解直角三角形的综合应用
学习重难点
了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；
会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题。
知识点梳理
知识点梳理一、解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.
在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.
设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：
①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).
②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.
③边角之间的关系：
，，，
，，.
④，h为斜边上的高.
知识点梳理二、特殊角的三角函数
知识点梳理三、解直角三角形的应用
解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.
解这类问题的一般过程是：
(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.
(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.
(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.
(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.
拓展：
在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：
(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.
坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则i==tanα，如图，坡度通常写成=∶的形式.
(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.
(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.
(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°
三．典型例题
考点1：母子型
【例1】
如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30m，在A点测得D点的仰角∠EAD为45°，在B点测得D点的仰角∠CBD为60°.求这两座建筑物的高度（结果保留根号）.
【变式1-1】
为了安全，请勿超速．如图一条公路建成通车，在直线路段MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁
设立了观测点C
，从观测点C测得一小车从点A到达B行驶了5秒钟，已知∠CAN＝45°，∠CBN＝60°，BC＝200米，此车超速了吗？请说明理由．(参考数据：≈1.41，≈1.73)
【变式1-2】
被誉为东昌三宝之首的铁塔，始建于北宋时期，是我市现存的最古老的建筑，铁塔由塔身和塔座两部分组成(如图①)，为了测得铁塔的高度，小莹利用自制的测角仪，在C点测得塔顶E的仰角为45°，在D点测得塔顶E的仰角为60°，已知测角仪AC的高为1.6米，CD的长为6米，CD所在的水平线CG⊥EF于点G(如图②)，求铁塔EF的高(结果精确到0.1米)．
【变式1-3】
位千重庆市汇北区的照母山森林公园乘承“近自然”生态理念营造森林风景，“虽由人作，宛自天开“，凸显自然风骨与原生野趣．山中最为瞩目的经典当属揽星塔．登临塔顶，可上九天邀月揽星，可鸟瞰新区，领略附近楼宇的壮美；亦可远眺两江胜景．登临此塔，让你有飘然若仙的联想又有登高远眺，“一览众山小“的震撼，我校某数学兴趣小组的同学准备利用所学的三角函数知识估测该塔的高度，已知揽星塔AB位于坡度l：1的斜坡BC上，测量员从斜坡底端C处往前沿水平方向走了120m达到地面D处，此时测得揽星塔AB顶端A的仰角为37°，揽星塔底端B的仰角为30°，已知A、B、C、D在同一平面内，求该塔AB的高度，（结果保留整数，参考数据；sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.73）
【变式1-4】
某市地铁工程正在加快建设，为了缓解市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警大队在一些主要路口设立了交通路况指示牌，如图所示，小明在离指示牌3.2米的点B处测得指示牌顶端D点和底端E点的仰角分别为52°和30°．求路况指示牌DE的高度．（精确到0.01米，参考数据：≈1.732，sin52°≈0.79，cos52°≈0.62,
tan52°≈1.28．）
考点2：背靠背型
【例2】
如图，一海伦位于灯塔的西南方向，距离灯塔海里的处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，求航程的值（结果保留根号）．
【变式2-1】
如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°(点B、C、E在同一水平直线上)，已知AB＝80
m，DE＝10
m，求障碍物B，C两点间的距离．(结果精确到0.1
m，参考数据：≈1.414，≈1.732)
【变式2-2】
如图，某巡逻艇计划以40海里/时的速度从A处向正东方向的D处航行，出发1.5小时到达B处时，突然接到C处的求救信号，于是巡逻艇立刻以60海里/时的速度向北偏东30°方向的C处航行，到达C处后，测得A处位于C处的南偏西60°方向，解救后巡逻艇又沿南偏东45°方向航行到D处．
(1)求巡逻艇从B处到C处用的时间；
(2)求巡逻艇实际比原计划多航行了多少海里？(结果精确到1海里)
(参考数据：≈1.73，≈2.45)
【变式2-3】
小亮一家在一湖泊中游玩，湖泊中有一孤岛，妈妈在孤岛P处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图所示）．小船从P处出发，沿北偏东60°方向划行200米到A处，接着向正南方向划行一段时间到B处．在B处小亮观测到妈妈所在的P处在北偏西37°的方向上，这时小亮与妈妈相距多少米（精确到1米）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）
