北师大版八年级上册第七章 平行线的证明学案（表格式）

平行线的证明
学生姓名
年级
学科
授课教师
上课时间
年
月
日
第（
）次课
共（
）次课
课时：
3
课时
教学课题
平行线
教学目标
1、理解平行线的概念；掌握多边形的内角和公式以及多边形外角和公式。
2、掌握平行线的公理及其推论；理解内角和定理的推导。
3、能熟练掌握平行线的应用。
教学重点与难点
重点：理解平行线的概念；掌握多边形的内角和公式以及多边形外角和公式。
难点：掌握平行线的公理及其推论；理解内角和定理的推导。
知识点一、定义与命题
1、命题含义（情景引入）
活动内容：
如果B处水流受到污染，那么____处水流便受到污染;
如果C处水流受到污染，那么____处水流便受到污染；
如果D处水流受到污染，那么____处水流便受到污染；
如果____处水流受到污染，那么____处水流便受到污染．
在假设的前提条件下，对某一处受到污染作出了判断，像这样，对事情作出判断的句子，就叫做命题.
命题的定义：命题是判断一件事情的句子.
如：熊猫没有翅膀.对顶角相等.
举例
两直线平行，内错角相等.
无论n为任意的自然数，式子n2－n+11的值都是质数.
内错角相等.
任意一个三角形都有一个直角.
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
全等三角形的对应角相等.
……
注意：
你喜欢数学吗？
作线段AB=a.
平行用符号“∥”表示.
这些句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它们就不是命题.
一般情况下：疑问句不是命题.图形的作法不是命题.）
2、探讨
①
探讨命题的结构特征
观察下列命题，发现它们的结构有什么共同特征？
（1）如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等．
（2）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等．
（3）如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形．
（4）如果一个四边的对角线相等，那么这个四边形是矩形．
（5）如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么这个四边形是菱形．
②
总结命题的结构特征
（1）上述命题都是“如果……，那么……”的形式．
（2）“如果……”是已知的事项，“那么……”是由已知事项推断出的结论．
（3）一般地命题都可以写成“如果……,那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的结论，每个命题都有条件和结论．
3、定义与命题
①
定义的含义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是它们的定义；
②
命题的含义：判断一件事情的句子，叫做命题，如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题．
知识点二、相交线
1、相交线
在同一平面内，两条直线的位置关系有平行和相交。
（2）相交：在同一平面内，有一个公共点的两条直线称为相交线。
（3）邻补角与对顶角
定义：有公共顶点，且有一条公共边，另一条边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为邻补角。邻补角互补。
定义：有一个公共顶点，并且有一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角。对顶角相等。
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：
图形顶点边的关系大小关系对顶角
∠1与∠2有公共顶点∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线对顶角相等
即∠1=∠2邻补角
∠3与∠4
有公共顶点∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线。∠3+∠4=180°
注意：（1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；
（2）如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角
（3）如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。
（4）两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。
2.垂线
定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
符号语言记作：
如图所示：AB⊥CD，垂足为O
垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。
3.垂线的画法：
过直线上一点画已知直线的垂线；
过直线外一点画已知直线的垂线。
注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；
②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。
画法：一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上；
二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上；
三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线。
4.点到直线的距离
（1）定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的________.
