期末复习
二次函数重难点题型突破
学习重难点
1．理解二次函数的有关概念．
2．会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质．
3．会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
4.
会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴，并能掌握二次函数图象的平移．
5．熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解决有关的实际问题．
知识点梳理
知识点梳理一、二次函数的概念
一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．
注意：(1)二次项系数a≠0；
(2)ax2＋bx＋c必须是整式；
(3)一次项可以为零，常数项也可以为零，一次项和常数项可以同时为零；
(4)自变量x的取值范围是全体实数．
知识点梳理二、用待定系数法求二次函数解析式
1.二次函数解析式常见有以下几种形式
：
(1)一般式：(a，b，c为常数，a≠0)；
(2)顶点式：(a，h，k为常数，a≠0)；
(3)交点式：(，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)．
2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下
第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或，
或，其中a≠0；
第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；
第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；
第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．
3.如何选择正确的形式
在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：
①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为；
②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为；③当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为．
知识点梳理三、二次函数的图象及性质
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
图象
(a＞0)
(a＜0)
开口方向
开口向上
开口向下
对称轴
直线x＝－
直线x＝－
顶点坐标
增减性
当x＜－时，y随x的增大而减小；当x＞－时，y随x的增大而增大
当x＜－时，y随x的增大而增大；当x＞－时，y随x的增大而减小
最值
当x＝－时，y有最小值
当x＝－时，y有最大值
1．将抛物线解析式写成y＝a(x－h)2＋k的形式，则顶点坐标为(h，k)，对称轴为直线x＝h，也可应用对称轴公式x＝－，顶点坐标来求顶点坐标及对称轴．
2．比较两个二次函数值大小的方法：
(1)直接代入自变量求值法；
(2)当自变量在对称轴两侧时，看两个数到对称轴的距离及函数值的增减性判断；
(3)当自变量在对称轴同侧时，根据函数值的增减性判断．
知识点梳理四、二次函数图象的平移
知识点梳理五、二次函数图象的特征与a，b，c及b2－4ac的符号之间的关系
项目
字母
字母的符号
图象的特征
a
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
b
ab＞0(a，b同号)
对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号)
对称轴在y轴右侧
c
c=0
图象过原点
c＞0
与y轴正半轴相交
c＜0
与y轴负半轴相交
b2-4ac
b2-4ac=0
与x轴有唯一交点
b2-4ac＞0
与x轴有两个交点
b2-4ac＜0
与x轴没有交点
知识点梳理六、二次函数与一元二次方程的关系
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，就变成了ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．[
2．ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是抛物线与x轴交点的横坐标．
3．
当Δ＝b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个不同的交点；
当Δ＝b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；
当Δ＝b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
三．典型例题
考点1：确定二次函数的解析式
【例1】
已知一抛物线与x轴的交点是A(－2,0)，B(1,0)，且经过点C(2,8)．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)求该抛物线的顶点坐标．
【变式1-1】
已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过(1，0)，(2，0)，(3，4)三点，则该抛物线的解析式为( )
A．y＝x2－3x＋2
B．y＝2x2－6x＋4
C．y＝2x2＋6x－4
D．y＝x2－3x－2
【变式1-2】
海滨广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管喷出的水的最大高度为3米，此时喷水的水平距离为米．在如图所示的平面直角坐标系中，这支喷泉喷出的水在空中划出的曲线满足的函数解析式是( )
A．y＝－＋3
B．y＝3＋1
C．y＝－8＋3
D．y＝－8＋3
【变式1-3】
如图，已知抛物线经过A(－3，0)，B(0，3)两点，且其对称轴为直线x＝－1.求此抛物线的解析式
。
考点2：二次函数的图象及性质
【例2】
(1)二次函数y＝－3x2－6x＋5的图象的顶点坐标是( )．
A．(－1,8)
B．(1,8)
C．(－1,2)
D．(1，－4)
(2)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的对称轴为直线x＝1，且经过点(－1，y1)，(2，y2)，试比较y1和y2的大小：y1________y2.(填“＞”“＜”或“＝”)
【变式2-1】
点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A.
y3＞y2＞y1
B.
y3＞y1＝y2
C.
y1＞y2＞y3
D.
y1＝y2＞y3
【变式2-2】
若二次函数y＝x2＋bx＋5配方后为y＝(x－2)2＋k，则b，k的值分别为( )
A.
0，5
B.
0，1
C.
－4，5
D.
－4，1
【变式2-3】
已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是( )
A.
当a＝1时，函数图象过点(－1，1)
B.
当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点
C.
若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小
D.
