北师大版七年级数学下册课件：1.2 幂的乘方与积的乘方(共25张PPT)

2 第1课时 幂的乘方
回顾：1.幂的意义

2.同底数幂相乘的法则：

am·an= am+n（m，n为正整数）
a·a· … ·a=
n个a
an
地球、木星、太阳可以近似地看做是球体 .木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和102倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？
V球= —πr3 ，
其中V是体积、r是球的半径
3
4
103倍
(102)3倍=?
根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空,看看计算的结果有什么规律:
⑴(32)3=32×32×32=3( )
⑵(a2)3=a2·a2·a2=a( )
⑶(am)3=am·am·am=a( ) (m是正整数）．
6
3m
6
对于任意底数a与任意正整数m、n,（am）n=?
乘方的定义
同底数幂的乘法法则
乘法的定义
幂的乘方的计算公式：
幂的乘方，底数______，指数________.
(am)n=amn（m，n都是正整数）
不变
相乘
=am+m+…+m
n个m
=amn
例1 计算：
(1) (102)3； (2) (b5) 5 ； (3) (an) 3
(4) －(x2)m；(5) (y2)3 ? y ； (6)2 (a2)6 － ( a3) 4
解：(1) (102)3= 102×3 = 106;
(2) (b5)5 = b5×5 = b25 ;
(3) (an) 3 = an×3 = a3n ;
(4) －(x2)m = －x2×m = －x2m ;
(5) (y2)3 ? y = y2×3 ? y = y7 ;
(6)2 (a2)6－(a3)4=2a2×6－a3×4=2a12－a12=a12 .
注意：
(1)要紧扣法则要求；
(2)注意符号的位置和底数的确定：是底数符号还是幂的符号．
例2 计算：(1)x2·x4＋(x2)3；
(2)[(x－y)n]2·[(x－y)3]n＋(x－y)5n.
分析：按有理数混合运算的运算顺序计算．
解：(1)x2·x4＋(x2)3＝x6＋x6＝2x6；
(2)[(x－y)n]2·[(x－y)3]n＋(x－y)5n
＝(x－y)2n·(x－y)3n＋(x－y)5n
＝(x－y)5n＋(x－y)5n
＝2(x－y)5n.
例3已知10x =2, 10y =3, 求103x+2y的值.
解: 103x+2y=103x ·102y
=(10x )3 ·(10y )2 =23 ×32
=8×9=72.
幂的乘方逆用可写为
amn =(am)n =(an)m
( m , n都是正整数).
点拨：m，n为指数积一定的各种分解因数情况．
1.计算：
(1) (103)3 ; (2) －(a2)5 ; (3) (x3)4 · x2 ;
(4) [(－x)2 ]3 ; (5) (－a)2(a2)2; (6) x·x6 – (x2)2· x3 .
解: (1)(103)3=109；
(2)－(a2)5=－a10；
(3)(x3)4 · x2 =x12·x2=x14；
(4) [(－x)2 ]3=(x2)3=x6；
(5)(－a)2(a2)2=a2· a4=a6；
(6)x·x6 – (x2)2· x3=x7-x4·x3=0
2.⑴ a12 ＝（a3）( ) ＝（a2）( )
＝a3 a( )＝（ ）3 ＝（ ）4
(4) 32﹒9m ＝3( )
(2) y3n ＝3, y9n ＝ .
(3) （a2）m+1 ＝ .
解：（1）4，6，9，a4，a3；
（2）27；
（3）a2m+2；
（4）2+2m
推广：
[(am)n]p =amnp(m，n，p为正整数）
思考： [(am)n]p =?(m，n，p为正整数）能否利用学过的知识来解决呢？
方法一：
？
方法二：
？
哪种方法简洁高效?
1.幂的乘方法则：
小结
幂的乘方，底数不变，指数相乘.
幂的乘方公式：
2.幂的乘方的推广：
[(am)n]p =amnp(m，n，p为正整数）
(am)n=amn（m，n都是正整数）
2 第2课时 积的乘方
问题1：同底数幂的乘法法则与幂的乘方法则
有什么相同点和不同点？
底数不变
