北师大版九年级下册数学 3.8 圆内接正多边形 同步习题（word版含答案）
文档属性
| 名称 | 北师大版九年级下册数学 3.8 圆内接正多边形 同步习题（word版含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 249.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-01-23 20:11:00 | ||
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文档简介
3.8
圆内接正多边形
同步习题
一．选择题
1．如图，⊙O的周长等于4πcm，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连结BD，CE相交于点F，则∠BFC的度数是（ ）
A．60°
B．70°
C．72°
D．90°
3．如图是半径为2的⊙O的内接正六边形ABCDEF，则圆心O到边AB的距离是（ ）
A．2
B．1
C．
D．
4．如图，AB，AC分别为⊙O的内接正三角形和内接正四边形的一边，若BC恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（ ）
A．8
B．10
C．12
D．15
5．如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA，OE分别交于点F，G，点M为劣弧FG的中点．若FM＝4．则点O到FM的距离是（ ）
A．4
B．
C．
D．
6．如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧BD所对的圆心角∠BOD的大小为（ ）
A．108°
B．118°
C．144°
D．120°
7．如图，边长为3的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则扇形OAB（图中阴影部分）的面积为（ ）
A．π
B．
C．3π
D．
8．边长相等的正方形与正六边形按如图方式拼接在一起，则∠ABC的度数为（ ）
A．10°
B．15°
C．20°
D．30°
9．10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A、B、C、D、E、O均是正六边形的顶点．则点O是下列哪个三角形的外心（ ）
A．△AED
B．△ABD
C．△BCD
D．△ACD
10．如图，以正六边形ABCDEF的对角线CF为边，再作一个正六边形CFGHMN，若AB＝，则EG的长为（ ）
A．2
B．2
C．3
D．2
二．填空题
11．用正五边形钢板制作一个边框总长为40cm的五角星（如图），则正五边形的边长为
cm（保留根号）．
12．用两条宽均为2cm的纸条（假设纸条的长度足够长），折叠穿插，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正六边形ABCDEF，则折出的正六边形的边长为
cm．
13．同圆的内接正三边形、正四边形、正六边形的边长之比为
．
14．如图，在正九边形ABCDEFGHI中，若AB+AC＝3，则对角线AE＝
．
15．如图，有一个圆O和两个正六边形T1，T2，T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切（我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．若设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，则r：a＝
；r：b＝
．
三．解答题
16．如图，已知点O是正六边形ABCDEF的对称中心，G，H分别是AF，BC上的点，且AG＝BH．
（1）求∠FAB的度数；
（2）求证：OG＝OH．
17．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝120°，点E在弧AD上，连接OA、OD、OE、AE、DE．
（1）求∠AED的度数；
（2）当∠DOE＝90°时，AE恰好为⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．
18．如图，圆O的半径为r．
（1）在图①中，画出圆O的内接正△ABC，简要写出画法；求出这个正三角形的周长．
（2）在图②中，画出圆O的内接矩形ABCD，简要写出画法；若设AB＝x，则矩形的周长为
．
（3）如图③，六边形ABCDEF内接于半径为r（常数）的⊙O，其中AD为直径，且AB＝CD＝DE＝FA．设AB＝x，求六边形ABCDEF的周长L关于x的函数关系式，并探究L是否有最大值，若有，请指出x为何值时，L取得最大值；若没有，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：如图，连接OA、OB，作OG⊥AB于点G，
∵⊙O的周长等于4πcm，
∴⊙O的半径为：＝2，