若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大
考点3：二次函数图象的平移
【例3】
二次函数y＝－2x2＋4x＋1的图象怎样平移得到y＝－2x2的图象( )．
A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
【变式3-1】
将抛物线y＝－3x2平移，得到抛物线y＝－3(x－1)2－2，下列平移方式中，正确的是( )
A．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
C．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
D．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
【变式3-2】
已知二次函数的图象经过点，顶点为将该图象向右平移，当它再次经过点时，所得抛物线的函数表达式为__________．
【变式3-3】
将抛物线y＝（x﹣3）（x﹣5）先绕原点O旋转180°，再向右平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣x2﹣4x﹣3
B．y＝﹣x2﹣12x﹣35
C．y＝x2+12x+35
D．y＝x2+4x+3
考点4：利用二次函数图象判断a，b，c的符号
【例4】
如图所示，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，图象经过点(－1,2)和(1,0)，且与y轴交于负半轴．
(1)给出四个结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a＋b＋c＝0，其中正确结论的序号是_________；
(2)给出四个结论：①abc＜0；②2a＋b＞0；③a＋c＝1；④a＞1.其中正确结论的序号是_______．
【变式4-1】
二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1.下列结论:①abc<0;②3a+c>0;③(a+c)2-b2<0;④a+b≤m(am+b)(m为实数).其中结论正确的个数为
( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【变式4-2】
在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给以下结论：其中正确结论的个数有（ ）
①abc＜0；
②c+2a＜0；
③9a﹣3b+c＝0；
④a﹣b≥m（am+b）（m为实数）；
⑤4ac﹣b2＜0．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【变式4-3】
抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a＝2；④方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根，其中正确结论的个数为
个．
考点5：二次函数的实际应用
【例5】
某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)．设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2
200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2
200元？
【变式5-1】
某商场销售的某种商品每件的标价是80元，若按标价的八折销售，仍可盈利60%，此时该种商品每星期可卖出220件，市场调查发现：在八折销售的基础上，该种商品每降价1元，每星期可多卖20件．设每件商品降价x元（x为整数），每星期的利润为y元．
（1）求该种商品每件的进价为多少元；
（2）当售价为多少时，每星期的利润最大？
【变式5-2】
某微商销售的某商品每袋成本20元，设销售价格为x（单位：元/袋），该微商发现销售量y与销售价格x之间的关系如表：
销售价格x（元/袋）
25
30
35
40
销售件数y
275
250
225
200
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）根据物价部门的规定，商品的利润率不能超过100%，该微商应该如何定价，才能使获得的利润最大，最大利润是多少？
【变式5-3】
某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．
（1）求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（2）应怎样确定销售价，使该品种苹果的每天销售利润最大？最大利润是多少？
考点6：二次函数与一元二次方程的关系
【例6】
已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c0的根的情况是（ ）
无实数根
有两个相等实数根
有两个异号实数根
有两个同号不等实数根
【变式6-1】
已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0
（0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是（ ）
A．﹣2或0
B．﹣4或2
C．﹣5或3
D．﹣6或4
【变式6-2】
已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（x1，0）与（x2，0），其中x1＜x2，方程ax2+bx+c﹣a＝0的两根为m、n（m＜n），则下列判断正确的是（ ）
A．m＜n＜x1＜x2
B．m＜x1＜x2＜n
C．x1+x2＞m+n
D．b2﹣4ac≥0
【变式6-3】
对于一个函数，自变量x取c时，函数值y等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）有两个不相等的零点x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），则下列关系式一定正确的是（ ）
A．01
B．1
C．01
D．1
四.课堂训练
1．将抛物线y＝2x2经过平移后不可能得到的抛物线是（ ）
A．y＝2x2﹣1
B．y＝2（x+1）2
C．y＝2（x+1）2﹣1
D．y＝x2
2．已知点A（﹣1，m）、B（﹣2，n）都在二次函数y＝x2﹣2x+3的图象上，则m、n的大小关系是（ ）
A．m＜n
B．m＝n
C．m＞n
D．不能确定
3．若整数a使得关于x的分式方程有整数解，且使得二次函数y＝（a﹣2）x2+2（a﹣1）x+a+1的值恒为非负数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．12
B．15
C．17
D．20
4．将抛物线y＝x2﹣2x+1绕它的顶点旋转180°后的解析式是（ ）
A．y＝﹣x2+2x+1
B．y＝﹣x2+2x﹣1
C．y＝﹣x2﹣2x+1
D．y＝﹣x2﹣2x﹣1
5．将函数y＝x2+x的图象向右平移a（a＞0）个单位，得到函数y＝x2﹣5x+6的图象，则a的值（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过原点，如图所示．给出以下四个结论：①abc＝0；②a+b+c＞0；③a＞b；④4ac﹣b2＜0．正确的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列结论：
①abc＞0；
②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是﹣1，3；
③a+2b＝c；
④y最大值＝c．
其中正确的有（ ）个．
A．4
B．3
C．2
D．1
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如下表：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣3
0
1
0
﹣3
…
下列结论正确是（ ）
①ab＞0
②a+b+c＜0
③若点（﹣7，y1），点（7，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2
④方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
9．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞0
B．b＞0
C．c＜0
D．a+b+c＜0
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值是0，那么代数式|a|+4ac﹣b2的化简结果是（ ）
A．a
B．﹣a
C．0
D．1
11．若函数y＝x2+2x﹣b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是
．
12．老师给出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分对应值如表：
x
…
﹣3
﹣2
0
1
3
5
…
y
…
7
0
﹣8
﹣9
﹣5
7
…
下列结论，①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2；③当﹣2＜x＜4时，y＜0；④x＝3是方程ax2+bx+c+5＝0的一个根；⑤若A（x1，5），B（x2，6）是抛物线上两点，则x1＜x2．其中正确的是
（只填写序号）．
13．若抛物线y＝4x2向下平移1个单位长度，则所得的抛物线的解析式是
．
14．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点（﹣1，2）和（1，0）且与y轴交于负半轴，下列五个结论：①abc＜0；②2a+b＞0；③a+b+c＝0；④a＞1．其中正确的结论的序号是
．
15．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：
x
﹣1
0
3
y
n
3
3
当n＜0时，下列结论中一定正确的是
．（填序号即可）
①abc＜0；②若点C（﹣2，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；③n＜4a；④对于任意实数t，总有4（at2+bt）≤9a+6b．
16．二次函数y＝ax2+bx+c中x、y满足下表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
m
…
（1）求出二次函数解析式；
（2）求m的值；
（3）判断b2﹣4ac的符号，并说明理由．
17．如图，已知点A（0，2），B（2，2），抛物线F：y＝x2﹣2mx+m2﹣2与直线x＝﹣2交于点P．
（1）当抛物线F经过点C（﹣1，﹣2），求此时抛物线的表达式；
（2）设点P的纵坐标为yp，求yp的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1）、（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；
（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．
Syman期末复习
二次函数重难点题型突破
学习重难点
1．理解二次函数的有关概念．
2．会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质．
3．会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
4.
