24．8综合与实践——进球线路与最佳射门角
一、教学目标：
1、了解足球运动中射门点，射门角以及最佳射门角的概念；
2、了解足球运动员在跑动线路变化时，射门角的大小变化，探究三种常见线路下，最佳射门点的位置；
3、通过探究学习，促进学生相互交流，最大限度获得用圆中的知识解决相关实际问题的能力，以及体验用运动的观点来研究图形的思想方法。
二、教学分析：
1、内容分析：本节是在学生掌握圆的基本性质，以及圆与点，直线，三角形，正多边形的位置关系的基础上，进一步探讨圆与角的位置关系，本节先从实例出发，探究足球运动中进球线路与最佳射门角的问题。从三种情形下建立认识，最佳射门角是从直线与圆相切时，进行探究的，从而将实际问题转化成直线与圆相切的位置问题。教学中注重学生参与探究的过程，指导学生一步一步直线与圆相切的现实意义，体验用运动的观点来研究图形的思想方法。
2、教学重点：
（1）、最佳射门角的概念理解；
（2）、探求常见的三种线路下最佳射门点的位置。
3、教学难点：
三种线路下最佳射门点位置确定与理解。
三、教学设计：
1、情境引入：
2、新知讲解：
(1)、射门点与射门角的概念
(
A
B
C
球门
射门点
射门角
)
射门点：足球运动员在球场上，常需要带球跑到一定位置后，在进行射门，这个位置就叫射门点；
射门角：射门点与球门边框两端点的夹角（不考虑球门的高度），就叫射门角，如图∠ACB就是射门角。
（2）、探究最佳射门点的位置：
如图：运动员带球跑动的三种常见路线
(
A
B
C
球门
射门点
射门角
斜向跑
)
(
A
B
C
球门
射门点
射门角
)
(
A
B
C
球门
射门点
射门角
)
(一)、下面对运动员横向跑的情况进行探究：
横向跑时的最佳射门点确定
现在，如图1，我们来证明点C在直线l上移动时，∠ACB是最大角（最佳射门角），参见课本63页的证明过程。
推论1、最佳射门角的大小与直线m到直线AB的距离有关，当直线m与AB的距离越近，最佳射门角就越大，射门进球的可能性也就越大。
推论2、如果圆过点A,B,而直线AB同侧的三点D、C、E，分别在圆外、圆上、圆内，则有：圆外角＜圆上角＜圆内角
（二）、再对直向跑动时，如,2，球门AB与直线m垂直，点C是运动员的位置
推论3、当直线与过A、B的圆相切时，切点是最佳射门点。
如图3，当运动员跑动路线垂直穿过球门AB时，分析最佳射门点的位置
此时，∠ACB越来越大，直线上没有最佳射门点。
（三）、最后对运动员斜向跑动时，同学们可以进行类似的研究。
3、课堂总结：
（1）、射门点，射门角，最佳射门角的概念；
（2）、三种跑动路线下，最佳射门点的位置的确定。
4、布置作业：
完成课本上问题1（2）的证明，以及（3）的求解过程。
四、教学反思：24.8综合与实践
进球线路与最佳射门角
教学目标：
了解足球运动场上跑动线路中射门角的变化，掌握最佳射门角与圆的关系
综合应用已学知识解决简单的实际问题，增强应用知识，提高实践能力
体验数学知识与日常生活之间的密切联系，感受数学来源于生活也反作用于生活
教学重点：最佳射门角的探究
教学难点：如何用圆的综合知识解决最佳射门角相关问题
教学准备：直尺、圆规、几何画板、多媒体投影
教学过程：
一、创设情境，激趣引入
师：同学们平时会看足球吗？足球中的射门与本章的圆相关。
请同学上黑板画出经过足球框点A、点B、和足球点C的圆。
（复习经过不在同一直线的三点作圆）
射门点和射门角有什么关系呢？怎样控制射门角可以让命中率更高呢？本节课我们来研究最佳射门角。
二、综合实践，探究新知
（一）射门点与射门角
如图，将足球带到点C时，若在这个位置进行射门，点C叫做射门点；射门点与球门边框两端点的夹角叫射门角，如图∠ACB
在足球运动场上，了解跑动线路中射门角的变化把握射门角的变化，把握最佳射门点，有助于提高运动员进球成功的机率。（二）分类讨论
通常情况下有三种运动线路：
横向跑动时最佳射门点的情况
在运动的过程中，经过点A、点B的圆与与直线l相切
于点C′,则经过点A、B、C′有圆O，足球点C在运动
的过程中，始终有△ACD的外角∠ADB>∠ACB，当点运动到线段AB的
垂直平分线的交点C′时，∠A
C′B是最大角，这时点
C′称直线ｌ上的最佳射门点，∠A
C′B叫最佳射门角。
证明：∵∠ADB是△ACD的外角
∴∠ADB>∠ACB
∵运动过程中始终有∠ADB=∠A
C′B（同圆或等圆中，同弧所对圆周角相等）
即∠A
C′B>∠ACB.