∵ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴OA＝OB＝AB＝2，
∵OG⊥AB，
∴AG＝BG＝AB＝1，
∴OG＝，
∴S△AOB＝AB?OG
＝2×
＝．
∴它的内接正六边形ABCDEF的面积是6S△AOB＝6（cm2）．
故选：C．
2．解：如图所示：
∵五边形ABCDE为正五边形，
∴BC＝CD＝DE，∠BCD＝∠CDE＝108°，
∴∠CBD＝∠CDB＝∠CED＝∠DCE＝＝36°，
∴∠BFC＝∠BDC+∠DCE＝72°．
故选：C．
3．解：过O作OH⊥AB于H，
在正六边形ABCDEF中，∠AOB＝＝60°，
∵OA＝OB，
∴∠AOH＝30°，AH＝AB＝1，
∴OH＝AH＝，
故选：C．
4．解：连接OA、OB、OC，如图，
∵AB，AC分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，
∴∠AOC＝＝90°，∠AOB＝＝120°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝30°，
∴n＝＝12，
即BC恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．
故选：C．
5．解：连接ON，过O作OH⊥FM于H，
∵正六边形OABCDE，
∴∠FOG＝120°，
∵点M为劣弧FG的中点，
∴∠FOM＝60°，
∵OH⊥FM，OF＝OM，
∴∠OFH＝60°，∠OHF＝90°，FH＝FM＝2，
∴OH＝FH＝2，
故选：C．
6．解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠E＝∠A＝180°﹣＝108°．
∵AB、DE与⊙O相切，
∴∠OBA＝∠ODE＝90°，
∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，
故选：C．
7．解：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴∠AOB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝3，
∴扇形AOB的面积＝＝，
故选：B．
8．解：由题意得：正六边形的每个内角都等于120°，正方形的每个内角都等于90°，
故∠BAC＝360°﹣120°﹣90°＝150°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝＝15°．
故选：B．
9．解：从O点出发，确定点O分别到A，B，C，D，E的距离，只有OA＝OC＝OD，
∵三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，
∴点O是△ACD的外心，
故选：D．
10．解：延长DE交AG于T．
由题意FG＝2EF，∠EFC＝∠EFT＝60°，
∵∠DEF＝120°，
∴∠EFT＝60°，
∴∠EFT＝∠FET＝∠ETF＝60°，
∴EF＝FT＝ET，
∴TG＝TF＝ET，
∴∠FEG＝90°，
∵AB＝AF＝EF＝，
∴EG＝EF?tan60°＝3，
故选：C．
二．填空题
11．解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴五边形ABCDE为圆内接正五边形，
∴＝＝＝＝，
∴∠BAE＝＝108°，∠HAN＝∠AEH＝∠BAC＝∠DAE＝∠ABE＝∠BAE＝×108°＝36°，
∴∠EAH＝∠BAN＝36°+36°＝72°，
∴∠AHE＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∠ANB＝180°﹣72°﹣36°＝72°，
∴∠EAH＝∠EHA＝72°，∠ANH＝∠AHN＝72°，
∴AE＝HE，∠EAH＝∠EHA＝∠ANH＝∠AHN，
∴△AEH∽△AHN，
∴＝，
∵五角星的边框总长为40cm，
∴AH＝AN＝EN＝＝4，HN＝HE﹣NE＝AE﹣4，
∴＝，
整理得：（AE﹣2）2＝20，
∴AE＝2+2（cm），
故答案为：2+2．
12．解：如图所示：
作AM⊥CB于M，则AM＝2，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠ABC＝120°，
∴∠ABM＝180°﹣120°＝60°，
∵sin∠ABM＝，
∴AB＝＝＝；
故答案为：．
13．解：设圆的半径为r，
如图①，∠AOB＝×360°＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝30°，
过点O作OC⊥AB于点C，
则AB＝2AC，
∵AC＝OA?cos30°＝r，
∴AB＝r；
如图②，∠AOB＝×360°＝90°，
∵OA＝OB，
∴AB＝OA＝r；
如图③，∠AOB＝×360°＝60°，
∵OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB＝OA＝r；
∴同圆的内接正三边形、正四边形、正六边形的边长之比为：：：1．
