6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例 随堂跟踪练习（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
6.4.3 第3课时　余弦定理、正弦定理应用举例（同步练习）
(60分钟　100分)
1．(5分)为了测量B，C之间的距离，在河岸A，C处测量，如图，测得下面四组数据，较合理的是(　　)
A．c与α B．c与b
C．b，c与β D．b，α与γ
2．(5分)已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为(　　)
A．10 km　 B．10 km
C．10 km D．10 km
3.(5分)在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为 千米．
4.(5分)如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？
5．(5分)为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20 m的楼顶上测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是(　　)
A．20 m　 B．20 m　
C．20(1＋) m D．30 m
6．(5分)在游学活动中，同学们在杭州西湖边上看见了雷峰塔，为了估算塔高，某同学在塔的正东方向选择某点A处观察塔顶，其仰角约为45°，然后沿南偏西30°方向走了大约140 m来到B处，在B处观察塔顶其仰角约为30°，由此可以估算出雷峰塔的高度为(　　)
A．60 m B．65 m
C．70 m D．75 m
7．(5分)如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)
A．北偏东10° B．北偏西10°
C．南偏东80° D．南偏西80°
8.(5分)若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的 方向上．
9.(10分)在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．
10.(5分)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于(　　)
A．240(－1) m B．180(－1) m
C．120(－1) m D．30(＋1) m
11．(5分)如图，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45°，在塔底D的南偏东60°的B处测得塔顶的仰角为30°，A，B的距离是84 m，则塔高CD为(　　)
A．24 m　 B．12 m
C．12 m D．36 m
　　
　　　 第11题　　　　　第12题
12．(5分)如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10 m，吊杆AC＝15 m，吊索AB＝5 m，起吊的货物与岸的距离AD为(　　)
A．30 m　 B． m　
C．15 m D．45 m
13．(5分)某运动会举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 米(如图所示)，则旗杆的高度为(　　)
A．10米　 B．30米
C．10米 D．20米
14．(5分)某人向正东方向走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走了3 km，结果离出发点恰好为 km，那么x的值为(　　)
A．　 B．2
C．2 或 D．3
15.(5分)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝ m.
　　
　　　 第15题　　　　 第16题
16.(5分)小明爸爸开车以80 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，小明坐在车里向外观察，在点A处望见电视塔P在北偏东30°方向上，15分钟后到点B处望见电视塔在北偏东75°方向上，则汽车在点B时与电视塔P的距离是 km.
17.(5分)如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进50 m到达B处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据可得cos θ＝ .
18.(10分)如图所示，甲船以每小时30 海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距10 海里．乙船每小时航行多少海里？
（解析版）
(60分钟　100分)
1．(5分)为了测量B，C之间的距离，在河岸A，C处测量，如图，测得下面四组数据，较合理的是(　　)
A．c与α B．c与b
C．b，c与β D．b，α与γ
D　解析：因为A，C在河岸的同一侧，所以可以测量AC的长度和∠BAC，∠BCA的大小，并用正弦定理求BC.
2．(5分)已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为(　　)
A．10 km　 B．10 km
C．10 km D．10 km
D　解析：由余弦定理可得：
AC2＝AB2＋CB2－2AB×CB×cos 120°
＝102＋202－2×10×20×＝700.
∴AC＝10(km)．
3.(5分)在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为 千米．
　解析：∠ACB＝180°－75°―60°＝45°，由正弦定理得＝＝，AC＝.
4.(5分)如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？
解：由题意知AB＝5(3＋)海里，
∠DBA＝90°－60°＝30°，
∠DAB＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.
在△DAB中，由正弦定理，
得＝，
∴DB＝＝
＝＝10(海里)．
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC
＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20(海里)，
在△DBC中，由余弦定理，得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos ∠DBC＝300＋1 200－2×10×20×＝900，∴CD＝30(海里)，
∴需要的时间t＝＝1(小时)．
故救援船到达D点需要1小时．
5．(5分)为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20 m的楼顶上测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是(　　)
A．20 m　 B．20 m　
C．20(1＋) m D．30 m
A　解析：如图所示，
由已知得四边形CBMD为正方形，而CB＝20 m，
∴BM＝20 m.
又在Rt△AMD中，DM＝20 m，∠ADM＝30°，
∴AM＝DMtan 30°＝ m，
∴AB＝AM＋MB＝＋20＝20m.
6．(5分)在游学活动中，同学们在杭州西湖边上看见了雷峰塔，为了估算塔高，某同学在塔的正东方向选择某点A处观察塔顶，其仰角约为45°，然后沿南偏西30°方向走了大约140 m来到B处，在B处观察塔顶其仰角约为30°，由此可以估算出雷峰塔的高度为(　　)
A．60 m B．65 m
C．70 m D．75 m
C　解析：根据题意，建立数学模型，如图所示，
其中∠CAD＝45°，∠BAC＝60°，∠CBD＝30°，设塔CD高为x，则CA＝x，BC＝x，在△ABC中，由余弦定理得：
BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos ∠CAB，即3x2＝x2＋1402－2x×140×，
化简得x2＋70x－140×70＝0，即(x－70)(x＋140)＝0，
解得x＝70，即雷峰塔的高度为70 m.
