6.3.1 平面向量基本定理 随堂跟踪练习（含答案）

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6.3.1 平面向量基本定理同步练习
1．(5分)已知e1，e2是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是( )
A．a＝0，b＝e1＋e2
B．a＝3e1＋3e2，b＝e1＋e2
C．a＝e1－2e2，b＝e1＋e2
D．a＝e1－2e2，b＝2e1－4e2
2．(5分)如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )
A．e1与e1＋e2
B．e1－2e2与e1＋2e2
C．e1＋e2与e1－e2
D．e1＋3e2与6e2＋2e1
3．(5分)如图，矩形ABCD中，＝5e1，＝3e2，则等于( )
A．(5e1＋3e2)　　 B．(5e1－3e2)
C．(3e2－5e1) D．(5e2－3e1)
4．(5分)已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(5x－6y)e1＋(4x－5y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值为( )
A．3 B．－3
C．0 D．2
5．(5分)O为?ABCD的对角线的交点，＝4e1，＝6e2，则3e2－2e1等于(　　)
A． B．
C． D．
6．(5分)如图，用向量e1，e2表示向量a－b为( )
A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2
C．e1－3e2 D．3e1－e2
7．(5分)已知A，B，D三点共线，且对任一点C，有＝＋λ，则λ等于(　　)
A． B．
C．－ D．－
8.(5分)已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e2＝6e1＋3e2，则x＝ ，y＝ .
9.(5分)设D为△ABC中BC边上的中点，O为AD边上靠近点A的三等分点，则( )
A．＝－＋
B．＝－
C．＝－
D．＝－＋
10．(5分)若1＝a，2＝b，＝λ(λ≠－1)，则等于(D)
A．a＋λb B．λa＋(1－λ)b
C．λa＋b D．a＋b
11．(5分)在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，则与的夹角是( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
12．(5分)已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝O＋λ(λ∈(0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
13.(5分)已知a＝e1＋e2，b＝2e1－e2，c＝－2e1＋4e2(e1，e2是同一平面内的两个不共线向量)，则c＝ .(用a，b表示)
14.(5分)如图，在△MAB中，C是边AB上的一点，且AC＝5CB，设＝a，＝b，则＝ .(用a，b表示)
15.(10分)在梯形ABCD中，∥，M，N分别是DA，BC的中点，且＝k.设＝e1，＝e2，以e1，e2为基底表示向量，，.
16.(10分)设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
（解析版）
1．(5分)已知e1，e2是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是( )
A．a＝0，b＝e1＋e2
B．a＝3e1＋3e2，b＝e1＋e2
C．a＝e1－2e2，b＝e1＋e2
D．a＝e1－2e2，b＝2e1－4e2
答案：C
2．(5分)如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是(D)
A．e1与e1＋e2
B．e1－2e2与e1＋2e2
C．e1＋e2与e1－e2
D．e1＋3e2与6e2＋2e1
答案：D
3．(5分)如图，矩形ABCD中，＝5e1，＝3e2，则等于( )
A．(5e1＋3e2)　　 B．(5e1－3e2)
C．(3e2－5e1) D．(5e2－3e1)
答案：A
4．(5分)已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(5x－6y)e1＋(4x－5y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值为( )
A．3 B．－3
C．0 D．2
答案：A
5．(5分)O为?ABCD的对角线的交点，＝4e1，＝6e2，则3e2－2e1等于(　　)
A． B．
C． D．
B　解析：由＋＝，得6e2－4e1＝，即2(3e2－2e1)＝.所以3e2－2e1＝＝.故选B.
6．(5分)如图，用向量e1，e2表示向量a－b为( )
A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2
C．e1－3e2 D．3e1－e2
答案：C
7．(5分)已知A，B，D三点共线，且对任一点C，有＝＋λ，则λ等于(　　)
A． B．
C．－ D．－
C　解析：因为A，B，D三点共线，所以存在实数t，使＝t，则－＝t(－)．
所以＝＋t(－)＝(1－t)＋t.
所以解得λ＝－.
8.(5分)已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e2＝6e1＋3e2，则x＝ ，y＝ .
－15　－12　解析：∵向量e1，e2不共线，
∴解得
9.(5分)设D为△ABC中BC边上的中点，O为AD边上靠近点A的三等分点，则( )
A．＝－＋
B．＝－
C．＝－
D．＝－＋
答案：D
10．(5分)若1＝a，2＝b，＝λ(λ≠－1)，则等于(D)
A．a＋λb B．λa＋(1－λ)b
C．λa＋b D．a＋b
答案：D
11．(5分)在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，则与的夹角是( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
答案：C
12．(5分)已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝O＋λ(λ∈(0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
B　解析：为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，
则＋的方向为∠BAC的平分线的方向．
又λ∈(0，＋∞)，所以λ的方向与＋的方向相同．
而＝＋λ，所以点P在上移动，所以点P的轨迹一定通过△ABC的内心．
13.(5分)已知a＝e1＋e2，b＝2e1－e2，c＝－2e1＋4e2(e1，e2是同一平面内的两个不共线向量)，则c＝ .(用a，b表示)
2a－2b　解析：设c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则－2e1＋4e2＝λ(e1＋e2)＋μ(2e1－e2)＝(λ＋2μ)e1＋(λ－μ)e2.
因为e1，e2不共线，
所以解得故c＝2a－2b.
14.(5分)如图，在△MAB中，C是边AB上的一点，且AC＝5CB，设＝a，＝b，则＝ .(用a，b表示)
a＋b　解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
15.(10分)在梯形ABCD中，∥，M，N分别是DA，BC的中点，且＝k.设＝e1，＝e2，以e1，e2为基底表示向量，，.
解：如图，∵＝e2，
且＝k，
∴＝k＝ke2.
∵＋＋＋＝0，
∴＝－－－＝－＋＋＝e1＋(k－1)e2.
∵＋＋＋＝0，
且＝－，＝，
∴＝－－－＝－＋＋＝e2.
16.(10分)设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线，得?
∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．
(2)解：设c＝ma＋nb(m，n∈R)，则
3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
∵e1与e2不共线，
∴∴
∴c＝2a＋b.
(3)解：由4e1－3e2＝λa＋μb，
得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.
∴∴
故所求λ，μ的值分别为3和1.
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