会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴，并能掌握二次函数图象的平移．
5．熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解决有关的实际问题．
知识点梳理
知识点梳理一、二次函数的概念
一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．
注意：(1)二次项系数a≠0；
(2)ax2＋bx＋c必须是整式；
(3)一次项可以为零，常数项也可以为零，一次项和常数项可以同时为零；
(4)自变量x的取值范围是全体实数．
知识点梳理二、用待定系数法求二次函数解析式
1.二次函数解析式常见有以下几种形式
：
(1)一般式：(a，b，c为常数，a≠0)；
(2)顶点式：(a，h，k为常数，a≠0)；
(3)交点式：(，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)．
2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下
第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或，
或，其中a≠0；
第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；
第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；
第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．
3.如何选择正确的形式
在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：
①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为；
②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为；③当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为．
知识点梳理三、二次函数的图象及性质
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
图象
(a＞0)
(a＜0)
开口方向
开口向上
开口向下
对称轴
直线x＝－
直线x＝－
顶点坐标
增减性
当x＜－时，y随x的增大而减小；当x＞－时，y随x的增大而增大
当x＜－时，y随x的增大而增大；当x＞－时，y随x的增大而减小
最值
当x＝－时，y有最小值
当x＝－时，y有最大值
1．将抛物线解析式写成y＝a(x－h)2＋k的形式，则顶点坐标为(h，k)，对称轴为直线x＝h，也可应用对称轴公式x＝－，顶点坐标来求顶点坐标及对称轴．
2．比较两个二次函数值大小的方法：
(1)直接代入自变量求值法；
(2)当自变量在对称轴两侧时，看两个数到对称轴的距离及函数值的增减性判断；
(3)当自变量在对称轴同侧时，根据函数值的增减性判断．
知识点梳理四、二次函数图象的平移
知识点梳理五、二次函数图象的特征与a，b，c及b2－4ac的符号之间的关系
项目
字母
字母的符号
图象的特征
a
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
b
ab＞0(a，b同号)
对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号)
对称轴在y轴右侧
c
c=0
图象过原点
c＞0
与y轴正半轴相交
c＜0
与y轴负半轴相交
b2-4ac
b2-4ac=0
与x轴有唯一交点
b2-4ac＞0
与x轴有两个交点
b2-4ac＜0
与x轴没有交点
知识点梳理六、二次函数与一元二次方程的关系
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，就变成了ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．[
2．ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是抛物线与x轴交点的横坐标．
3．
当Δ＝b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个不同的交点；
当Δ＝b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；
当Δ＝b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
三．典型例题
考点1：确定二次函数的解析式
【例1】
已知一抛物线与x轴的交点是A(－2,0)，B(1,0)，且经过点C(2,8)．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)求该抛物线的顶点坐标．
【答案】
解：(1)设这个抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋C．
由已知抛物线经过A(－2,0)，B(1,0)，C(2,8)三点，
得解这个方程组，得
所以所求抛物线的表达式为y＝2x2＋2x－4.
(2)y＝2x2＋2x－4＝22－，
所以该抛物线的顶点坐标是.
【变式1-1】
已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过(1，0)，(2，0)，(3，4)三点，则该抛物线的解析式为( )
A．y＝x2－3x＋2
B．y＝2x2－6x＋4
C．y＝2x2＋6x－4
D．y＝x2－3x－2
【答案】B
解：
把(1，0)，(2，0)，(3，4)分别代入y＝ax2＋bx＋c，得解得
所以y＝2x2－6x＋4.故选B.
