实际问题与方程
相遇问题
执教者：
教学内容
五年数学P79例5、书P82
第11、12题
教学目标
能根据相遇问题中的等量关系列方程并解答，感受解题方法的多样化。
结合具体事例，学生自主尝试列方程解决稍复杂的相遇问题。
体验用方程解决问题的优越性，获得自主解决问题的积极情感，增强学好数学的信心。
教学重、难点
正确寻找数量间的等量关系式。
利用画线段图的方法帮助学生分析理解等量关系。
教学过程
创设情境
复习旧知（课件显示）
师：同学们，我们以前学过行程问题，你都知道了什么？
生自由发挥：速度×时间=路程等公式
师：同学们知道的真多，之前我们研究的都是同一个物体的运动，大家请看，这辆车以一个速度朝一个方向行驶，过了多少分、多少秒等，指的就是行驶的时间，行驶的这段距离，就是路程。
（创设目的，意在于复习时间、速度、路程三者的关系）
理解概念（课件显示）
师：在生活中，还有很多两个物体的运动，请看大屏幕。
师：他们的运动方向怎样？
生自由发言：面对面、不同方向等
师：他们面对面行驶也就是相向而行，现在两人之间的距离就是相距路程，我们先来观察他们怎么运动。
师：出发时，他们是不是同一个时间出发？
生：是同一时间出发
师：对的，他们同时出发，走到这时，两人怎样了？
生：相遇了
师：是的，走到这里，他们相遇了。今天我们就是要研究行程问题中的相遇问题（板书课题）。
互动新授
1、尝试探索，出示例题
师：现在请大家先细读例题，说说你从题目中获得了什么数学信息？
生1：小林的速度250米/分，小云的速度200米/分，路程4.5千米，9：00出发，相向而行，何时相遇？
生2：单位名称先统一，4.5千米=4500米（板书）
（板书：甲速
乙速
路程）
师：同学们，求何时相遇是什么意思？
引导生明白：从9：00出发，经过多少分钟后相遇。经过的这段时间，就是指两人共同行驶全程用的时间，也就是相遇时间。（板书：相遇时间）
师：现在我们请小林和小云帮我们演示下相遇的过程吧。
师：小林和小云相遇的过程，我们可以画成线段图来帮助理解题意。
讲授画线段图的步骤和注意事项。
师：现在请大家跟老师一起来完成画线段图的过程吧。
板书演示过程
师：小林家和小云家相距4.5千米，怎样表示呢？
生：用一条线段表示全程
师：小林和小云从家骑车相向而行，又要怎样表示呢？
生：线段一端表示小林家，另一端表示小云家，两人朝相反方向行驶。
师：我们用一个箭头表示他们行驶的方向。如何表示两人的速度呢？
生：在箭头上标出速度。
师：求何时相遇怎样表示？
引导生：找一个相遇点，偏向小云一方，用一面小旗表示相遇点，标上多少分钟后相遇。
师：从线段图中我们不难看出，小林和小云同时出发，同时相遇停止行驶，他们行驶的时间一样吗？为什么？
引导生明白：他们同时出发，同时在相遇点停止行驶，所以行驶经过的时间是一样的，可以设他们从
9：00出发后，经过x分钟后两人相遇。
3、根据线段图，分析数量关系，尝试列方程解答问题。
师：根据线段图，大家能找到什么等量关系呢？小声地跟你的同桌交流下吧。
（生交流汇报）
生：小林骑的路程+小云骑的路程=总路程
师：小林骑的路程怎样算？
生：小林的速度×相遇时间，就是250X
师：小云行驶的路程怎样算？
生：小云的速度×相遇时间，就是200X
师：好，现在把你完整的思路列成方程写在练习本上，并跟你的同桌交流。
根据生汇报，师板书
4.5千米=4500米
解：设两人x分钟后相遇。
方法一：小林骑车的路程+小云骑车的路程=总路程
250x＋200x=4500
450x=4500
450x÷450=4500÷450
X=10
9时+10分=9时10分
答：两人9：10相遇。
师：同学们再想想，还有其他的等量关系吗？
生尝试找等量关系
师：我们可以从线段图更直观地去理解，请看大屏幕。