考点3：实物型
【例3】
太阳能光伏建筑是现代绿色环保建筑之一．老张准备把自家屋顶改建成光伏瓦面，改建前屋顶截面△ABC如图②所示，BC＝10米，∠ABC＝∠ACB＝36°，改建后顶点D在BA的延长线上，且∠BDC＝90°，求改建后南屋面边沿增加部分AD的长．(结果精确到0.1米)
(参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73)．
【变式3-1】
芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型(如图①)．图②是从图①引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端的距离AD为20米，请求出立柱BH的长．(结果精确到0.1米，≈1.732)
【变式3-2】
如图，某同学参加社会实践活动，站在甲、乙两栋楼中间，看甲楼顶部A的仰角为60°，看乙楼顶部C的仰角为45°，已知乙楼的高度为41.5米，该同学的的身高为1.5米．求甲楼AB的高度．(结果保留根号)
【变式3-3】
如图，建筑物AB的高为6m，在其正东方向有一个通信塔CD，在它们之间的地面点M（B，M，D三点在一条直线上）处测得建筑物顶端A，塔顶C的仰角分别为37°和60°，在A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高度．（精确到0.01m）
【变式3-4】
如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD＝80cm，宽AB＝48cm，小强身高166cm，下半身FG＝100cm，洗漱时下半身与地面成80°（∠FGK＝80°），身体前倾成125°（∠EFG＝125°），脚与洗漱台距离GC＝15cm（点D，C，G，K在同一直线上）．（cos80°≈0.17，sin80°≈0.98，≈1.414）
（1）此时小强头部E点与地面DK相距多少？
（2）小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向前或后退多少？
考点4：综合型
【例4】
如图，防洪大堤的横截面ABGH是梯形，背水坡AB的坡度i＝1：（垂直高度AE与水平宽度BE的比），AB＝20米，BC＝30米，身高为1.7米的小明（AM＝1.7米）站在大堤A点（M，A，E三点在同一条直线上），测得电线杆顶端D的仰角∠a＝20°．
（1）求背水坡AB的坡角；
（2）求电线杆CD的高度．（结果精确到个位，参考数据sin20°≈0.3，cos20°≈0.9，tan20°≈0.4，1.7）
【变式4-1】
如图，某建筑物CD高96米，它的前面有一座小山，其斜坡AB的坡度为i＝1：1．为了测量山顶A的高度，在建筑物顶端D处测得山顶A和坡底B的俯角分别为α、β．已知tanα＝2，tanβ＝4，求山顶A的高度AE（C、B、E在同一水平面上）．
四.课堂训练
1．我校兴趣小组同学为测量校外“御墅临枫”的一栋电梯高层AB的楼高，从校前广场的C处测得该座建筑物顶点A的仰角为45°，沿着C向上走到30米处的D点．再测得顶点A的仰角为22°，已知CD的坡度：i＝1：2，A、B、C、D在同一平面内，则高楼AB的高度为（ ）（参考数据；sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）
A．60
B．70
C．80
D．90
2．如图①，在我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图②中的线段BC就是悬挂在墙壁AM上的某块匾额的截面示意图．已知BC＝1米，∠MBC＝37°．从水平地面点D处看点C，仰角∠ADC＝45°，从点E处看点B，仰角∠AEB＝53°，且DE＝2.4米，求匾额悬挂的高度AB的长．（参考数据：sin37°，cos37°，tan37°）．
3．如图，同学们利用所学知识去测量海平面上一个浮标到海岸线的距离．在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向，小宇同学在A处观测得浮标在北偏西60°的方向，小英同学在距点A处60米远的B点测得浮标在北偏西45°的方向，求浮标C到海岸线l的距离（结果精确到0.01m）．
4．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，
求（1）∠C的度数．
（2）A，C两港之间的距离为多少km．
5．如图，某小区有甲、乙两座楼房，楼间距BC为50米，在乙楼顶部A点测得甲楼顶部D点的仰角为37°，在乙楼底部B点测得甲楼顶部D点的仰角为60°，则甲、乙两楼的高度为多少？（结果精确到1米，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.73）
6．如图，MN为一电视塔，AB是坡角为30°的小山坡（电视塔的底部N与山坡的坡脚A在同一水平线上，被一个人工湖隔开），某数学兴趣小组准备测量这座电视塔的高度．在坡脚A处测得塔顶M的仰角为45°；沿着山坡向上行走40m到达C处，此时测得塔顶M的仰角为30°，请求出电视塔MN的高度．（参考数据：≈1.41，≈1.73，结果保留整数）
7．为缓解交通压力，市郊某地正在修建地铁站，拟同步修建地下停车库．如图是停车库坡道入口的设计图，其中MN是水平线，MN∥AD，AD⊥DE，CF⊥AB，垂足分别为D，F，坡道AB的坡度＝1：3，AD＝9米，点C在DE上，CD＝0.5米，CD是限高标志牌的高度（标志牌上写有：限高
米）．如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF的长，则该停车库限高多少米？（结果精确到0.1米，参考数据：1.41，1.73，3.16）
Syman解直角三角形的综合应用
学习重难点
了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；
会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题。
知识点梳理
知识点梳理一、解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.