∴当点C运动到直线l上离球门中心最近的位置，即线段AB的垂直平分线与直线ｌ的交点时，∠A
C′B最大。
师：（1）这时直线l与经过A、B、C′三点的圆有什么位置关系？
（2）你能发现∠ACB、∠A
C′B、∠AOB大小有什么关系？
（3）足球运动员延着球框横向跑动时，如何能达到最佳射角？
推论
1
C
点成为直线上的最佳射门点，
∠ACB
成为直线上的最佳射门角
推论
2
直线
AB
上，圆外角＜圆上角＜圆内角
2、直向跑动时最佳射门点的情况
如图当直向跑动时，经过球框点A、B、及足球C
作圆O，直线l与圆O有哪些位置关系？
最佳射门点及最佳射门角又在哪里？请小组讨论。
这里∠ACE、∠AEB、∠A
C′B又有什么数量关系？
斜向跑动时最佳射门点的情况
如图当运动员斜向跑动时，经过球框点A、B、及足球C作圆O，直线l与圆O有哪些位置关系？
最佳射门点及最佳射门角又在哪里？请小组讨论。
这里∠ACB、∠ADB、∠A
C′B又有什么数量关系？
来源生活，学以致用
当运动员直向跑动时，球门AB与直线l垂直，点C是运动员的位置。已知AB=m，BD=n，当点C是直线ｌ上的最佳射门点时，求CD的长。
解：过点O作OE⊥BC，垂足为E。
∵⊙O与直线ｌ相切于点C
∴∠OCD＝∠BCD＋∠OCE＝900
∵∠COE+∠OCE=900
∴∠BCD=∠COE
∵∠COE=∠BOC
∠BAC=∠BOC
∴∠COE=∠BAC
∴∠BCD=∠BAC（弦切角定理的证明）
∵∠BDC=∠CDA=900
∴△BCD∽△CAD
∴
即
CD2=n(m+n)
∴CD=
四、生活应用，归纳小结
1、通过本课的学习，你知道在足球场上如何找到最佳射门点吗？
2、在足球的射门过程中，射门角是如何变化的？
3、圆的知识与三角形的综合应用是本节课的难点，要想突破需要在生活中多体验。24.8综合与实践
教学设计
进球线路与最佳射门角
一、教学背景
（一）教材分析
本节课的内容为进球线路与最佳射门角，选自沪科版九年级数学下册第二十四章《圆》第八节的内容，要求学生能理解进球线路和最佳射门角存在关系，结合圆及相关知识，找到最佳射门角。本节内容是本章知识的升华和提高，是数学知识与现实生活的紧密联系。
（二）学情分析
学生已经学习了圆的知识，对圆周角、圆内角、圆外角的比较已经掌握，并有一定的生活经验。但本节内容比较抽象，将结合几何画板进行讲解分析，提高直观性。
二、教学目标
让学生理解能利用圆的知识分析进球路线与射门角度关系，通过观察分类、观察、思考进球路线与射门角度存在关系。通过不同进球路线的分析，结合圆周角的知识找到最佳射门角。让学生感受数学对现实生活的意义，体会分类讨论思想。培养学生积极参与和勇于探索的精神。
三、教学重点与难点
教学重点：理解进球路线和射门角关系。
教学难点：利用圆及相关知识找到最佳射门角。
四、教学方法分析及学习方法指导
多媒体教学，利用几何画板辅助理解，让学生通过观察、思考、讨论、交流结合圆的知识，找出最佳进球角。
五、教学过程
（一）导入新课
足球场上的顺口溜：冲向球门跑，越近就越好；
歪着球门跑，射点要选好！
足球运动已成为一种世界性的运动，也是我们大家喜欢欣赏的一种体育活动。在比赛的过程中，运动员在对方球门前不同的位置起脚射门对球门的威胁是不相同的。
设计意图：从生活中的实际问题入手，使学生认识到数学总是与现实问题密不可分，同时激发学生的学习热情。
（二）新授内容
1.足球场上，常需带球跑动到一定位置后，再进行射门，这个位置为射门点，射门点与球门边框两端点的夹角就是射门角；
如果用点A、B表示球门边框（不考虑球门的高度）的两端点，点C表示射门点，连接AC，BC，则∠ACB就是射门角.