如图，PO⊥AB，点P到直线AB的距离是PO的长。PO是垂线段。
PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条。
（2）应用：现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。
5.“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线
的距离”联系与区别
垂线与垂线段的区别：区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度。
联系：具有垂直于已知直线的共同特征。(垂直的性质)
两点间距离与点到直线的距离
区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间。
联系：都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离。
线段与距离
距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同。
三线八角
两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角。
如图，直线被直线所截
（1）∠1与∠5在截线的同侧，同在被截直线的上方，
叫做__________（位置相同）
（2）∠5与∠3在截线的两旁（交错），在被截直线之间（内），叫做_________（位置在内且交错）
（3）∠5与∠4在截线的同侧，在被截直线之间（内），叫做____________。
（4）三线八角也可以成模型中看出。同位角是“A”型；内错角是“Z”型；同旁内角是“U”型。
知识点三、平行线
1．平行线的概念
在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥”表示，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”。
同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行或相交。
注意：
（1）平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。
（2）当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。
2.平行线公理及其推论
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
3.平行线的性质
（1）两直线平行，同位角相等。
（2）两直线平行，内错角相等。
（3）两直线平行，同旁内角互补。
练一练
1、如图，直线a∥b，被直线c所截，已知∠1=70°，那么∠2的度数为　
　．
2、如图，把矩形沿对折后使两部分重合，若，则=（
）
A．110°
B．115°
C．120°
D．130°
3、如图，AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠BEP=50°，则∠EPF=（　　）度．
　
A．
70
B．
65
C．
60
D．
55
4、如图，将直线l1沿着AB的方向平移得到直线l2，若∠1=50°，则∠2的度数是（　　）
　A．40°
B．
50°
C．
90°
D．
130°
5、将直尺和直角三角板按如图方式摆放，已知∠1=30°，则∠2的大小是（　　）
　
A．
30°
B．
45°
C．
60°
D．
65°
6、如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于A，B两点，若∠1=70°，则∠2=（　　）
A．
70°
B．
80°
C．
110°
D．
120°
7、如图，在△ABC中，点D、E、F分别是三条边上的点，EF∥AC，DF∥AB，∠B=45°，∠C=60°．则∠EFD=（
）
A．80°
B．
75°
C．
70°
D．
65°
8、如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，∠1=（
）
A．52°
B．38°
C．42°
D．60°
9、如图，在△ABC中，∠C＝90°．若BD∥AE，∠DBC＝20°，则∠CAE的度数是
A．40°
B．60°
C．70°
D．80°
10、
如图，l∥m，∠1＝115?，∠2＝
95?，则∠3＝（
）
A．120?　
B．130?　　
C．140?
　　D．150?
11、如图，已知，，则的度数为（
）
（A）1150
（B）650
（C）600
（D）250
12、如图，已知∠1=700，如果CD∥BE，那么∠B的度数为
（
）
A．700
B．1000
C．1100
D．
1200
13、如图，在△ABC中，∠B=40°，过点C作CD∥AB，∠ACD=65°，则∠ACB的度数为（　　）
　A．60°
B．65°
C．70°
D．
75°
14、已知：如图，AB∥CD，求证：∠B+∠D=∠BED。
15、已知：如图7，AB∥CD，求证：∠BED=∠D-∠B。
（二）
1、如图，已知
∠A=∠C，AB∥CD,请说明∠E=∠F的理由.
2、如图：已知
AB∥CD,∠EAB+∠FDC=180°,
求证：AE∥DF.
3、如图：∠1＝∠2，
∠C＝∠D．求证：∠A＝∠F．
4、如图：已知，在△ABC中，∠ACB=900，AC=BC，D是AB的中点，AE=CF,
求证：DE⊥DF，DE=DF.
5、如图：已知在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，分别以AB，AC为边在△ABC外侧作等边三角形ABE和等边三角形ACD，DE与AB交于点F，
求证：EF=DF.