在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.
设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：
①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).
②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.
③边角之间的关系：
，，，
，，.
④，h为斜边上的高.
知识点梳理二、特殊角的三角函数
知识点梳理三、解直角三角形的应用
解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.
解这类问题的一般过程是：
(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.
(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.
(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.
(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.
拓展：
在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：
(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.
坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则i==tanα，如图，坡度通常写成=∶的形式.
(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.
(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.
(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°
三．典型例题
考点1：母子型
【例1】
如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30m，在A点测得D点的仰角∠EAD为45°，在B点测得D点的仰角∠CBD为60°.求这两座建筑物的高度（结果保留根号）.
【答案】甲建筑物的高AB为（30－30）m，乙建筑物的高DC为30m
【解题过程】
如图，过A作AF⊥CD于点F，
在Rt△BCD中，∠DBC=60°，BC=30m，
∵=tan∠DBC，
∴CD=BC?tan60°=30m，
∴乙建筑物的高度为30m；
在Rt△AFD中，∠DAF=45°，
∴DF=AF=BC=30m，
∴AB=CF=CD﹣DF=（30﹣30）m，
∴甲建筑物的高度为（30﹣30）m．
【变式1-1】
为了安全，请勿超速．如图一条公路建成通车，在直线路段MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁
设立了观测点C
，从观测点C测得一小车从点A到达B行驶了5秒钟，已知∠CAN＝45°，∠CBN＝60°，BC＝200米，此车超速了吗？请说明理由．(参考数据：≈1.41，≈1.73)
【答案】故此车没有超速．
【解题过程】
解：如解图，过点C作CD⊥MN，垂足为D，
∵CD⊥MN，∠DBC＝60°，
∴∠BCD＝30°，
∴BD＝BC＝×200＝100(米)．
∴DC＝100≈100×1.73＝173(米)，
∵CD⊥MN，∠CAD＝45°，
∴∠DCA＝∠DAC＝45°，
∴AD＝DC＝173(米)，
AB＝173－100＝73(米)，
73÷5＝14.6(米/秒)，
60千米/小时＝16(米/秒)，
14．6(米/秒)<16(米/秒)，
故此车没有超速．
【变式1-2】
被誉为东昌三宝之首的铁塔，始建于北宋时期，是我市现存的最古老的建筑，铁塔由塔身和塔座两部分组成(如图①)，为了测得铁塔的高度，小莹利用自制的测角仪，在C点测得塔顶E的仰角为45°，在D点测得塔顶E的仰角为60°，已知测角仪AC的高为1.6米，CD的长为6米，CD所在的水平线CG⊥EF于点G(如图②)，求铁塔EF的高(结果精确到0.1米)．
【答案】铁塔EF高约15.8米．
【解题过程】
解：∵CG⊥EF，
∴∠EGC＝90°，
∵在Rt△ECG中，∠ECG＝45°，
∴CG＝EG.
在Rt△EDG中，∠EDG＝60°，
∵tan∠EDG＝，
∴DG＝＝＝EG，
∵CG－DG＝CD＝6，
∴EG－EG＝6.