指数相乘
指数相加
同底数幂相乘
幂的乘方
其中m , n都是正整数
（am）n=amn
问题2：地球可以近似地看做是球体，地球的半径约为6×103km，它的体积大约是多少立方千米?
V= —πr3 = —π×(6×103)3
3
4
3
4
那么，(6×103)3=？这种运算有什么特征？
填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？
（1）（ab）2=(ab)·(ab)=（a·a）·（b·b） =a( )b( ).
（2）（ab）3=_______________
=___________
=a( )b( ) .
2
2
（ab）·（ab）·（ab）
（aaa）·（bbb）
3
3
思考：积的乘方(ab)n =?
依 据
（乘方的概念）
（乘法交换律和结合律）
（乘方的概念）
(ab)n = ab·ab·……·ab
=(a·a·……·a) (b·b·……·b)
=an·bn．
n个ab
n个a
n个b
(ab)n = anbn（n为正整数）
积的乘方,等于每一因数乘方的积.
推广：三个或三个以上的积的乘方等于什么？
(abc)n = anbncn（n为正整数）
例1 计算：
(1) (3x)2； (2) (－b)5 ；
(3) (－2xy)4； (4) (3a2)n .
解：(1) (3x)2 = 32x2 = 9x2 ；
(2) (－b)5 = (－1)5b5 = －b5 ；
(3) (－2xy)4 = (－2)4 x4y4 = 16x4y4 ；
(4) (3a2)n = 3n(a2)n = 3na2n .
注意：
1、每个因式都要乘方，不能漏掉任何一个因式，含系数；
2、系数应连同它的符号一起乘方，系数是－1时不可忽略．
引例：地球可以近似地看做是球体，地球的半径约为6×103 km，它的体积大约是多少立方千米?
V= —πr3 = —π×(6×103)3
3
4
3
4
= —π×63×109
3
4
9.05×1011
(千米3)
≈
1.下面的计算是否正确？如有错误请改正：
(1) (ab4)4 = ab8 ; (2) (-3pq)2 = –6p2q2
2. 计算：
(1) (- 3n)3 ; (2) (5xy)3 ; (3) –a3 +(–4a)2 a
解：（1）错误，结果应为a4b16；
（2）错误，结果应为9p2q2
解 （1）(-3n)3=（-3）3n3=-27n3；
（2）(5xy)3=53x3y3=125x3y3；
（3）–a3 +(–4a)2 a=–a3+16a2a=–a3+16a3=15a3
类似前面的同底数幂的乘法和幂的乘方都存在法则逆用的考察，那么积的乘方的逆用有什么神奇的用处吗？
提示：
an·bn =(ab)n（n都是正整数）
例2 用简便方法计算：
(1)
(2)0.125 2019×(－8 2020)．
分析：
（1）常规做法比较麻烦；
（2）常规做法几乎无法解决
解：（1）
(2)0.1252019×(－8 2020)＝－0.1252019×8 2020
＝－0.125 2019×82020×8＝－(0.125×8)2019×8
＝－12019×8＝－8.
条件：底数的积为1或-1．
步骤：
1、先转化为同指数的，即取指数中较小的；
2、逆用积的乘方计算
计算:
(1) 23×53 ;
(2) (-5)16 × (-2)15 ;
(3) 24 × 44 ×(-0.125)4 ;
(4)0.25100×4100 (5)812×0.12513
解（1）23×53=（2×5）3=1000；
（2）(-5)16 × (-2)15=-516×215=-5×（5×2）15=-5×1015；

（3）24 × 44 ×(-0.125)4=（2×4×0.125）4=1；

(4)0.25100×4100=（0.25×4）100=1；

（5）812×0.12513=（8×0.125）13×0.125=0.125
幂的运算性质
性质
am·an=am+n (am)n=amn
(ab)n=anbn ( m、n都是正整数)
am · an =am+n、
(am)n =amn
an·bn = (ab)n
注意
运用积的乘方法则时要注意：
公式中的a、b代表任何代数式；每一个因式都要“乘方”；注意结果的符号、幂指数及其逆向运用（混合运算要注意运算顺序）
反向运用
小结