知识点四、多边形及其内角和
知识点：多边形的内角和定理
1.四边形内角和等于360°，能否利用三角形内角和等于180°得出结论：能
2.从上面的问题，你能想出五边形和六边形的内角和各是多少吗？观察图3，请填空：
（1）从五边形的一个顶点出发，可以引2条对角线，它们将五边形分为3个三角形，五边形的内角和等于180°×3．
（2）从六边形的一个顶点出发，可以引3条对角线，它们将六边形分为4个三角形，六边形的内角和等于180°×4．
3.一般地，怎样求n边形的内角和呢？请填空：
从n边形的一个顶点出发，可以引n-3条对角线，它们将n边形分为n-2个三角形，n边形的内角和等于180°×（n-2）．
结论：多边形的内角和与边数的关系是
4.镶嵌的定义：用相状、大小完全一样的一种或几种平面图形进行拼接，彼此间不留空隙、不重叠得铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称平面图形的镶嵌。
练一练
1、一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（　　）
A.4
B.5
C.6
D.7
2、一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数为（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
3、四边形的内角和为（　　）
A.180°
B.360°
C.540°
D.720°
4、正八边形的每个内角为（
）
A．120°
B．135°
C．140°
D．144°
5、正多边形的一个内角为135°，则该多边形的边数为（　　）
A．9
B．8
C．7
D．4
6、已知一个正多边形的一个内角是120°，则这个多边形的边是
．
7、五边形的外角和等于（　　）
A．180°
B．360°
C．540°
D．720°
一个正多边形，它的每一个外角都等于45°，则该正多边形是（
）
A．正六边形
B．正七边形
C．正八边形
D．正九边形
9、若一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数是（
）
A．12
B．11
C．10
D．9
10、已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形为______边形．
11、若一个正多边形的一个外角为40?，则这个正多边形是_______边形．
12、如果一个多边形的内角和是其外角和的一半，那么这个多边
形是（
）
A.六边形
B.五边形
C.四边形
D.三角形
13、若凸边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是_____________．
14、若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引10条对角线,则它是(
)
A.十三边形
B.十二边形
C.十一边形
D.十边形
15、一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形的对角线条数为（
）
A．6条
B．7条
C．8
D．9条
16、如图，依次以三角形、四边形、……、n边形的各顶点为圆心画半径为l的圆，且圆与圆之间两两不相交．把三角形与各圆重叠部分面积之和记为S3，四边形与各圆重叠部分面积之和记为S4，…．n边形与各圆重叠部分面积之和记为Sn．则S90的值为_________________．（结果保留π）
17、如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线L∥CD，则∠1=　　．
18、若一个多边形的内角和与外角和的比为7：2，求这个多边形的边数。
19、现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等．同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有（
）
A．2种
B．3种
C．4种
D．5种
20、如果仅用一种正多边形进行镶嵌，那么下列正多边形不能够将平面密铺的是（　　）
A.正三角形
B.
正四边形
C.正六边形
D.正八边形
21、李刚同学设计了四种正多边形的瓷砖图案，在这四种瓷砖中，用一种瓷砖可以密铺平面的是（　　）
A.(1)(2)(4)
B.
(2)(3)(4)
C.(1)(3)(4)
D.(1)(2)(3)
课后作业
（一）
一个多边形的每一个外角都等于40°，则它的边数是__________；一个多边形的每一个内角
都等于140°，则它的边数是___________。
如果四边形有一个角是直角，另外三个角的度数之比为2：3：4，那么这三个内角的度数
分别为_______。
若一个多边形的内角和为1080°，则它的边数是___________。
当一个多边形的边数增加1时，它的内角和增加_________度。
5.正十边形的一个外角为______．
6._______边形的内角和与外角和相等．
7.已知一个多边形的内角和与外角和的差为1080°，则这个多边形是_____边形．【答案】十
已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是（　　）
A.四边形
B.五边形
C.六边形
D.七边形
9.一个正多边形，它的每一个外角都是45°，则该正多边形是（　　）
A.正六边形
B.正七边形
C.正八边形
D.正九边形
一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为　．
11.如图，四边形ABCD中，若去掉一个60°的角得到一个五边形，则∠1+∠2=
度．
、
一个多边形的每一个外角都等于24°,求这个多边形的边数.
13.如图，在五边形ABCDE中，AE⊥DE，∠BAE=120°，∠BCD=60°，∠CDE﹣∠ABC=30°．
（1）求∠D的度数；
（2）AB∥CD吗？请说明理由．
14.以四边形ABCD各个顶点为圆心，1cm长为半径画弧，则图中阴影部分面积之和是　cm2．
如图，是由12个边长相等的正三角形镶嵌而成的平面图形，则图中的平行四边形共有_______个。
（二）
1.下列语句是命题的有（
）
A.两点之间线段最短；
B.向雷锋同志学习；
C.对顶角相等；
D.花儿在春天开放；
E、对应角相等的两个三角形是全等三角形；
2.下列命题，哪些是真命题？哪些是假命题？如果是真命题，请写出条件与结论，如果是假命题，请举出反例.