在不考虑其他因素的情况下，一般说来，射门角越大，射门进球的可能性就越大。
2.运动员带球跑动的三种常见线路（用直线l表示）
设计意图：让实际问题转化为数学知识，让学生感受分类的数学思想。
思考：横向跑动时，射门角度是怎么变化呢？
直线l与球门AB平行，点C表示运动员的位置，当点C在直线上由左边（或右边）逐渐向球门的中心靠近时，∠ACB逐渐增大。
根据对称性可知，当点C在直线l上移动到离球门中心最近位置，即线段AB的垂直平分线与直线l的交点C0时，∠AC0B最大。
思考：当直线l向上平移到直线l′时，射门角度又是怎么变化呢？
C0
→
C2，∠AC0B
→
∠AC2B，且∠AC2B﹥∠AC0B.
由此可见，当运动员沿直线l横向跑动时，他的位置离球门的中心越近，射门角度越大，离球门的中心最近（点C0）时，射门角最大，我们把点C0称为直线l上的最佳射门点，
∠AC0B
称为直线l上的最佳射门角.
最佳射门角的大小和直线l与AB的距离有关，由图可知，当直线l与AB的距离越近，最佳射门角越大，射门进球的可能就越大，这与我们的踢足球的经验相吻合.
通过上面的知识，我们可以得到这样的结论：
如果⊙O过点AB，而直线AB的同侧的三点C1、C0、C2，分别在⊙O外，⊙O上和⊙O内，则有：
∠AC1B﹤∠AC0B﹤∠AC2B
简单的说：在弦的同侧，同弦所对的圆外角α、圆周角β和圆内角θ的大小关系为：α
﹤
β
﹤
θ
设计意图：结合圆的知识，利用过三点作圆，对圆内角、圆周角、圆外角的大小比较，让实际问题转化为数学知识，让学生理解横向跑动时，射门角度增加，向前跑动时，射门角度最大
。
※当运动员直向跑动时，球门AB与直线l垂直，点C是运动员的位置。
（1）作出过A、B、C三点的圆，猜想当点C在直线l上移动时，直线l与该圆的位置关系；
（2）当直线l与该圆有怎样的位置关系时，∠ACB是直线l上的最佳射门角；
（3）已知AB=m，BD=n，当点C在直线l上的最佳射门点时，求CD的长；
（4）向左平移直线l到直线l′，观察直线l上的最佳射门角与直线l上的最佳射门角之间的大小关系，写出你的结论.
设计意图：结合圆的知识，利用过三点作圆，让实际问题转化为数学知识，当圆与直线l相切时，射门角度最大，并利用相似知识进行计算。让学生理解直向跑动时，何时射门角最大
。以及直线l靠近球门时，最佳射门角度变大。
（三）能力提升
当运动员直向跑动时，直线l垂直穿过球门AB，点C时运动员的位置.
（1）∠ACB的大小是怎么变化的？
（2）直线l上还有没有最佳射门点？说明你的理由.
设计意图：让学生自己主动思考，并结合几何图形理解直线l垂直穿过球门AB时，射门角度增加。
（四）课时小结：
对自己说，你有什么收获？
对同学说，你有什么提示？
对老师说，你还有什么困惑？
设计意图：小结宗旨在于让学生反思自己的学习过程，总结归纳，提高学生的数学素养。
（五）作业
1.对运动员斜向跑动时进行相关探究，或自选一个问题进行探究.
2.与同学合作，将探究的结果写成小论文，并检验你得到的结论是否与足球运动的实际相符合.
设计意图：布置作业的目的在于让学生巩固自己所学的知识,能对新知进行灵活运用。让数学知识与实际想联系，激发学生学习兴趣。
六、板书设计
七、教案反思