【变式1-2】
海滨广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管喷出的水的最大高度为3米，此时喷水的水平距离为米．在如图所示的平面直角坐标系中，这支喷泉喷出的水在空中划出的曲线满足的函数解析式是( )
A．y＝－＋3
B．y＝3＋1
C．y＝－8＋3
D．y＝－8＋3
【答案】C
【变式1-3】
如图，已知抛物线经过A(－3，0)，B(0，3)两点，且其对称轴为直线x＝－1.求此抛物线的解析式
。
【答案】
解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c.
根据题意，得
解得
所以抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3.
考点2：二次函数的图象及性质
【例2】
(1)二次函数y＝－3x2－6x＋5的图象的顶点坐标是( )．
A．(－1,8)
B．(1,8)
C．(－1,2)
D．(1，－4)
(2)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的对称轴为直线x＝1，且经过点(－1，y1)，(2，y2)，试比较y1和y2的大小：y1________y2.(填“＞”“＜”或“＝”)
【答案】(1)A (2)＞
解：(1)抛物线的顶点坐标可以利用顶点坐标公式或配方法来求．
∵－＝－＝－1，
＝＝8.
∴二次函数y＝－3x2－6x＋5的图象的顶点坐标是(－1,8)．
(2)点(－1，y1)，(2，y2)不在对称轴的同一侧，不能直接利用二次函数的增减性来判断y1，y2的大小，可先根据抛物线关于对称轴的对称性，然后再用二次函数的增减性即可．设抛物线经过点(0，y3)，∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴点(0，y3)与点(2，y2)关于直线x＝1对称．∴y3＝y2.
∵a＞0，∴当x＜1时，y随x的增大而减小．
∴y1＞y3.∴y1＞y2.
【变式2-1】
点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A.
y3＞y2＞y1
B.
y3＞y1＝y2
C.
y1＞y2＞y3
D.
y1＝y2＞y3
【答案】D
解：此类题利用图象法比较大小更直观简单．容易求出二次函数y＝－x2＋2x＋c图象的对称轴为直线x＝1，可画草图如解图：
由解图知，P1(－1，y1)，P2(3，y2)关于直线x＝1对称，P3(5，y3)在图象的右下方部分上，因此，y1＝y2>y3.
【变式2-2】
若二次函数y＝x2＋bx＋5配方后为y＝(x－2)2＋k，则b，k的值分别为( )
A.
0，5
B.
0，1
C.
－4，5
D.
－4，1
【答案】D
解：由y＝(x－2)2＋k知此二次函数的顶点坐标为(2，k)，对称轴为x＝2，由y＝x2＋bx＋5知其对称轴为x＝－，得－＝2，所以b＝－4；于是可以得到函数的解析式是y＝x2－4x＋5，把(2，k)代入其中即得k＝1.
【变式2-3】
已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是( )
A.
当a＝1时，函数图象过点(－1，1)
B.
当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点
C.
若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小
D.
若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大
【答案】D
解：当a＝1时，函数为y＝x2－2x－1，当x＝－1时，y＝1＋2－1＝2，其图象经过点(－1，2)，不过点(－1，1)，所以A选项错误；当a＝－2时，函数为y＝－2x2＋4x－1，b2－4ac＝16－4×(－2)×(－1)＝8>0，抛物线与x轴有两个交点，故选项B错误；当a>0时，抛物线的开口向上，它的对称轴是直线x＝－＝1，当x≥1，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，所以C选项错误；当a<0时，抛物线的开口向下，它的对称轴是直线x＝－＝1，当x≤1，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，所以D选项正确．
考点3：二次函数图象的平移
【例3】
二次函数y＝－2x2＋4x＋1的图象怎样平移得到y＝－2x2的图象( )．
A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
【答案】C
解：首先将二次函数的解析式配方化为顶点式，然后确定如何平移，即y＝－2x2＋4x＋1＝－2(x－1)2＋3，将该函数图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位就得到y＝－2x2的图象．
二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的变换，因此先将二次函数解析式转化为顶点式确定其顶点坐标，然后按照“左加右减、上加下减”的规律进行操作．
【变式3-1】
将抛物线y＝－3x2平移，得到抛物线y＝－3(x－1)2－2，下列平移方式中，正确的是( )
A．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
C．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
D．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
【答案】D
解：
∵抛物线y＝－3x2的顶点坐标为(0，0)，抛物线y＝－3(x－1)2－2的顶点坐标为(1，－2)，∴将抛物线y＝－3x2向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，可得到抛物线y＝－3(x－1)2－2.
