北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形学案（表格式）

特殊平行四边形
学生姓名
性别
年级
初三
学科
数学
授课教师
上课时间
年
月
日
第（
）次课
共（
）次课
课时：3课时
教学课题
特殊的平行四边形
教学目标
1、理解菱形、矩形、正方形的定义、性质
2、能运用判定方法来证明。
3、会用菱形、矩形、正方形的性质解决简单的证明和计算问题；
教学重点与难点
重点：.矩形、正方形的性质、判定以及判定的应用
难点：相关知识的综合应用
一.
作业检查
作业完成情况：优□
良□
中□
差□
二.
内容回顾
回顾上节课内容．
知识梳理
知识点一、菱形
1．菱形的性质
（1）菱形的定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（平行四边形+一组邻边相等=菱形）
（2）菱形的性质:
菱形具有平行四边形的一切性质；
A、边：对边平行且相等
B、角：菱形的对角相等，邻角互补
C、对角线：两条对角线互相平分且垂直
每一条对角线平分一组对角
D、对称性：中心对称：对角线的交点就是对称中心
轴对称：有两条对称轴。即：两条对角线所在的直线
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积=1/2ab．（a、b是两条对角线的长度）
【练习】
1、边长为3cm的菱形的周长是（　　）
A．6cm
B．9cm
C．12cm
D．15cm
2、
如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是（　　）
A．1
B．
C．2
D．2
3、
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8，DB=6，DE⊥BC于点E，则DE的长为（　　）
A．2.4
B．3.6
C．4.8
D．6
4、在菱形ABCD中，若对角线的长AC=8cm，BD=6cm，则边长
AB=　
　cm．
如图，在菱形ABCD中，AB=10，AC=12，则它的面积是　　．
6、如图，菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，若∠BCO=55°，则∠ADO=　　°．
7、
如图，△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是BC、BA的中点，连接DE，F在DE延长线上，且AF=AE．
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）若四边形ACEF是菱形，求∠B的度数．
菱形的判定
3、相关知识点
A、线段垂直平分线的性质
①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　
②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　
③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
B、直角三角形斜边上的中线
性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的．
勾股定理（相关知识点）
【练习】
1、如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（　　）
A．28°
B．52°
C．62°
D．72°
2、
如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，MN过点O且与边AD、BC分别交于点M和点N．
（1）请你判断OM和ON的数量关系，并说明理由；
（2）过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，当AB=6，AC=8时，求△BDE的周长．
3、如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线EF交对角线AC于点F，垂足为点E，连接DF，若∠CDF=24°，则∠DAB等于（　　）
A．100°
B．104°
C．105°
D．110°
如图，菱形ABCD的周长为12cm，BC的垂直平分线EF经过点A，则对角线BD的长是　　cm．
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是　　　　　　．
6．如图，CE是△ABC外角∠ACD的平分线，AF∥CD交CE于点F，FG∥AC交CD于点G．求证：四边形ACGF是菱形．
7．已知，如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE=CF，DF∥BE，AC平分∠BAD．
求证：四边形ABCD为菱形．
8．如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于E，连接CE，过点C作CF平行于BA交PQ于点F，连接AF．
（1）求证：△AED≌△CFD；
（2）求证：四边形AECF是菱形．
（3）若AD=3，AE=5，则菱形AECF的面积是多少？
9、已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．
求证：∠AFD=∠CBE．
10、已知：如图四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，
BC分别交于E，
F．求证：四边形AFCE是菱形．
11、已知如图，菱形ABCD中，E是BC上一点，AE，
BD交于M，若AB=AE,∠EAD=2∠BAE．求证：AM=BE．
12、如图，在菱形ABCD中，∠A=60°,AB=4,O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．求线段BE的长．
13、如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC，交BC的延长线于F．请你猜想DE与DF的大小有什么关系？并证明你的猜想
12、如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E，
F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.
（1）求证：△BDE≌△BCF；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由；
（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围.
知识点二、矩形
1.
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2.