解得EG≈14.2米，
∴EF＝EG＋GF≈14.2＋1.6＝15.8米．
答：铁塔EF高约15.8米．
【变式1-3】
位千重庆市汇北区的照母山森林公园乘承“近自然”生态理念营造森林风景，“虽由人作，宛自天开“，凸显自然风骨与原生野趣．山中最为瞩目的经典当属揽星塔．登临塔顶，可上九天邀月揽星，可鸟瞰新区，领略附近楼宇的壮美；亦可远眺两江胜景．登临此塔，让你有飘然若仙的联想又有登高远眺，“一览众山小“的震撼，我校某数学兴趣小组的同学准备利用所学的三角函数知识估测该塔的高度，已知揽星塔AB位于坡度l：1的斜坡BC上，测量员从斜坡底端C处往前沿水平方向走了120m达到地面D处，此时测得揽星塔AB顶端A的仰角为37°，揽星塔底端B的仰角为30°，已知A、B、C、D在同一平面内，求该塔AB的高度，（结果保留整数，参考数据；sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.73）
【答案】该塔AB的高度为31米．
【解题过程】
解：如图，设AB⊥DC于E，
设BEx，CE＝x，
在Rt△BDE中，∵∠BDE＝30°，
∴DE3x，
∴DC＝DE﹣CE＝3x﹣x＝120，
∴x＝60，
∴BE＝60，DE＝180，
在Rt△ADE中，AE＝DE?tan37°＝180×0.75＝135，
∴AB＝AE﹣BE＝135﹣6031米，
答：该塔AB的高度为31米，
【变式1-4】
某市地铁工程正在加快建设，为了缓解市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警大队在一些主要路口设立了交通路况指示牌，如图所示，小明在离指示牌3.2米的点B处测得指示牌顶端D点和底端E点的仰角分别为52°和30°．求路况指示牌DE的高度．（精确到0.01米，参考数据：≈1.732，sin52°≈0.79，cos52°≈0.62,
tan52°≈1.28．）
【答案】路况指示牌DE的高度约为2.25米．
【解题过程】
解：过点A作AF⊥DC于点F，
在Rt△ADF中，AF=3.2，tan∠DAF=tan52°=，
∴DF=AFtan52°=3.2×1.28≈4.10米．
在Rt△AEF中，AF=3.2，tan∠EAF=tan30°=，
∴EF=AFtan30°=3.2×0.577≈1.85米．
故可得DE=DF﹣EF=2.25米．
答：路况指示牌DE的高度约为2.25米．
考点2：背靠背型
【例2】
如图，一海伦位于灯塔的西南方向，距离灯塔海里的处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，求航程的值（结果保留根号）．
【答案】海里
【解题过程】
解：过P作PC⊥AB于点C，
在Rt△ACP中,PA=海里,∠APC=45°,sin∠APC=,cos∠APC=，
∴AC=AP?sin45°=×=40(海里),PC=AP?cos45°=×=40(海里)，
在Rt△BCP中,∠BPC=60°,tan∠BPC=，
∴BC=PC?tan60°=
(海里)，
则AB=AC+BC=(40+)海里．
【变式2-1】
如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°(点B、C、E在同一水平直线上)，已知AB＝80
m，DE＝10
m，求障碍物B，C两点间的距离．(结果精确到0.1
m，参考数据：≈1.414，≈1.732)
【答案】障碍物B，C两点间的距离为52.7
m.
【解题过程】
解：如解图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H，
则DE＝BF＝CH＝10
m，
在Rt△ADF中，∵AF＝80
m－10
m＝70
m，∠ADF＝45°，
∴DF＝AF＝70
m，
在Rt△CDE中，∵DE＝10
m，∠DCE＝30°，
∴CE＝＝＝10(m)，
∴BC＝BE－CE＝70－10≈70－17.32≈52.7
(m)．
答：障碍物B，C两点间的距离为52.7
m.
【变式2-2】
如图，某巡逻艇计划以40海里/时的速度从A处向正东方向的D处航行，出发1.5小时到达B处时，突然接到C处的求救信号，于是巡逻艇立刻以60海里/时的速度向北偏东30°方向的C处航行，到达C处后，测得A处位于C处的南偏西60°方向，解救后巡逻艇又沿南偏东45°方向航行到D处．
(1)求巡逻艇从B处到C处用的时间；
(2)求巡逻艇实际比原计划多航行了多少海里？(结果精确到1海里)
(参考数据：≈1.73，≈2.45)
【答案】（1）船从B到C的时间为1小时；（2）巡逻艇实际比原计划多航行了52海里
【解题过程】
解：(1)如解图，过C作CE⊥AD，
AB距离为：40×1.5＝60(海里)，
由题意知：∠BCE＝30°，
∠ACE＝60°，
∴∠ACB＝∠ACE－∠BCE＝30°
又∠AEC＝90°，
∴∠A＝30°，
∴∠A＝∠ACB，BC＝AB＝60(海里)，
∴船从B到C的时间为：60÷60＝1(小时)
(2)由BC＝60，∠BCE＝30°得：
CE＝30，
BE＝30，
又∠ECD＝45°，
∴ED＝EC＝30
,
CD＝CE＝30，
∴船多航行的路程为：
实际航行路程
－
原航行路程
＝(AB＋BC＋CD)－(AB＋BE＋ED)
＝(60＋60＋30)－(60＋30＋30)
＝30＋30－30
≈30＋30×2.45－30×1.73
≈52(海里)．
答：巡逻艇实际比原计划多航行了52海里．
【变式2-3】
小亮一家在一湖泊中游玩，湖泊中有一孤岛，妈妈在孤岛P处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图所示）．小船从P处出发，沿北偏东60°方向划行200米到A处，接着向正南方向划行一段时间到B处．在B处小亮观测到妈妈所在的P处在北偏西37°的方向上，这时小亮与妈妈相距多少米（精确到1米）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）
【答案】约288米
【解题过程】
解：过P作PC⊥AB于C，
在Rt△APC中，AP=200m，∠ACP=90°，∠PAC=60°，
∴PC=200×sin60°=200×=100.