【变式3-2】
已知二次函数的图象经过点，顶点为将该图象向右平移，当它再次经过点时，所得抛物线的函数表达式为__________．
【答案】
解：设原来的抛物线解析式为：，
把代入，得，
解得，
故原来的抛物线解析式是：，
设平移后的抛物线解析式为：，
把代入，得，
解得(舍去)或，
所以平移后抛物线的解析式是：，
故答案为：．
【变式3-3】
将抛物线y＝（x﹣3）（x﹣5）先绕原点O旋转180°，再向右平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣x2﹣4x﹣3
B．y＝﹣x2﹣12x﹣35
C．y＝x2+12x+35
D．y＝x2+4x+3
【答案】A
解：y＝（x﹣3）（x﹣5）＝（x﹣4）2﹣1．此时，该抛物线顶点坐标是（4，﹣1）．
将该抛物线绕坐标原点O旋转180°后的顶点坐标是（﹣4，1）．再向右平移2个单位长度后的顶点坐标是（﹣2，1）．所以此时抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+1＝﹣x2﹣4x﹣3．
考点4：利用二次函数图象判断a，b，c的符号
【例4】
如图所示，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，图象经过点(－1,2)和(1,0)，且与y轴交于负半轴．
(1)给出四个结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a＋b＋c＝0，其中正确结论的序号是_________；
(2)给出四个结论：①abc＜0；②2a＋b＞0；③a＋c＝1；④a＞1.其中正确结论的序号是_______．
【答案】(1)①④ (2)②③④
解：(1)∵抛物线开口向上，∴a＞0；
∵对称轴在y轴右侧，∴－＞0，∴b＜0；
与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0；
当x＝1时，y＝0，∴a＋b＋c＝0，故填①④.
(2)由(1)问知a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0；
又知－＜1，∴2a＋b＞0；
又知x＝1时，y＝0；x＝－1时，y＝2，
∴∴a＋c＝1；
又知c＜0，∴a＝1－c＞1，故填②③④
【变式4-1】
二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1.下列结论:①abc<0;②3a+c>0;③(a+c)2-b2<0;④a+b≤m(am+b)(m为实数).其中结论正确的个数为
( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【答案】C
解：①∵抛物线开口向上，∴a>0.
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴->0，
∴b<0.
∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c<0，∴abc>0，∴①错误;
②当x=-1时，y>0，∴a-b+c>0.
∵-=1，∴b=-2a.把b=-2a代入a-b+c>0中得3a+c>0，∴②正确;
③当x=1时，y<0，∴a+b+c<0，∴a+c<-b.
∵a+c>b，∴|a+c|<|b|，即(a+c)2-b2<0，
∴③正确;
④∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴x=1时，函数的最小值为a+b+c，
∴a+b+c≤am2+mb+c，即a+b≤m(am+b)，∴④正确.故选C.
【变式4-2】
在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给以下结论：其中正确结论的个数有（ ）
①abc＜0；
②c+2a＜0；
③9a﹣3b+c＝0；
④a﹣b≥m（am+b）（m为实数）；
⑤4ac﹣b2＜0．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】D
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x1，
∴b＝2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵x＝1时，y＝0，
∴a+b+c＝0，
∴c＝﹣a﹣2a＝﹣3a，
∴c+2a＝﹣3a+2a＝﹣a＜0，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），
∴当x＝﹣3时，y＝0，
即9a﹣3b+c＝0，所以③正确；
∵x＝﹣1时，y有最小值，
∴a﹣b+c≤am2+bm+c（m为任意实数），
∴a﹣b≤m（am+b）（m为实数），所以④错误；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，
即4ac﹣b2＜0，所以⑤正确．
【变式4-3】
抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a＝2；④方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根，其中正确结论的个数为
个．
【答案】3
解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以①错误；
∵顶点为D（﹣1，2），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∵抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，
∴当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以②正确；
∵抛物线的顶点为D（﹣1，2），
∴a﹣b+c＝2，
∵抛物线的对称轴为直线x1，
∴b＝2a，
∴a﹣2a+c＝2，即c﹣a＝2，所以③正确；
∵当x＝﹣1时，二次函数有最大值为2，
即只有x＝﹣1时，ax2+bx+c＝2，
∴方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根，所以④正确．
综上所述，共有3个正确结论.
考点5：二次函数的实际应用
【例5】
某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)．设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2
200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2
200元？
【答案】(1)y＝－10x2＋110x＋2
100(0＜x≤15且x为整数)；(2)当售价定为每件55或56元时，每个月的利润最大，最大的月利润是2
400元．(3)当售价定为每件51或60元时，每个月的利润为2
200元．
当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2
200元(或当售价分别为51,52,53,54,55,56,57,58,59,60元时，每个月的利润不低于2
200元)．
解：(1)y＝(210－10x)(50＋x－40)＝－10x2＋110x＋2
100(0＜x≤15且x为整数)；
(2)y＝－10(x－5.5)2＋2
402.5.∵a＝－10＜0，
∴当x＝5.5时，y有最大值2
402.5.
∵0＜x≤15，且x为整数，
当x＝5时，50＋x＝55，y＝2
400(元)，当x＝6时，50＋x＝56，y＝2
400(元)，
∴当售价定为每件55或56元时，每个月的利润最大，最大的月利润是2
400元．
(3)当y＝2
200时，－10x2＋110x＋2
100＝2
200，解得x1＝1，x2＝10.
∴当x＝1时，50＋x＝51，当x＝10时，50＋x＝60.