A.同角的补角相等；B.同位角相等，两直线平行；C.若|a|=|b|，则a=b.
3.
如图，AD、BE、CF为△ABC的三条角平分线,则：∠1+∠2+∠3=________.
4.
用两个全等的等腰直角三角尺拼成四边形，则此四边形一定是_____。
5.
如图所示，△ABC中，∠ACD=115°，∠B=55°,
则∠A=
,
∠ACB=
6.
△ABC的三个外角度数比为3∶4∶5，则它的三个外角度数分别为
_____.
7.
已知，如图，AB∥CD，若∠ABE=130°,
∠CDE=152°，则∠
BED=__________.
第3题图
第5题图
第7题图
8、如图：已知AB=AD.BE=ED,
求证：①∠BAC=∠DAC
②BC=CD.
（三）
1.下列图形中，由，能得到的是（
）
2.如图，直线L1∥L2
,则∠α为（
）.
A.1500
B.1400
C.1300
D.1200
3.下列命题：
①不相交的两条直线平行；
②梯形的两底互相平行；
③同垂直于一条直线的两直线平行；
④同旁内角相等，两直线平行.
其中真命题有（
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4.下列命题：
①两个连续整数的乘积是偶数；②带有负号的数是负数；
③乘积是1的两个数互为倒数；④绝对值相等的两个数互为相反数.
其中假命题有（
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
5.如图，AB∥CD，那么∠BAE+∠AEC+∠ECD
=（
）
A.1800
B.2700
C.3600
D.5400
6.下列说法中，正确的是（
）
A．经过证明为正确的真命题叫公理
B．假命题不是命题
C．要证明一个命题是假命题，只要举一个反例，即举一个具备命题的条件，而不具备命题结论的命题即可
D．要证明一个命题是真命题，只要举一个例子，说明它正确即可.
7.下列选项中，真命题是（
）.
A．a＞b，a＞c，则b=c
B．相等的角为对顶角
C．过直线l外一点，有且只有一条直线与直线l平行
D．三角形中至少有一个钝角
8．下列命题中，是假命题的是（
）
A．互补的两个角不能都是锐角
B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
C．乘积为1的两个数互为倒数
D．全等三角形的对应角相等，对应边相等.
9．下列命题中，真命题是（
）
A．任何数的绝对值都是正数
B．任何数的零次幂都等于1
C．互为倒数的两个数的和为零
D．在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大
10.如图所示,下列条件中,能判断AB∥CD的是(
)毛
A.∠BAD=∠BCD
B.∠1=∠2;
C.∠3=∠4
D.∠BAC=∠ACD
二、填空
11.观察如图所示的三棱柱.
（1）用符号表示下列线段的位置关系：
AC
CC1
,BC
B1C1
；
12.如图三角形ABC中，∠C
=
900
，AC=23,BC=32,把AC、BC、AB的大小关系用“>”号连接：
.
13.如图，直线AB、CD相交于点E
,DF∥AB，若∠AEC=1000，则∠D的度数等于
.
14.如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1=500，则∠AEF的度数等于
.
15.图中有
对对顶角.
三.用心解答（55）
16.如图，AB∥CD,AD∥BC,∠A﹦2∠B.求∠A、∠B、∠C、∠D的度数.
17.如图，AB∥CD,直线EF交AB、CD于点G、H.如果GM平分∠BGF,HN平分∠CHE，那么，GM与HN平行吗？为什么？
18.如图，AB∥CD，∠BAE=300,∠ECD=600,那么∠AEC度数为多少？
19.如图，B处在A处的南偏西450方向，C处在B处的北偏东800方向.（1）求∠ABC.（2）要使CD∥AB，D处应在C处的什么方向？（12分）
20、如图所示,已知直线a,b,c,d,e,且∠1=∠2,∠3+∠4=180°,则a与c平行吗?为什么?
（13分）