆心（2，﹣1）到直线y＝x﹣2的距离d，半径r＝2，
∴所要求弦长为，
故选：D．
6．【解答】解：圆x2+y2﹣2x+2y+1＝0的标准方程为（x﹣1）2+（y+1）2＝1，
∴圆心坐标为（1，﹣1），半径r＝1，
∴圆心到直线x+y+1＝0的距离d，
故直线x+y+1＝0被圆x2+y2﹣2x+2y+1＝0截得的弦长为2，
故选：B．
7．【解答】解：∵点（x，y）满足：x2+y2＝1，x，y≥0，
∴可设x＝cosθ，y＝sinθ，θ∈[0，]，
∴x+y＝cosθ+sinθsin（θ），θ∈[0，]，
∵θ∈[0，]，∴θ∈[，]，sin（θ）∈[，1]，
∴x+y∈[1，]，
故选：C．
8．【解答】解：圆x2+y2﹣2ax﹣2y+a2＝0的方程可化为（x﹣a）2+（y﹣1）2＝1，
若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离，
解得，
∴实数a的取值范围是．
故选：D．
9．【解答】解：令圆C的标准方程（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，
因为直线xy+4＝0与圆心为（2，0）的圆C相切，
则圆C的半径r3，
因此，圆C的方程为（x﹣2）2+y2＝9．
故选：B．
二．填空题
10．【解答】解：根据题意，圆C：x2+y2＝20，而点P（2，4），满足22+42＝10，则点P在圆上，
则CP的斜率k2，所以切线的斜率k，
所以切线的方程为y＝4（x﹣2），即x+2y＝10．
故答案为：x+2y＝10．
11．【解答】解：根据题意，圆C1：x2+y2﹣4＝0与圆C2：x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0相交于A，B两点，
联立，可得4x﹣4y+8＝0，
即x﹣y+2＝0，
故答案为：x﹣y+2＝0．
12．【解答】解：因为P（1，1）在圆C：x2+y2＝4内，
故直线l与圆C：x2+y2＝4相交．
故答案为：相交．
13．【解答】解：圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8＝0，即（x+1）2+（y+4）2＝25，
其圆心C1为（﹣1，﹣4），半径r1＝5，
圆C2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣2＝0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2＝10，
其圆心C1为（2，2），半径r2，
则圆心距|C1C2|3，535，
即r1﹣r2＜|C1C2|＜r1+r2，
故圆C1与圆C2的位置关系是相交．
故答案为：相交．
14．【解答】解：由题设可得：圆x2+y2+4x﹣2y+m＝0的圆心坐标为（﹣2，1），半径r，
又圆心到直线x+y+5＝0的距离d2，|AB|＝2，
由圆中的弦长公式可得：r2＝5﹣m＝d2+1＝8+1，解得：m＝﹣4，
故答案为：﹣4．
15．【解答】解：圆C：x2+y2﹣6y+6＝0可化为x2+（y﹣3）2＝3，其圆心为（0，3），半径r，
直线y＝ax与圆C：x2+y2﹣6y+6＝0相交于A，B两点，
若△ABC为等边三角形，则圆心C到直线y＝ax的距离d＝rcos30°，
则有，解得a．
故答案为：．
16．【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4的圆心（3，2），半径为2．
设直线的斜率为k，则直线方程为y﹣1＝k（x﹣1），
设直线与圆的交点为A，B，
由题意可得△ABC是顶角为120°的等腰三角形，
则几何关系可得圆心到直线的距离为
2＝1，即kx﹣y﹣k+1＝0．
即：d1，整理可得：3k2﹣4k＝0，
解得k＝0或k．
故答案为：0或．
三．解答题
17．【解答】解：（1）根据题意，圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2＝4，其圆心为（a，2），半径r＝2，
直线l：x﹣y+3＝0被圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2＝4（a＞0）截得的弦长为．
则圆心到直线的距离d，
则有，解得a＝1或a＝﹣3（舍），
故a＝1，