∴当售价定为每件51或60元时，每个月的利润为2
200元．
当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2
200元(或当售价分别为51,52,53,54,55,56,57,58,59,60元时，每个月的利润不低于2
200元)．
【变式5-1】
某商场销售的某种商品每件的标价是80元，若按标价的八折销售，仍可盈利60%，此时该种商品每星期可卖出220件，市场调查发现：在八折销售的基础上，该种商品每降价1元，每星期可多卖20件．设每件商品降价x元（x为整数），每星期的利润为y元．
（1）求该种商品每件的进价为多少元；
（2）当售价为多少时，每星期的利润最大？
【答案】（1）该种商品每件的进价为40元；（2）当售价为57元或58元时，每星期的利润最大
解：（1）设成本为m元，根据题意得：
80×0.8﹣m=0.6m
解得：m=40，
∴该种商品每件的进价为40元；
（2）y=（80×0.8﹣x﹣40）（220+20x）
=﹣20x2+260x+5280
=﹣20（x﹣6.5）2+6125，
∴当x=6.5时，y最大，
∵x为整数，
∴x1=7，x2=6，
∴当x=6或7时，y最大为6120元．
80×0.8﹣7=57（元），80×0.8﹣6=58（元），
∴当售价为57元或58元时，每星期的利润最大．
【变式5-2】
某微商销售的某商品每袋成本20元，设销售价格为x（单位：元/袋），该微商发现销售量y与销售价格x之间的关系如表：
销售价格x（元/袋）
25
30
35
40
销售件数y
275
250
225
200
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）根据物价部门的规定，商品的利润率不能超过100%，该微商应该如何定价，才能使获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）y＝﹣5x+400；（2）当x＝40时，获得的利润最大，最大利润是4000元．
解：（1）有表中数据可知，y是x的一次函数，
设y关于x的函数表达式为：y＝kx+b，
把（30，250）和（40，200）代入得，
解得：，
∴y关于x的函数表达式为y＝﹣5x+400；
（2）设销售利润为w元，
根据题意得，w＝（x﹣20）（﹣5x+400）＝﹣5x2+500x﹣8000，
∵二次函数的对称轴为x＝50，商品的利润率不能超过100%，
∴20≤x≤40时，y随x的增大而增大，
∴当x＝40时，获得的利润最大，最大利润是4000元．
【变式5-3】
某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．
（1）求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（2）应怎样确定销售价，使该品种苹果的每天销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）当销售单价为20元/千克时，每天可获得最大利润200元．
解：（1）设y=kx+b，由图象可知，
，
解之，得：，
∴y=﹣2x+60；
（2）p=（x﹣10）y
=（x﹣10）（﹣2x+60）
=﹣2x2+80x﹣600，
∵a=﹣2＜0，
∴p有最大值，
当x=﹣=20时，=200．
即当销售单价为20元/千克时，每天可获得最大利润200元．
考点6：二次函数与一元二次方程的关系
【例6】
已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c0的根的情况是（ ）
A．无实数根
B．有两个相等实数根
C．有两个异号实数根
D．有两个同号不等实数根
【答案】D
解：函数y＝ax2+bx+c向上平移个单位得到y′＝ax2+bx+c，
而y′顶点的纵坐标为﹣2，
故y′＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，且两个交点在x轴的右侧，
故ax2+bx+c0有两个同号不相等的实数根，
【变式6-1】
已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0
（0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是（ ）
A．﹣2或0
B．﹣4或2
C．﹣5或3
D．﹣6或4
【答案】B
解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，
∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为﹣3和1，函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，
又∵关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．
∴方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一个根为﹣5，函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，
∵关于x的方程ax2+bx+c+n＝0
（0＜n＜m）有两个整数根，
∴这两个整数根是﹣4或2，
【变式6-2】
已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（x1，0）与（x2，0），其中x1＜x2，方程ax2+bx+c﹣a＝0的两根为m、n（m＜n），则下列判断正确的是（ ）
A．m＜n＜x1＜x2
B．m＜x1＜x2＜n
C．x1+x2＞m+n
D．b2﹣4ac≥0
【答案】B
解：当a＞0，∵方程ax2+bx+c﹣a＝0的两根为m、n，
∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝a的交点在x轴上方，它们的横坐标分别为m、n，
∴m＜x1＜x2＜n；
当a＜0，∵方程ax2+bx+c﹣a＝0的两根为m、n，
∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝a的交点在x轴下方，它们的横坐标分别为m、n，
∴m＜x1＜x2＜n．
【变式6-3】
对于一个函数，自变量x取c时，函数值y等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）有两个不相等的零点x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），则下列关系式一定正确的是（ ）
A．01
B．1
C．01
D．1
【答案】A
解：由题意关于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），就是关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）与直线y＝﹣2的交点的横坐标，
