北师大版八年级数学下册1.4 角平分线课件（21张PPT）

1.4
角平分线
北师大版八年级数学（下）
情境引入
天泉农副产品集散基地M位于李庄A、王庄B、赵庄C三个村庄之间，其位置到三条公路AB、AC、BC的距离相等。你能在图中
内部画出M的位置吗？
A
C
B
动动手画一画
请同学们拿出一张纸，在纸上任意画出一个角
,把它剪下并对折，使角的两边重合，然后展开铺平，你有什么发现？
（1）思考：角是轴对称图形吗？
如果是，请找出它的对称轴。
（2）结论：
角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴。
C
D
A
B
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动动手做一做
在角平分线AD上任取一点P，过点P作
垂足分别为点M,N,用圆规比较PM与PN的大小，你有什么发现？
A
C
D
B
P
B
M
N
∟
∟
由此，你能得到什么结论？
在AD上另取一点Q,试一试，你能得出同样的结论吗？
角平分线的性质
角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等。
A
C
D
B
P
B
M
N
∟
∟
已知：AD为
角平分线，P为AD上任意一点，
试说明：PM=PN
性质主要用于证明两线段相等，使用的前提是有角的平分线，关键是图中是否有“垂直”。
A
B
C
合作探究
∥
∥
则P是
内部一
个到
的两边AB、AC距
离相等的点。作直线AP。
如果将
沿AP对折，
你发现
重合吗？
由此，你能得到什么结论？
P
角平分线的判定：
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
性质和判定的区别和联系：
温馨提醒
性质说明只要是角平分线上的点，它到角两边的距离一定相等，无一例外；判定反映了只要是到角两边距离相等的点，都一定在角的平分线上，而绝不会漏掉一个。
前者用来证明线段相等，后者用来证明角相等（角平分线）
一
填空：
(1).
∵∠1=
∠2,DC⊥AC,
DE⊥AB
∴___________
(___________________________________________)
(2).
∵DC⊥AC
,DE⊥AB
,DC=DE
∴__________
(_____________________________________________)
A
C
D
E
B
1
2
∠1=
∠2
DC=DE
到角的两边的距离相等的点，在角平分线上。
角平分线上的点到角的两边的距离相等
随
练习
堂
图1
图2
B
1：下列两图中，能表示直线l1上一点P到直线l2的距离的是（
）
图1
二
选择题：
2：下列两图中，能表示角的平分线上的一点P到角的边上的距离的是（
）
图1
图1
图2
∵
如图，AD平分∠BAC（已知）
∴
=
，(
)
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
BD
CD
三
判断：
（×）
∵
如图，
DC⊥AC，DB⊥AB
（已知）
∴
=
，(
)
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
BD
CD
（×）
∵
AD平分∠BAC,
DC⊥AC，DB⊥AB
（已知）
∴
=
，（
）
DB
DC
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
√
情境引入
天泉农副产品集散基地M位于李庄A、王庄B、赵庄C三个村庄之间，其位置到三条公路AB、AC、BC的距离相等。你能在图中
内部画出M的位置吗？
A
C
B
怎样作一个角的平分线？（不用量角器）
A
B
C
P
探究新知
E
A
F
P
E
F
观察领悟作法，探索思考证明方法
已知：
∠BAC(如图)
求作：
∠BAC的角平分线OP
在△AEP和△AFP中
　　　AE=AF
　　　PE=PF
　
AP=AP
∵△AEP≌△AFP(SSS)
∴∠EAP=∠FAP
即:AP
是∠BAC的角平分线.
1、以A为圆心，适当长为半径作弧，交AB于E，交AC于F。
2、分别以E、F为圆心，大于
的长为半径作弧，两弧在∠BAC内部交于点P。
3、作射线AP，射线OP即为所求。
作法：
B
C
A
P
F
E
证明:连结PE,PC由作法知:
问题1.在上面作法的第二步中，去掉“大于
EF的长”这个条件行吗？
【答案】不行.因为去掉“大于
EF的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．
【答案】若分别以E、F为圆心，大于
EF的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠BAC的内部，也可能在∠BAC的外部，而我们要找的是∠BAC内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠BAC的平分线了．
问题2.第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？
思考：
要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺
1：20
000）
s
Ｏ
公路
铁路
解：
作夹角的角平分线OC，截取
OD=2.5cm
,D即为所求。
D
C
s
Ｏ
公路
铁路
3，在Rt三角形ACB中，AD平分
∠BAC
交BC于D,若BC=9，BD=6，求点D到AB边的距离
A
B
D
C
4、ΔABC的角平分线BM,CN相交于点P.
求证：点P到三边AB,BC,CA的距离相等。
A
C
B
M
N
P