（2）由（1）的结论，a＝1，则圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，
若切线的斜率不存在，此时切线的方程为x＝3，符合题意，
若切线的斜率存在，设切线的斜率为k，
则切线的方程为y﹣5＝k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k+5＝0，
则有2，解得k，
此时切线的方程为y﹣5（x﹣3），即5x+12y+45＝0
所以切线的方程为x＝3或5x+12y+45＝0．
18．【解答】解：（1）因为P（1，0）和点Q（0，1）．
所以直线PQ的斜率为kPQ＝﹣1，PQ中点M（
），
因为以圆心所在的直线与PQ垂直，所以所求直线的斜率为1，
所以圆心所在的直线方程为yx，变形可得y＝x；
（2）由（1）知，圆心所在的直线为y＝x，
设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝1，
将P（1，0）代入圆的方程，则有（1﹣a）2+a2＝1，解得a＝0或1，
所以圆心的坐标为（0，0）或（1，1），
所以圆C的标准方程为x2+y2＝1或（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．
19．【解答】证明：（1）圆C1：x2+y2﹣2x﹣6y﹣1＝0的圆心C1（1，3），半径r1，
C2：x2+y2﹣10x﹣12y+45＝0的圆C2（5，6），半径r24，
|C1C2|5，
∵4|C1C2|＝5＜4，
∴圆C1和圆C2相交．
解：（2）∵两圆C1：x2+y2﹣2x﹣6y﹣1＝0，C2：x2+y2﹣10x﹣12y+45＝0，
∴两圆相减，得圆C1和圆C2的公共弦所在直线方程为：
8x+6y﹣46＝0，即4x+3y﹣23＝0．
圆心C2（5，6）到直线4x+3y﹣23＝0的距离d3，
∴圆C1和圆C2的公共弦长|AB|＝222．
20．【解答】解：（Ⅰ）已知圆C：（x﹣1）2+y2＝9的圆心为C（1，0），
∵直线l过点P，C，∴直线l的斜率k2，
∴直线l的方程为y＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣2＝0；
（Ⅱ）当弦AB被点P平分时，弦AB最短，此时l⊥PC，
直线l的方程为y﹣2（x﹣2），即x+2y﹣6＝0．
21．【解答】解：（1）当截距为0时，设直线l的方程为y＝kx，
由题意知，，解得k，
∴直线l的方程为yx，即3x+4y＝0，
当截距不为0时，设所求直线l的方程为x+y﹣a＝0．
由题意知2，解得a＝3或a＝3，
∴直线l的方程为x+y﹣3+20，或x+y﹣3﹣20．
故所求直线l的方程为3x+4y＝0，x+y﹣30，x+y﹣30；
（2）设要求的圆心为C（m，n），
由于过P（3，﹣2）垂直于切线的直线必定过圆心，
故该直线的方程为x﹣y﹣5＝0，
则有m﹣n﹣5＝0，且n＝4m，
解得：m＝1，n＝﹣4．
故圆心C为（1，﹣4），r＝|CP|＝2．
∴所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+4）2＝8．
22．【解答】解：（1）圆C：（x+3）2+（y﹣m）2＝13的圆心C为（﹣3，m），半径r，
若直线4x+3y+1＝0被圆C：（x+3）2+（y﹣m）2＝13（m＜3）所截得的弦长为4，
则圆心到直线的距离d，
解可得：m＝2或m（舍），
则m＝2；
（2）设圆C的斜率为1的切线方程为y＝x+b，即x﹣y+b＝0．
由（﹣3，2）到切线的距离等于半径，可得，
解得b＝5或b＝5．
∴切线方程为y＝x+5或y＝x+5．
23．【解答】解：（Ⅰ）由l：（m﹣1）x+（2m+1）y﹣7m+1＝0，得m（x+2y﹣7）+（﹣x+y+1）＝0
联立，解得，
∴直线恒过定点P（3，2）；
（Ⅱ）化圆C为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4，
∴C（2，1），r＝2，
∴最长弦为直径，即|AC|＝4，
最短弦过P点且与直径AC垂直，
∴，
∴．
即以最长弦和最短弦为对角线的四边形ABCD的面积为．
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精品试卷·第
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