∵在Rt△PBC中，，
∴（m）.
答：小亮与妈妈相距约288米.
考点3：实物型
【例3】
太阳能光伏建筑是现代绿色环保建筑之一．老张准备把自家屋顶改建成光伏瓦面，改建前屋顶截面△ABC如图②所示，BC＝10米，∠ABC＝∠ACB＝36°，改建后顶点D在BA的延长线上，且∠BDC＝90°，求改建后南屋面边沿增加部分AD的长．(结果精确到0.1米)
(参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73)．
【答案】AD=1.9米
【解题过程】
解：∵∠BDC＝90°，BC＝10，sin∠B＝，
∴CD＝BC·sin∠B＝10×0.59＝5.9(米)，
∵在Rt△BCD中，∠BCD＝90°－∠B＝90°－36°＝54°，
∴∠ACD＝∠BCD－∠ACB＝54°－36°＝18°，
∴在Rt△ACD中，tan∠ACD＝，
∴AD＝CD·tan∠ACD＝5.9×0.32＝1.888≈1.9(米)．
【变式3-1】
芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型(如图①)．图②是从图①引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端的距离AD为20米，请求出立柱BH的长．(结果精确到0.1米，≈1.732)
【答案】立柱BH长16.3米
【解题过程】
解：∵tan60°＝，
∴tan∠CDH＝tan60°＝＝
，设DH＝x，则CH＝x，
∵tan30°＝，
∴tan∠A＝tan30°＝＝，
即＝
，
∴x＝10－
，
BH＝CH＋BC＝(10－)＋2≈16.3米．
答：立柱BH长16.3米．
【变式3-2】
如图，某同学参加社会实践活动，站在甲、乙两栋楼中间，看甲楼顶部A的仰角为60°，看乙楼顶部C的仰角为45°，已知乙楼的高度为41.5米，该同学的的身高为1.5米．求甲楼AB的高度．(结果保留根号)
【答案】
【解题过程】
解：如图，由题意得，∠AEM=60°，
∠CEN=45°，
EM=EN，CD=41.5m，BM=DN=EF=1.5m，
，
，
，
，
，
，
因此，甲楼AB的高度为．
【变式3-3】
如图，建筑物AB的高为6m，在其正东方向有一个通信塔CD，在它们之间的地面点M（B，M，D三点在一条直线上）处测得建筑物顶端A，塔顶C的仰角分别为37°和60°，在A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高度．（精确到0.01m）
【答案】通信塔CD的高度约为15.90cm．
【解题过程】
解：过点A作AE⊥CD于E，则四边形ABDE是矩形，设CE=xcm．在Rt△AEC中，∠AEC=90°，∠CAE=30°，所以AE==xcm．在Rt△CDM中，CD=CE+DE=CE+AB=（x+6）cm，DM==cm．在Rt△ABM中，BM==cm，AE=BD，所以=+，解得：x=+3，∴CD=CE+ED=+9≈15.90（cm）．
答：通信塔CD的高度约为15.90cm．
【变式3-4】
如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD＝80cm，宽AB＝48cm，小强身高166cm，下半身FG＝100cm，洗漱时下半身与地面成80°（∠FGK＝80°），身体前倾成125°（∠EFG＝125°），脚与洗漱台距离GC＝15cm（点D，C，G，K在同一直线上）．（cos80°≈0.17，sin80°≈0.98，≈1.414）
（1）此时小强头部E点与地面DK相距多少？
（2）小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向前或后退多少？
【答案】(1)
小强的头部点E与地面DK的距离约为144.5
cm.(2)
他应向前9.5
cm.