矩形的性质：A、边：对边平行且相等
B、四个角都是直角
C、对角线相等且平分
3、拓展：
直角三角形性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
练习：
1、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（　　）
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
2、如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（　　）
A．∠ABC=90°
B．AC=BD
C．OA=OB
D．OA=AD
3、
如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，则图中五个小矩形的周长之和为　　．
5、如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是　　．
6、
若平行四边形的两条对角线长为6
cm和16
cm，则下列长度的线段可作为平行四边形边长的是（　　）
A．5cm
B．8cm
C．12cm
D．16cm
7、如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（　　）
A．6cm
B．4cm
C．2cm
D．1cm
8、如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C和点C′重合，若AB=2，则C′D的长为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
矩形的判定
角：
判定一：有三个角是直角的四边形是矩形。
判定二：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
对角线：
判定三：对角线相等的平行四边形是矩形。
判定四：对角线相互平分且相等的四边形是矩形。
1、如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE=BF=CG=DH．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DG⊥AC，OF=2cm，求矩形ABCD的面积．
2、
已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置（如图（1）所示）时，易证得结论：P
A2+PC2=PB2+PD2，请你探究：当点P分别在图（2）、图（3）中的位置时，PA2、PB2、PC2和PD2又有怎样的数量关系请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论．
答：对图（2）的探究结论为　　　　　　　　；
对图（3）的探究结论为　　　　　　　　；
3、如图，AB=CD=ED，AD=EB，BE⊥DE，垂足为E．
（1）求证：△ABD≌△EDB；
（2）只需添加一个条件，即　　　　等，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．
4、已知：如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE，CF．
（1）求证：AF=CE；
（2）若AC=EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．
知识点三、正方形
定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：
①有一组邻边相等的平行四边形
（菱形）
②有一个角是直角的平行四边形
（矩形）
2、性质：
边：对边平行，四边相等；
角：四个角都是直角；
对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．
3、正方形的判定方法：
(1)有一个角是直角的菱形是正方形
(2)有一组邻边相等的矩形是正方形
(3)对角线相等的菱形是正方形
(4)对角线相互垂直的矩形是正方形
(5)对角线相互垂直平分且相等的四边形是正方形
【注意】：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是
45°；
正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质．正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．
正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．
正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，
正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，有四条对称轴；
【练习】
1、正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是（　　）
A．8
B．4
C．8
D．16
2、下列说法不正确的是（　　）
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
3、如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE=（　　）
A．2
B．3
C．
D．
4、如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠AED等于　　度．
5、已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE=AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD=　　度．
边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC的面积为　　　　．
6、如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（　　）
A．-1
B．3-
C．+1
D．-1
7、已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．
求证：OE=OF．
8、已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A.
C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB.
DN分别交l2于Q.
P点．求证：四边形PQMN是正方形．
【课堂总结】
【课堂小测】
1．如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=1，延长AD到点E，使DE=AD，延长CD到点F，使DF=CD，连接AC、CE、EF、AF，则下列描述正确的是（　　）
A．四边形ACEF是平行四边形，它的周长是4
B．四边形ACEF是矩形，它的周长是2+2
C．四边形ACEF是平行四边形，它的周长是4
D．四边形ACEF是矩形，它的周长是4+4
2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=　　　　　．
3．若菱形的周长为20cm，则它的边长是　　　　　cm．
4．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，BD=7，则菱形ABCD的周长为　　　　　．
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是　　　　　　．
6．如图，CE是△ABC外角∠ACD的平分线，AF∥CD交CE于点F，FG∥AC交CD于点G．求证：四边形ACGF是菱形．
7．已知，如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE=CF，DF∥BE，AC平分∠BAD．
求证：四边形ABCD为菱形．
8、矩形具有而菱形不具有的性质是（
）
A、四边相等
B、对角线互相垂直
C、对角线相等
D、每一条对角线平方一组对角
9、下列说法中，正确的是（
）
A、两条对角线相等的四边形是矩形
B、两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C、两条对角线互相垂直相等的四边形是正方形
D、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
10、矩形的对角线长为2cm，一边长为cm，则它的面积为（
）
A、1cm?
B、2cm?
C、cm2
D、4
cm2
11、如图，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，点E在AC上，且AE=AB，则∠OBE=（
）
A、15°
B、22.5°
C、25°
D、30°
12、如图，已知在△ABC中，AB=AC，D是BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F
（1）求证：△BED≌△CFD
（2）若∠A=90°，求证：四边形DFAE是正方形
13、如图，在△ABC中，∠BAC
=
90°,D、E、F分别是BC、CA、AB边的中点，
求证：（1）四边形AFDE是矩形；
（2）当△ABC满足
条件时，四边形AFDE是正方形,请你说明理由。
14、如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连结BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT=（　　）
A．
B．2
C．2
D．1
15、如图，四边形ABCD、AEFG均为正方形，其中E在BC上，且B、E两点不重合，并连接BG．根据图中标示的角判断下列∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系何者正确？（　　）
A．∠1＜∠2
B．∠1＞∠2
C．∠3＜∠4
D．∠3＞∠4
16、附图为正三角形ABC与正方形DEFG的重叠情形，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD=BE．若AC=18，GF=6，则F点到AC的距离为何？（　　）
A．2
B．3
C．12﹣4
D．6﹣6
17、如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（　　）
B．3-
C．+1
D．-1
18、如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（　　）
A．16
B．17
C．18
D．19
19、已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（　　）
A．∠D=90°
B．AB=CD
C．AD=BC
D．BC=CD
20、下列判断中正确的是（　　）
A．四边相等的四边形是正方形
B．四角相等的四边形是正方形
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
21、如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成（　　）
A．22.5°角
B．30°角
C．45°角
D．60°角