7．(5分)如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)
A．北偏东10° B．北偏西10°
C．南偏东80° D．南偏西80°
D　解析：由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.
8.(5分)若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的 方向上．
北偏西15°　解析：如图所示，∠ACB＝90°，
又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，
∴α＝90°－45°－30°＝15°.
∴点A在点B的北偏西15°.
9.(10分)在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．
解：如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，
则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.
由余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos 120°，解得x＝2.
故AC＝28，BC＝20.
根据正弦定理得＝，
所以sin α＝＝.
所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为.
10.(5分)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于(　　)
A．240(－1) m B．180(－1) m
C．120(－1) m D．30(＋1) m
C　解析：∵tan 15°＝tan (60°－45°)＝＝2－，∴BC＝60tan 60°－60tan 15°＝120(－1)(m)．
11．(5分)如图，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45°，在塔底D的南偏东60°的B处测得塔顶的仰角为30°，A，B的距离是84 m，则塔高CD为(　　)
A．24 m　 B．12 m
C．12 m D．36 m
C　解析：设塔高CD＝x m，
则AD＝x m，DB＝x m.
又由题意得∠ADB＝90°＋60°＝150°，
在△ABD中，利用余弦定理，得
842＝x2＋(x)2－2 x2cos 150°，
解得x＝12 (负值舍去)，故塔高为12 m.
　　
　　　 第11题　　　　　第12题
12．(5分)如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10 m，吊杆AC＝15 m，吊索AB＝5 m，起吊的货物与岸的距离AD为(　　)
A．30 m　 B． m　
C．15 m D．45 m
B　解析：在△ABC中，AC＝15 m，AB＝5 m，BC＝10 m，由余弦定理得cos ∠ACB＝＝＝－，所以sin ∠ACB＝.又∠ACB＋∠ACD＝180°，所以sin ∠ACD＝sin ∠ACB＝.在Rt△ACD中，AD＝ACsin ∠ACD＝15×＝(m)．
13．(5分)某运动会举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 米(如图所示)，则旗杆的高度为(　　)
A．10米　 B．30米
C．10米 D．20米
B　解析：如图所示，依题意可知
∠CEA＝45°，∠ACE＝180°－60°－15°＝105°，
所以∠EAC＝180°－45°－105°＝30°.
由正弦定理可知＝，
所以AC＝＝20 (米)．
所以在Rt△ABC中，
AB＝AC·sin ∠ACB＝20×＝30(米)．
所以旗杆的高度为30米．
14．(5分)某人向正东方向走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走了3 km，结果离出发点恰好为 km，那么x的值为(　　)
A．　 B．2
C．2 或 D．3
C　解析：如图，若设出发点为A，
AB＝x，则有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos 30°，即()2＝x2＋32－2x·3cos 30°，
解得x＝2或.
15.(5分)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝ m.
100 　解析：由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.
又AB＝600 m，故由正弦定理得＝，解得BC＝300 m.
在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300 ×＝100(m)．
　　
　　　 第15题　　　　 第16题
16.(5分)小明爸爸开车以80 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，小明坐在车里向外观察，在点A处望见电视塔P在北偏东30°方向上，15分钟后到点B处望见电视塔在北偏东75°方向上，则汽车在点B时与电视塔P的距离是 km.
10 　解析：由题意得，AB＝80×＝20，∠PAB＝30°，∠APB＝75°－30°＝45°，在△ABP中，由正弦定理得＝，
所以PB＝＝＝10 .
17.(5分)如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进50 m到达B处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据可得cos θ＝ .
－1　解析：由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°，可得∠DBA＝135°，∠ADB＝30°.
在△ABD中，根据正弦定理可得＝，即＝，
所以BD＝100sin 15°＝100×sin (45°－30°)＝25(－)．
在△BCD中，由正弦定理得
＝，
即＝，
解得sin ∠BCD＝－1.
所以cos θ＝cos (∠BCD－90°)＝sin ∠BCD＝－1.
18.(10分)如图所示，甲船以每小时30 海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距10 海里．乙船每小时航行多少海里？
解：连接A1B2，由题意知，A1B1＝20，A2B2＝10，A1A2＝×30 ＝10 (海里)．
又∵∠B2A2A1＝180°－120°＝60°，
∴△A1A2B2是等边三角形，
∠B1A1B2＝105°－60°＝45°.
在△A1B2B1中，由余弦定理得
B1B＝A1B＋A1B－2A1B1·A1B2cos 45°
＝202＋(10)2－2×20×10×＝200，
∴B1B2＝10(海里)．
因此乙船的速度大小为×60＝30(海里/小时)．
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_