故答案为：：：1．
14．解：∵正九边形内角和为（9﹣2）×180°＝1260°，
∴每个内角为140°，
又∵AB＝BC，∠B＝140°，
∴∠CAB＝（180°﹣140°）÷2＝20°，
连接AH，作HM，GN分别垂直AE于M，N．
∵∠CAE＝2∠CAB＝2×20°＝40°．
∴∠HAM＝140°﹣2×20°﹣40°＝60°，
∴∠AHM＝30°，
设AM＝EN＝x，MN＝y，
四边形HGNM是矩形，所以HG＝y，即正九边形边长为y，
在Rt△AHM中，∠AHM＝30°，
∴AC＝AH＝2AM＝2x，
∴AB+AC＝y+2x，
∵AE＝AM+MN+EN＝2x+y，
∴AE＝AB+AC＝3．
故答案为：3．
15．解：连接OE、OG，OF，
∵EF＝a，且正六边形T1，
∴△OEF为等边三角形，OE为圆的半径r，
∴a：r＝1：1；
由题意可知OG为∠FOE的平分线，即∠EOG＝∠EOF＝30°，
在Rt△OEG中，OE＝r，OG＝b，
∵＝＝cos∠EOG＝cos30°，即＝，
∵r：a＝1：1；r：b＝：2；
故答案为：r：a＝1：1；r：b＝：2；
三．解答题
16．（1）解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠FAB＝＝120°；
（2）证明：连接OA、OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵∠FAB＝∠CBA，
∴∠OAG＝∠OBH，
在△AOG和△BOH中，
，
∴△AOG≌△BOH（SAS）
∴OG＝OH．
17．解：（1）连接BD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠C＝180°，
∵∠C＝120°，
∴∠BAD＝60°，
∵AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝60°，
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴∠AED+∠ABD＝180°，
∴∠AED＝120°；
（2）连接OA，
∵∠ABD＝60°，
∴∠AOD＝2∠ABD＝120°，
∵∠DOE＝90°，
∴∠AOE＝∠AOD﹣∠DOE＝30°，
∴n＝＝12．
18．解：（1）首先把圆六等份，然后连接三个不相邻的顶点即可作出．
△ABC就是所求的三角形；
（2）在直角△ABD中，AD＝＝，
则BC＝AD＝，CD＝AB＝x．
则矩形的周长是：2x+2，
故答案是：2x+2；
（3）连接AC，
∵AD是直径，
∴∠ACD＝90°，
又∵CG⊥AD于点G．
∴CD2＝DG?AD，
∴DG＝＝，
∴BC＝EF＝AD﹣2DG＝2r﹣．
则L＝4x+4r﹣．
当x＝﹣＝r时，L取得最大值．最大值是：6r．
圆内接正多边形
同步习题
一．选择题
1．如图，⊙O的周长等于4πcm，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连结BD，CE相交于点F，则∠BFC的度数是（ ）
A．60°
B．70°
C．72°
D．90°
3．如图是半径为2的⊙O的内接正六边形ABCDEF，则圆心O到边AB的距离是（ ）
A．2
B．1
C．
D．
4．如图，AB，AC分别为⊙O的内接正三角形和内接正四边形的一边，若BC恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（ ）
A．8
B．10
C．12
D．15
5．如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA，OE分别交于点F，G，点M为劣弧FG的中点．若FM＝4．则点O到FM的距离是（ ）
A．4
B．
C．
D．
6．如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧BD所对的圆心角∠BOD的大小为（ ）
A．108°
B．118°
C．144°
D．120°
7．如图，边长为3的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则扇形OAB（图中阴影部分）的面积为（ ）
A．π
B．
C．3π
D．
8．边长相等的正方形与正六边形按如图方式拼接在一起，则∠ABC的度数为（ ）
A．10°
B．15°
C．20°
D．30°
9．10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A、B、C、D、E、O均是正六边形的顶点．则点O是下列哪个三角形的外心（ ）
A．△AED
B．△ABD
C．△BCD
D．△ACD
10．如图，以正六边形ABCDEF的对角线CF为边，再作一个正六边形CFGHMN，若AB＝，则EG的长为（ ）
A．2
B．2
C．3
D．2
二．填空题
11．用正五边形钢板制作一个边框总长为40cm的五角星（如图），则正五边形的边长为
cm（保留根号）．
