北师大版九年级数学下 册2.1.1： 二次函数 教学课件（共20张PPT）

第二章 二次函数
第 二章 二次函数
1 二次函数
学 习 目 标
3
1
2
理解二次函数的概念，掌握其一般形式.（重点）
从实际问题出发列二次函数解析式，体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义.（重、难点）
会解决跟二次函数的概念有关的问题.
2.一元二次方程的一般形式是什么？
3.它的解由什么决定的？
1.什么是一元二次方程？定义中注意点是什么？
ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)
只含有一个未知数
方程是整式方程
未知数的最高次数为2(化简后)
4. 条件a≠0
只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
温故知新
函 数
变量之间的关系
一次函数y=kx+b (k≠0)
反比例函数
二次函数
正比例函数y=kx(k≠0)
4. 函数的定义
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
6.一元二次方程的一般形式
一般地，形如????=????????+????（????,????是常数，????≠????）的函数叫做一次函数.当????=?????时，一次函数????=????????就叫做正比例函数.
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5. 一次函数与正比例函数
????????????+????????+????=????(????≠????).
?
篮球入框，公园里的喷泉，雨后的彩虹都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系式表示？
新课导入
你观察过公园的拱桥吗？
源于生活的数学
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
(1)问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？
(3)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式.
知识讲解
1.二次函数的定义
问题背景：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？
2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有_______ 棵橙子树,这时平均每棵树结___________个橙子
(3)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式:

变量：橙子树的数量，橙子树之间的距离，橙子树接受阳光的多少，每棵橙子树的结果量，果园橙子的总产量，每个橙子的质量等等。
y与x的关系式为：
化简为：
（100+x）
（600-5 x）
银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是说，利率是一个变量.在我国,利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.
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设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款是100元,那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税).
y=100x?+200x+100
解：依题意得，
一年后的本息和为：

两年后本息和为 ：
所以，y 与x的关系式为：
化简为：
二次函数
y=-5x?+100x+60000
y=100x?+200x+100
思索归纳
有何特点
y是x的函数吗？y是x的一次函数吗？
y是x的反比例函数吗？
二次函数解析式特征
一般地,形如
的函数,叫做二次函数.其中,x是自量,a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)等号左边是函数y，右边是关于自变量x的
(3)等式右边的最高次数为 ，可以没有一次项和常数项，但 .
注意:
(2) a,b,c为常数，且
(4) 自变量x的取值范围是
整式
a≠0.
2
任意实数
y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)
不能没有二次项
提醒：当自变量表示实际意义时，自变量的取值范围 就不一定是全体实数。
下列函数中，是二次函数的有哪些？
① y=ax2+bx+c ② ????=????????(x-3)????? ③y=x2
④ ????=???????????? ⑤y=x?+x?+25 ⑥ y=(2x+3)??4x?
?
不一定是，缺少a≠0的条件
不是，等号右边是分式
不是，x的最高次数是3
y=12x+9
2.二次函数的应用
例1
不是，化简后为一次函数
判断一个函数是不是二次函数，要抓住二次函数的结构特征：（1）解析式是关于自变量的整式；（2）自变量的最高次数是2；（3）化简后二次项系数不为0.
除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有其特殊形式,如 ????=????????????,????=????????????+????????,?????=????????????+????等.
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解题小结

（1）m取什么值时，此函数是一次函数？
（2） m取什么值时，此函数是二次函数？
解：
（1）由一次函数的定义可知，
解得????=±22.
?
解得m=3.
注意：第（2）问中不要忽略二次项系数a≠0这一限制条件，从而得出????=????或?????的错误答案.
?
（2）由二次函数的定义可知，
例2
本题考查一次函数和二次函数的概念，这类题要紧扣概念进行解题.此外在求解有关二次函数定义的问题时要确保二次项系数不为0，此题即????+3≠0.
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解题小结
想一想
二次函数的一般式????=????????????＋????????＋????（????≠????）与前面我们学过的一元二次方程????????????＋????????＋????＝????（????≠????）有什么联系和区别？
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联系：(1)等式一边都是????????????＋????????＋????且????≠????；
(2)方程????????????＋????????＋????=????可以看成是函数????=?????????????＋????????＋????中????=????时得到的.
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区别:前者是函数，后者是方程；等式另一边前者是????，后者是0.
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随堂训练
2.函数 ????=(?????????)????????+?????????+?????是二次函数的条件是( )
A . ????,????是常数,且????≠???? B . ????,????是常数,且????≠????
C. ????,????是常数,且????≠???? D .?????,????为任何实数
?
C
3.二次函数????=????（????+????）?????3的二次项是____,一次项系数是_____，
常数项是 .
?
1．下列函数中，????是????的二次函数的是 ( )
A．y＝2x＋1 B．????????+?????????=????
C．????????＝3x＋1 D．????=????????+????????
?
B
????????????
?
????
?
????
?
4.矩形的周长为16 cm,它的一边长为x（cm),面积为y（cm2).
（1）求y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；
（2）求当x=3时矩形的面积.
解：(1)????＝(????－????)????＝－????????＋??????????(????＜????＜????).
(2)当????＝????时，????＝－????????＋????×????＝????????（??????????????）.
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课堂小结
二次函数
定 义
????=????????????+????????+????(?????≠????，????,????,????是常数）
?
一般形式
右边是整式；
自变量的指数是2；
二次项系数a ≠0.
特殊形式
????=????????????；
????=????????????+????????；
????=????????????+????(?????≠????，????,????,????是常数）.
?
再见