【解题过程】
解：（1）过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M．
∵EF+FG=166，FG=100，∴EF=66，∵∠FGK=80°，∴FN=100sin80°≈98，∵∠EFG=125°，∴∠EFM=180°﹣125°﹣10°=45°，∴FM=66cos45°=≈46.53，∴MN=FN+FM≈144.5，∴此时小强头部E点与地面DK相距约为144.5cm．
（2）过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于H．∵AB=48，O为AB中点，∴AO=BO=24，∵EM=66sin45°≈46.53，∴PH≈46.53，∵GN=100cos80°≈17，CG=15，∴OH=24+15+17=56，OP=OH﹣PH=56﹣46.53=9.47≈9.5，∴他应向前9.5cm．
考点4：综合型
【例4】
如图，防洪大堤的横截面ABGH是梯形，背水坡AB的坡度i＝1：（垂直高度AE与水平宽度BE的比），AB＝20米，BC＝30米，身高为1.7米的小明（AM＝1.7米）站在大堤A点（M，A，E三点在同一条直线上），测得电线杆顶端D的仰角∠a＝20°．
（1）求背水坡AB的坡角；
（2）求电线杆CD的高度．（结果精确到个位，参考数据sin20°≈0.3，cos20°≈0.9，tan20°≈0.4，1.7）
【答案】（1）∠ABE＝30°（2）电线杆CD的高度约为31米
【解题过程】
解：（1）过M点作MN垂直于CD的于点N．
∵i＝1：
∴∠ABE＝30°，
（2）∵AB＝20m，
∴AEAB20＝10，
BE＝ABcos30°＝2010，
∴CN＝AE+AM＝10+1.7＝11.7，
MN＝CB+BE＝30+10，
∵∠NMD＝30°，MN＝30+10，
∴DN＝MNtan20°＝（30+10）×0.4＝12+4，
∴CD＝CN+DN＝11.7+12+423.7+431．
答：电线杆CD的高度约为31米．
【变式4-1】
如图，某建筑物CD高96米，它的前面有一座小山，其斜坡AB的坡度为i＝1：1．为了测量山顶A的高度，在建筑物顶端D处测得山顶A和坡底B的俯角分别为α、β．已知tanα＝2，tanβ＝4，求山顶A的高度AE（C、B、E在同一水平面上）．
【答案】故山顶A的高度AE为16米
【解题过程】
解：如图，作AF⊥CD于F．设AE＝x米．
∵斜坡AB的坡度为i＝1：1，
∴BE＝AE＝x米．
在Rt△BDC中，∵∠C＝90°，CD＝96米，∠DBC＝∠β，
∴BC24（米），
∴EC＝EB+BC＝（x+24）米，
∴AF＝EC＝（x+24）米．
在Rt△ADF中，∵∠AFD＝90°，∠DAF＝∠α，
∴DF＝AF?tanα＝2（x+24）米，
∵DF＝DC﹣CF＝DC﹣AE＝（96﹣x）米，
∴2（x+24）＝96﹣x，解得x＝16．
故山顶A的高度AE为16米．
四.课堂训练
1．我校兴趣小组同学为测量校外“御墅临枫”的一栋电梯高层AB的楼高，从校前广场的C处测得该座建筑物顶点A的仰角为45°，沿着C向上走到30米处的D点．再测得顶点A的仰角为22°，已知CD的坡度：i＝1：2，A、B、C、D在同一平面内，则高楼AB的高度为（ ）（参考数据；sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）
A．60
B．70
C．80
D．90
【答案】故选：D
【解题过程】
解：作AH⊥ED交ED的延长线于H，
设DE＝x米，
∵CD的坡度：i＝1：2，
∴CE＝2x米，
由勾股定理得，DE2+CE2＝CD2，即x2+（2x）2＝（30）2，
解得，x＝30，
则DE＝30米，CE＝60米，
设AB＝y米，则HE＝y米，
∴DH＝y﹣30，
∵∠ACB＝45°，
∴BC＝AB＝y，
∴AH＝BE＝y+60，
在Rt△AHD中，tan∠DAH，
则0.4，
解得，y＝90，
∴高楼AB的高度为90米，
故选：D．
2．如图①，在我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图②中的线段BC就是悬挂在墙壁AM上的某块匾额的截面示意图．已知BC＝1米，∠MBC＝37°．从水平地面点D处看点C，仰角∠ADC＝45°，从点E处看点B，仰角∠AEB＝53°，且DE＝2.4米，求匾额悬挂的高度AB的长．（参考数据：sin37°，cos37°，tan37°）．