画出函数的图象草图如下：
∵抛物线的对称轴为直线x5，
∴x3＜x1＜﹣5，
由图象可知：01一定成立，
四.课堂训练
1．将抛物线y＝2x2经过平移后不可能得到的抛物线是（ ）
A．y＝2x2﹣1
B．y＝2（x+1）2
C．y＝2（x+1）2﹣1
D．y＝x2
【答案】D
解：∵将抛物线y＝2x2经过平移后开口方向不变，开口大小也不变，
∴抛物线y＝2x2经过平移后不可能得到的抛物线是．
2．已知点A（﹣1，m）、B（﹣2，n）都在二次函数y＝x2﹣2x+3的图象上，则m、n的大小关系是（ ）
A．m＜n
B．m＝n
C．m＞n
D．不能确定
【答案】A
解：由二次函数y＝x2﹣2x+3可知，抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，
∵﹣2＜﹣1＜1
∴m＜n．
3．若整数a使得关于x的分式方程有整数解，且使得二次函数y＝（a﹣2）x2+2（a﹣1）x+a+1的值恒为非负数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．12
B．15
C．17
D．20
【答案】B
解：∵二次函数y＝（a﹣2）x2+2（a﹣1）x+a+1的值恒为非负数，
∴，
解得a≥3，
解关于x的分式方程得到：x＝，
由x≠2得，a≠5，
由于a、x是整数，
所以a＝3，x＝6，a＝4，x＝3，a＝8，x＝1，
同理符合a≥3的a值共有3，4，8，
故所有满足条件的整数a的值之和＝3+4+8＝15，
4．将抛物线y＝x2﹣2x+1绕它的顶点旋转180°后的解析式是（ ）
A．y＝﹣x2+2x+1
B．y＝﹣x2+2x﹣1
C．y＝﹣x2﹣2x+1
D．y＝﹣x2﹣2x﹣1
【答案】B
解：∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴抛物线y＝x2﹣2x+1的顶点坐标为（1，0），
∴抛物线y＝x2﹣2x+1绕顶点旋转180°后的图象的解析式为y＝﹣（x﹣1）2＝﹣x2+2x﹣1，
即y＝﹣x2+2x﹣1．
5．将函数y＝x2+x的图象向右平移a（a＞0）个单位，得到函数y＝x2﹣5x+6的图象，则a的值（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
解：y＝x2+x＝（x+）2﹣，
∴顶点的横坐标为：﹣；
y＝x2﹣5x+6＝（x﹣）2﹣，
∴顶点的横坐标为：；
∴a＝﹣（﹣）＝3．
6．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过原点，如图所示．给出以下四个结论：①abc＝0；②a+b+c＞0；③a＞b；④4ac﹣b2＜0．正确的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线经过原点，
∴c＝0，
则abc＝0，所以①正确；
当x＝1时，函数值是a+b+c＜0，则②错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣＜0，
∴b＝3a＜0，
又∵a＜0，
∴a＞b，则③正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，所以④正确．
7．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列结论：
①abc＞0；
②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是﹣1，3；
③a+2b＝c；
④y最大值＝c．
其中正确的有（ ）个．
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】C
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是﹣1，3，所以②正确；
∵当x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，
而b＝﹣2a，
∴a+2a+c＝0，即c＝﹣3a，
∴a+2b﹣c＝a﹣4a+3a＝0，
即a+2b＝c，所以③正确；
a+4b﹣2c＝a﹣8a+6a＝﹣a，所以④错误；
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如下表：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣3
0
1
0
﹣3
…
下列结论正确是（ ）
①ab＞0
②a+b+c＜0
③若点（﹣7，y1），点（7，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2
④方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
【答案】B
解：由表格可知，
该二次函数有最大值，开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，1），
∴a＜0，b＜0，
∴ab＞0，故①正确；
由表格可知，当x＝1时，y＝a+b+c＝﹣3＜0，故②正确；
∵点（﹣7，y1）到对称轴x＝﹣1的距离小于点（7，y2）到对称轴的距离，
∴y1＞y2，故③错误，
∵图象经过（﹣3，﹣3）和（1，﹣3）两个点，
∴方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根，故④正确，
9．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞0
B．b＞0
C．c＜0
D．a+b+c＜0
【答案】D
解：∵由图象知，开口向下，
∴a＜0，故A错误；
∵对称轴在y轴的左侧，
∴b＜0，故B错误；
由图象知，与y轴的交点在正半轴，
∴c＞0，故C错误；
当x＝1时，y＝a+b+c＜0，故D正确；
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值是0，那么代数式|a|+4ac﹣b2的化简结果是（ ）
A．a
B．﹣a
C．0
D．1
【答案】B
解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）有最大值，
∴二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的开口方向向下，即a＜0；
又∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值是0，
∴＝0，
∴4ac﹣b2＝0，
∴|a|+4ac﹣b2＝﹣a+0＝﹣a．
11．若函数y＝x2+2x﹣b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是