师：小林和小云相向而行，经过一分钟后，小林走了250米，小云走了200米，一分钟的时间，小林和小云一共走了多少米？
生：（250+200）米。
师：再过一分钟呢？
生：也是走了（250+200）米
师：第二分钟，他们又走了（250+200）米，再过一分钟呢？
生：还是走（250+200）米
师：也就是说，时间每过一分钟，他们就一共走多少米？
生：450米。
师：我们可以设相遇时，小林和小云从出发到相遇各走了X分钟，他们共同经过了多少分钟呢？
生自由发言。
师追问：我们这节课，孩子们你们每人花多少时间来学习呢？
生：40分钟。
师：那我们是共同经过多少分钟呢？
生：40分钟
师：同样的道理，小林和小云从出发到相遇，都行驶了X分钟，他们也共同经过了X分钟。现在你们能找到其他的等量关系列出方程了吗？快跟你的同桌说说。
生讨论汇报，根据汇报板书
方法二：（小林的速度+小云的速度）×相遇时间=总路程
（250＋200）x=4500
450x=4500
450x÷450=4500÷450
X=10
9时+10分=9时10分
答：两人9：10相遇。
师：别忘了检验哦，谁来试一试？
检验一：250×10＋200×10=4500（米）
检验二：（250＋200）×10=4500（米）
师：同学们，观察比较这两道方程，你发现了什么？
引导学生对这两种方法进行比较，通过比较可以知道这两种方法是运用了乘法分配律。
引导小结结论。
师：经过学习，我们来说说在相遇问题中有哪些等量关系？借小林和小云的例子来分析。
板书：甲速×相遇时间＋乙速×相遇时间=路程
（甲速+乙速）×相遇时间=路程
师：同学们，在解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路，发现结论，现在我们就用这节课发现结论来解决实际问题吧。你敢接受挑战吗？
巩固拓展
1、根据题意，正确选择
（1）两列火车从相距570千米的两地同时相向开出，甲车每小时行110千米，乙车每小时行80千米，设经过X个小时两车相遇。正确的等量关系为（
）
A、甲车的路程+乙车的路程=总路程
B、（甲车的路程+乙车的路程）×相遇时间=总路程
C、
甲车的速度+乙车的速度=总路程
D、（甲车的速度+乙车的速度）×相遇时间=总路程
（2）A、B两地相距455
km，两车同时从两地相对开出，3.5小时后两车正好相遇。已知甲车每小时行68
km，乙车每小时行X千米。列方程为（
）
A、（68+X）×3.5=455
B、68×3.5+X=455
C、68×3.5+68X=455
D、68×3.5+3.5X=455
（3）
列方程为（
）
A、48×2.5＋48X=255
B、48×2.5+2.5X=255
C、(48+X)×2.5=255
D、（48+2.5）×X=255
2、解决问题
办公桌每张270元，椅子每把180元，王叔叔用4500元正好买几套办公桌椅？
课堂小结
师：这节课你学会了什么知识？有哪些收获？
总结：1、通过画线段图可以清楚地分析数量之间的相等关系。
2、解决相遇问题要用数量关系：甲速×相遇时间+乙速×相遇时间=路程；
（甲速+乙速）×相遇时间=路程
布置作业：
书P82
第12、13题
板书
实际问题与方程
相遇问题
甲速×相遇时间＋乙速×相遇时间=路程
（甲速+乙速）×相遇时间=路程
4.5千米=4500米
解：设两人x分钟后相遇。
方法一：小林骑车的路程+小云骑车的路程=总路程
方法二：（小林的速度+小云的速度）×相遇时间=总路程
250x＋200x=4500
（250＋200）x=4500
450x=4500
450x=4500
450x÷450=4500÷450
450x÷450=4500÷450
X=10
X=10
9时+10分=9时10分
9时+10分=9时10分