12．用两条宽均为2cm的纸条（假设纸条的长度足够长），折叠穿插，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正六边形ABCDEF，则折出的正六边形的边长为
cm．
13．同圆的内接正三边形、正四边形、正六边形的边长之比为
．
14．如图，在正九边形ABCDEFGHI中，若AB+AC＝3，则对角线AE＝
．
15．如图，有一个圆O和两个正六边形T1，T2，T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切（我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．若设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，则r：a＝
；r：b＝
．
三．解答题
16．如图，已知点O是正六边形ABCDEF的对称中心，G，H分别是AF，BC上的点，且AG＝BH．
（1）求∠FAB的度数；
（2）求证：OG＝OH．
17．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝120°，点E在弧AD上，连接OA、OD、OE、AE、DE．
（1）求∠AED的度数；
（2）当∠DOE＝90°时，AE恰好为⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．
18．如图，圆O的半径为r．
（1）在图①中，画出圆O的内接正△ABC，简要写出画法；求出这个正三角形的周长．
（2）在图②中，画出圆O的内接矩形ABCD，简要写出画法；若设AB＝x，则矩形的周长为
．
（3）如图③，六边形ABCDEF内接于半径为r（常数）的⊙O，其中AD为直径，且AB＝CD＝DE＝FA．设AB＝x，求六边形ABCDEF的周长L关于x的函数关系式，并探究L是否有最大值，若有，请指出x为何值时，L取得最大值；若没有，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：如图，连接OA、OB，作OG⊥AB于点G，
∵⊙O的周长等于4πcm，
∴⊙O的半径为：＝2，
∵ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴OA＝OB＝AB＝2，
∵OG⊥AB，
∴AG＝BG＝AB＝1，
∴OG＝，
∴S△AOB＝AB?OG
＝2×
＝．
∴它的内接正六边形ABCDEF的面积是6S△AOB＝6（cm2）．
故选：C．
2．解：如图所示：
∵五边形ABCDE为正五边形，
∴BC＝CD＝DE，∠BCD＝∠CDE＝108°，
∴∠CBD＝∠CDB＝∠CED＝∠DCE＝＝36°，
∴∠BFC＝∠BDC+∠DCE＝72°．
故选：C．
3．解：过O作OH⊥AB于H，
在正六边形ABCDEF中，∠AOB＝＝60°，
∵OA＝OB，
∴∠AOH＝30°，AH＝AB＝1，
∴OH＝AH＝，
故选：C．
4．解：连接OA、OB、OC，如图，
∵AB，AC分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，
∴∠AOC＝＝90°，∠AOB＝＝120°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝30°，
∴n＝＝12，
即BC恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．
故选：C．
5．解：连接ON，过O作OH⊥FM于H，
∵正六边形OABCDE，
∴∠FOG＝120°，
∵点M为劣弧FG的中点，
∴∠FOM＝60°，
∵OH⊥FM，OF＝OM，
∴∠OFH＝60°，∠OHF＝90°，FH＝FM＝2，
∴OH＝FH＝2，
故选：C．
6．解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠E＝∠A＝180°﹣＝108°．
∵AB、DE与⊙O相切，
∴∠OBA＝∠ODE＝90°，
∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，
故选：C．
7．解：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴∠AOB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝3，
∴扇形AOB的面积＝＝，
故选：B．
8．解：由题意得：正六边形的每个内角都等于120°，正方形的每个内角都等于90°，
故∠BAC＝360°﹣120°﹣90°＝150°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝＝15°．
故选：B．
9．解：从O点出发，确定点O分别到A，B，C，D，E的距离，只有OA＝OC＝OD，
∵三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，
∴点O是△ACD的外心，
故选：D．