．
【答案】b＞﹣1且b≠0
解：∵函数y＝x2+2x﹣b的图象与坐标轴有三个交点，
∴抛物线与x轴有两个交点，与y轴有一个交点，且与x轴、y轴的不能为（0，0），
∴△＝b2﹣4ac＝22+4b＞0且b≠0，
解得：b＞﹣1且b≠0，
12．老师给出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分对应值如表：
x
…
﹣3
﹣2
0
1
3
5
…
y
…
7
0
﹣8
﹣9
﹣5
7
…
下列结论，①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2；③当﹣2＜x＜4时，y＜0；④x＝3是方程ax2+bx+c+5＝0的一个根；⑤若A（x1，5），B（x2，6）是抛物线上两点，则x1＜x2．其中正确的是
（只填写序号）．
【答案】①③④⑤
解：①函数的对称轴为x＝（5﹣3）＝1，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，故抛物线的开口向上，正确，符合题意；
②由①知，抛物线的对称轴为直线x＝1，故②错误，不符合题意；
③当x＝﹣2时，y＝0，根据函数的对称性，则x＝4时，y＝0，故当﹣2＜x＜4时，y＜0，故③正确，符合题意；
④由表格知，当x＝3时，y＝﹣5，即ax2+bx+c+5＝0，则x＝3是方程ax2+bx+c+5＝0的一个根，故④正确，符合题意；
⑤若A（x1，5），B（x2，6）是抛物线上从左到右依次分布的两点，只有点A、B都在对称轴右侧和点A、B在对称轴两侧时，这两种情况x1＜x2都正确，故⑤正确，符合题意；
13．若抛物线y＝4x2向下平移1个单位长度，则所得的抛物线的解析式是
．
【答案】y＝4x2﹣1
解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝4x2向下平移1个单位长度，则所得的抛物线的解析式是：y＝4x2﹣1；
14．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点（﹣1，2）和（1，0）且与y轴交于负半轴，下列五个结论：①abc＜0；②2a+b＞0；③a+b+c＝0；④a＞1．其中正确的结论的序号是
．
【答案】②③④
解：①∵抛物线的开口向上，对称轴为x＝﹣＞0，与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴a＞0，b＜0，c＜0，
∴abc＞0，错误；
②∵对称轴为x＝﹣＜1，a＞0，
∴2a+b＞0，正确；
③∵图象经过点（1，0），
∴当x＝1时，y＝a+b+c＝0，正确．
④∵图象经过点（﹣1，2）和（1，0），
∴a﹣b+c＝2，a+b+c＝0，
∴a+c＝1，
∵c＜0，
∴a＞1，正确．
15．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：
x
﹣1
0
3
y
n
3
3
当n＜0时，下列结论中一定正确的是
．（填序号即可）
①abc＜0；②若点C（﹣2，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；③n＜4a；④对于任意实数t，总有4（at2+bt）≤9a+6b．
【答案】①②④
解：①∵n＜0，由图表中数据可得出二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x＝＝1.5，
∴a＞0，b＜0，
又∵x＝0时，y＝3，
∴c＝3＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②∵二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x＝1.5，
∴点C（﹣2，y1）到对称轴的距离大于D（π，y2）到对称轴的距离，
∴y1＜y2，故②正确；
③∵c＝3，
∴二次函数y＝ax2+bx+3，
∵当x＝﹣1时，y＝n，
∴a﹣b+3＝n，
∵﹣＝1.5，
∴b＝﹣3a，
∴a+3a+3＝n，
∴4a＜n，故③错误；
④∵二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x＝＝1.5，
∴对于任意实数t，at2+bt+c≤a+b+c，
∴4（at2+bt）≤9a+6b，故④正确．
16．二次函数y＝ax2+bx+c中x、y满足下表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
m
…
（1）求出二次函数解析式；
（2）求m的值；
（3）判断b2﹣4ac的符号，并说明理由．
【答案】（1）则函数的解析式是：y＝x2﹣2x﹣3；（2）当x＝3时，m＝0；（3）b2﹣4ac＞0．
解：（1）把点（﹣1，0），（0，﹣3），（1，﹣4）分别代入y＝ax2+bx﹣1中，得，
解得：．
则函数的解析式是：y＝x2﹣2x﹣3，
（2）当x＝3时，m＝9﹣6﹣3＝0；
（3）b2﹣4ac＞0，理由如下：
∵点（﹣1，0）和点（3，0）在函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上，
∴抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0．
17．如图，已知点A（0，2），B（2，2），抛物线F：y＝x2﹣2mx+m2﹣2与直线x＝﹣2交于点P．
（1）当抛物线F经过点C（﹣1，﹣2），求此时抛物线的表达式；
（2）设点P的纵坐标为yp，求yp的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1）、（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；
（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）抛物线F的表达式是：y＝x2+2x﹣1；（2）y1＞y2
；（3）m的取值范围是﹣2≤m≤0或2≤m≤4.
解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2经过点C（﹣1，﹣2），
∴﹣2＝（﹣1）2﹣2×m×（﹣1）+m2﹣2，
解得，m＝﹣1，
∴抛物线F的表达式是：y＝x2+2x﹣1；
（2）当x＝﹣2时，yp＝4+4m+m2﹣2＝（m+2）2﹣2，
∴当m＝﹣2时，yp取得最小值，最小值是﹣2，
此时抛物线F的表达式是：y＝x2+4x+2＝（x+2）2﹣2，
∴当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，
∵x1＜x2≤﹣2，
∴y1＞y2；
（3）m的取值范围是﹣2≤m≤0或2≤m≤4，
理由：∵抛物线F与线段AB有公共点，点A（0，2），B（2，2），
∴或或，
解得，﹣2≤m≤0或2≤m≤4．
Syman