答：两人9：10相遇。
X千米/时
48千米/时
255千米
经过2.5小时两船相遇
A船
B船
200米/分
250米/分
小林
小云
4500米
相遇点《列方程解决问题例5》
教学内容：上海市九年义务教育课本数学五年级第二学期P25
教学目标：
1、在独立思考和小组探究的过程中，会分析简单实际问题的数量关系，提高用方程解决简单实际问题的能力，培养用方程解决问题的意识。掌握运动中的物体，速度、时间、路程之间的数量关系，会根据此数量关系解答相向运动中求相遇时间,速度,全程的实际问题。
2、经历解决问题的过程，建立方程思想，建模的数学思想，体验数学与日常生活密切相关，提高收集信息、处理信息的能力。
3、通过阐明数学在日常生活的广泛应用，激发学习数学的兴趣。
教学重点：
在分析题意的基础上寻找等量关系,列方程解决两、三步计算的简单实际问题。
教学难点：
从不同角度寻找等量关系，探究解题思路。
教学过程：
1、
复习引新
（1）
复习旧知：
出示：小胖的家到少年宫距离1200米，如果他平均每分钟走80米，几分钟能从家走到少年宫？
师：
要我们求的是什么？想哪个数量关系？怎么列式？（路程÷速度=时间1200÷80=15）
如果用方程来解呢？设什么未知量？想哪个等量关系？
1、
（解：设X分钟能从家走到少年宫。
80X=1200
）
2、
小结：以前所学的都是一个物体运动的数学问题，
今天研究两个物体的运动情况。
（2）
基本运动情况演示及说明
1、
引导学生说出异地出发，同地出发
2、
小结：今天用列方程解决问题的思想方法研究异地出发，相向而行的情。
（3）
示题：列方程解决问题（例5）
2、
探究新知：
（1）
理解题意
1、
提问：哪些信息你认为非常重要，哪些不清楚？
同时出发，相向而行，途中相遇什么意思？
2、
学生演示并追问，直观理解“同时出发，相向而行，途中相遇”等相遇问题的特点。
3、
师：2位学生上台演示，其余学生思考：从出发到相遇，什么是相同的？
请学生上台摆放线段图。
（2）
找等量关系
（3）
设未知量
（4）
列方程解方程
100x+80x=270
1、100x，80x，270分别表示什么？
2、小结
（5）
检验写答
（六）提问：其他方法
（100+80）x=
270
100+80表示什么？
（七）小结
三、实践巩固
（一）基本练习
1、模仿练习（简单反馈）书P25，只列方程不解答。
2、把例题改成求速度（学生独立尝试后引导）
（1）发现方程的优势：求得未知量不同但是等量关系不变
师：已知条件是什么？1.5小时相遇表示什么？（两车都行了1.5小时）
未知条件是什么？（出示设句）
能不能找到等量关系列出方程呢？[100×1.5+1.5X=270
1.5(100+X)
=270
]
小结：这题是不是跟例题同一类型的？都是从两地同时出发，相向而行，到中途相遇。只是未知量不同而已。这种类型的题目，我们可以把它们分别行的路程合起来，就是全程。或者用速度和×相遇时间=全程
3、把例题改称求全程：一辆轿车和一辆客车分别从沪宁高速公路的两端，上海和南京两地同时出发，相向而行，轿车平均每小时行100千米，客车每小时行80千米，1.5小时后两车相遇，求沪宁高速公路全长多少千米？
师：已知条件是什么？未知条件是什么？
如果分别用这2个等量关系的话，还需要方程吗？怎样列式计算？
100×1.5+80×1.5
1.5×
（100+80）
4、
类似等量关系在生活中的运用
刚才的题目都是关于行程问题的，那么在其他方面是不是也有类似的题目呢？
出示：甲、乙两工程队铺一条长1400m的公路，他们从两端同时施工，10天正好铺完。已知甲队每天铺80m，乙每天铺多少米公路？
（1）
什么叫“两端同时施工”？
这题是不是也类似刚才的行程问题？怎样列方程呢？（互相说一说）