10．解：延长DE交AG于T．
由题意FG＝2EF，∠EFC＝∠EFT＝60°，
∵∠DEF＝120°，
∴∠EFT＝60°，
∴∠EFT＝∠FET＝∠ETF＝60°，
∴EF＝FT＝ET，
∴TG＝TF＝ET，
∴∠FEG＝90°，
∵AB＝AF＝EF＝，
∴EG＝EF?tan60°＝3，
故选：C．
二．填空题
11．解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴五边形ABCDE为圆内接正五边形，
∴＝＝＝＝，
∴∠BAE＝＝108°，∠HAN＝∠AEH＝∠BAC＝∠DAE＝∠ABE＝∠BAE＝×108°＝36°，
∴∠EAH＝∠BAN＝36°+36°＝72°，
∴∠AHE＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∠ANB＝180°﹣72°﹣36°＝72°，
∴∠EAH＝∠EHA＝72°，∠ANH＝∠AHN＝72°，
∴AE＝HE，∠EAH＝∠EHA＝∠ANH＝∠AHN，
∴△AEH∽△AHN，
∴＝，
∵五角星的边框总长为40cm，
∴AH＝AN＝EN＝＝4，HN＝HE﹣NE＝AE﹣4，
∴＝，
整理得：（AE﹣2）2＝20，
∴AE＝2+2（cm），
故答案为：2+2．
12．解：如图所示：
作AM⊥CB于M，则AM＝2，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠ABC＝120°，
∴∠ABM＝180°﹣120°＝60°，
∵sin∠ABM＝，
∴AB＝＝＝；
故答案为：．
13．解：设圆的半径为r，
如图①，∠AOB＝×360°＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝30°，
过点O作OC⊥AB于点C，
则AB＝2AC，
∵AC＝OA?cos30°＝r，
∴AB＝r；
如图②，∠AOB＝×360°＝90°，
∵OA＝OB，
∴AB＝OA＝r；
如图③，∠AOB＝×360°＝60°，
∵OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB＝OA＝r；
∴同圆的内接正三边形、正四边形、正六边形的边长之比为：：：1．
故答案为：：：1．
14．解：∵正九边形内角和为（9﹣2）×180°＝1260°，
∴每个内角为140°，
又∵AB＝BC，∠B＝140°，
∴∠CAB＝（180°﹣140°）÷2＝20°，
连接AH，作HM，GN分别垂直AE于M，N．
∵∠CAE＝2∠CAB＝2×20°＝40°．
∴∠HAM＝140°﹣2×20°﹣40°＝60°，
∴∠AHM＝30°，
设AM＝EN＝x，MN＝y，
四边形HGNM是矩形，所以HG＝y，即正九边形边长为y，
在Rt△AHM中，∠AHM＝30°，
∴AC＝AH＝2AM＝2x，
∴AB+AC＝y+2x，
∵AE＝AM+MN+EN＝2x+y，
∴AE＝AB+AC＝3．
故答案为：3．
15．解：连接OE、OG，OF，
∵EF＝a，且正六边形T1，
∴△OEF为等边三角形，OE为圆的半径r，
∴a：r＝1：1；
由题意可知OG为∠FOE的平分线，即∠EOG＝∠EOF＝30°，
在Rt△OEG中，OE＝r，OG＝b，
∵＝＝cos∠EOG＝cos30°，即＝，
∵r：a＝1：1；r：b＝：2；
故答案为：r：a＝1：1；r：b＝：2；
三．解答题
16．（1）解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠FAB＝＝120°；
（2）证明：连接OA、OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵∠FAB＝∠CBA，
∴∠OAG＝∠OBH，
在△AOG和△BOH中，
，
∴△AOG≌△BOH（SAS）
∴OG＝OH．
17．解：（1）连接BD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠C＝180°，
∵∠C＝120°，
∴∠BAD＝60°，
∵AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝60°，
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴∠AED+∠ABD＝180°，
∴∠AED＝120°；
（2）连接OA，
∵∠ABD＝60°，
∴∠AOD＝2∠ABD＝120°，
∵∠DOE＝90°，
∴∠AOE＝∠AOD﹣∠DOE＝30°，
∴n＝＝12．
18．解：（1）首先把圆六等份，然后连接三个不相邻的顶点即可作出．
△ABC就是所求的三角形；
（2）在直角△ABD中，AD＝＝，
则BC＝AD＝，CD＝AB＝x．
则矩形的周长是：2x+2，
故答案是：2x+2；
（3）连接AC，
∵AD是直径，
∴∠ACD＝90°，
又∵CG⊥AD于点G．
∴CD2＝DG?AD，
∴DG＝＝，
∴BC＝EF＝AD﹣2DG＝2r﹣．
则L＝4x+4r﹣．
当x＝﹣＝r时，L取得最大值．最大值是：6r．