（2）追问1：如果方程是（60+80）x=1400题目可以怎么改？
（3）追问2：如果方向改称反向而行你还会吗？
（二）拓展练习
1、能否相遇
2、环形（机动））
四、总结:有什么收获？列方程解决问题——相遇问题
教学目标：
知识与技能：能根据题意画出线段图。
能借助线段图分析实际问题中的等量关系。
过程与方法：能借助线段图分析实际问题中的等量关系，提高用方程、
算术法解决实际问题的能力。
情感态度与价值观：经历解决问题的过程，体验数学与日常生活密切相
关，提高收集信息、处理信息的能力。
教学重点：
掌握列方程解决问题的思考方法和特点。
教学难点：
在实际情境中体会方程解决问题和用算术法解决问题的不同思路，培养数学的应用意识。
教学过程：
1、
复习：
师：最近我们在学习列方程解决问题，列方程解决问题最关键的是什么？（找等量关系式）
那你能根据线段图列出方程吗？
1、反馈方程
2、依据的等量关系是什么？
3、看来这些都是（行程问题）那么，解决行程问题时需要要关注什么？
小结：关注出发地点、出发时刻、方向、结果。
2、
创设情境，解决问题：
师：今天我们继续来学习列方程解决问题
出示：上海到宁波的高速公路全长296千米，一辆轿车和一辆客车分别从上海和宁波两地出发相向而行。轿车平均每小时108千米，客车平均每小时行92千米。
1、师：默读题目，找出关键词，思考是什么问题？
小结：两辆车相向而行，是相遇问题。
2、讨论：那么这两辆车可能会怎么行驶呢，最后的结果又会是怎样的呢？
生交流，小结：a、同时出发，最后相遇了。
b、先后出发，最后相遇了。
c、同时出发，最后没有相遇。
……
3、师过渡：这节课就让我们一起来解决你们设想的这些相遇问题。
（一）复习基本的相遇问题：
出示：两车同时出发，经过几小时在途中相遇？
口设，思考等量关系式，列出方程。
小结：这是我们已经学过的相遇问题。
（二）行驶时间有先后的相遇问题
出示例题：轿车先行56千米后，客车再出发。客车经过几小时与轿车在途中相遇？
1、
默读题目，圈出关键词，思考：与前一题比较：什么变了？什么没变？
2、
生手势演示行进过程。
3、
反馈并思考线段图该怎么画？
4、
生独立尝试画
5、
反馈并解释图意。
6、
观察线段图，你们能找到等量关系列方程解决问题吗？（口头设句）
7、
反馈方程，并说等量关系式。
轿车先行的路程+轿车后行的路程+客车行的路程=总路程
56+108x+92x=296
还有别的方程吗？（说说等量关系）
108x+92x=296—56
56+（108+92）x=296
师：看来同一个问题思考角度可以不同，但都是依据对应的等量关系。
8、那么如果用算术法怎么解决？
（296—56）÷（108+92）
怎么想的？
你觉得哪种方法更容易？
（三）同时出发，没有相遇的相遇问题
出示：两辆车同时出发，经过几小时客车与轿车还相距56千米？
1、
默读题目，圈出关键词，并思考行进过程。
2、
手势表示过程。
3、
画线段图，思考等量关系。
4、
反馈。
5、
口头设句并列方程。（多种方程）
三、总结：
1、今天我们一起解决了各种相遇问题，那么现在你觉得这些相遇问题有什么相同、有什么不同？
生交流
小结：所以相遇问题要关注问题中的出发地点、时刻、结果、方向。
2、那么我们今天解决相遇问题时，和之前有什么不同了？（两段路程变成三段路程）真的不同了吗？
生讨论
小结：其实解决思路是一样的，仍是甲路程+乙路程=总路程，各部分路程之和等于总路程
四、练习：
1、说等量关系再列方程
2、选择题
3、机动题：师父和徒弟要合作完成1750个零件，两人同时开始做，师父平均每分钟完成125个，徒弟平均每分钟完成75个，几分钟后超出完成零件250个？
五、总结：
这节课我们进一步学习了相遇问题，关于相遇问题，你有什么想和大家分享的吗？