【答案】匾额悬挂的高度是4米．
【解题过程】
解：过C作CF⊥AM于F，过C作CH⊥AD于H，则四边形AHCF是矩形，所以AF＝CH，CF＝AH．
在Rt△BCF中，BC＝1，∠CBF＝37°．
BF＝BCcos37°＝0.8，CF＝BCsin37°＝0.6，
在Rt△BAE中，∠BEA＝53°，所以AEAB，
在Rt△CDH中，∠CDH＝45°，
∴CH＝DH＝FA＝0.8+AB，
∴AD＝AH+DH＝0.6+0.8+AB＝1.4+AB，
∵AD＝AE+DEAB+2.4，
∴1.4+ABAB+2.4，
AB＝4，
答：匾额悬挂的高度是4米．
3．如图，同学们利用所学知识去测量海平面上一个浮标到海岸线的距离．在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向，小宇同学在A处观测得浮标在北偏西60°的方向，小英同学在距点A处60米远的B点测得浮标在北偏西45°的方向，求浮标C到海岸线l的距离（结果精确到0.01m）．
【答案】点C到海岸线l的距离约为81.96km．
【解题过程】
解：如图，过点C作CD⊥AB于D，设CD＝x米，
由题意得∠CBD＝45°，∠CAD＝30°，AB＝45米，
在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，
∴BD＝CD＝x米．
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，AD＝60+x，
则tan∠CAD＝tan
30°，即，
解得81.96．
答：点C到海岸线l的距离约为81.96km．
4．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，
求（1）∠C的度数．
（2）A，C两港之间的距离为多少km．
【答案】（1）∠ACB＝60°（2）A，C两港之间的距离为（30+10
）km．
【解题过程】
解：（1）由题意得：∠ACB＝20°+40°＝60°；
（2）由题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30，
过B作BE⊥AC于E，如图所示：
∴∠AEB＝∠CEB＝90°，
在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵AB＝30
，
∴AE＝BEAB＝30，
在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，tan∠ACB，
∴CE10，
∴AC＝AE+CE＝30+10
，
∴A，C两港之间的距离为（30+10
）km．
5．如图，某小区有甲、乙两座楼房，楼间距BC为50米，在乙楼顶部A点测得甲楼顶部D点的仰角为37°，在乙楼底部B点测得甲楼顶部D点的仰角为60°，则甲、乙两楼的高度为多少？（结果精确到1米，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.73）
【答案】甲、乙两楼的高度分别为87米，49米
【解题过程】
解：作AE⊥CD于E．则四边形ABCE是矩形．
在Rt△BCD中，CD＝BC?tan60°＝5087（米），
在Rt△ADE中，∵DE＝AE?tan37°＝50×0.75≈38（米），
∴AB＝CE＝CD﹣DE＝87﹣38＝49（米）．
答：甲、乙两楼的高度分别为87米，49米．
6．如图，MN为一电视塔，AB是坡角为30°的小山坡（电视塔的底部N与山坡的坡脚A在同一水平线上，被一个人工湖隔开），某数学兴趣小组准备测量这座电视塔的高度．在坡脚A处测得塔顶M的仰角为45°；沿着山坡向上行走40m到达C处，此时测得塔顶M的仰角为30°，请求出电视塔MN的高度．（参考数据：≈1.41，≈1.73，结果保留整数）
【答案】电视塔MN的高度约为95m．
【解题过程】
解：过点C作CE⊥AN于点E，CF⊥MN于点F，
在△ACE中，AC＝40m，∠CAE＝30°
∴CE＝FN＝20m，AE＝20m
设MN＝x
m，则AN＝xm．FC＝xm，
在Rt△MFC中
MF＝MN﹣FN＝MN﹣CE＝x﹣20
FC＝NE＝NA+AE＝x+20，
∵∠MCF＝30°
∴FC＝MF，
即x+20（x﹣20）
解得：x═60+2095m
答：电视塔MN的高度约为95m．
7．为缓解交通压力，市郊某地正在修建地铁站，拟同步修建地下停车库．如图是停车库坡道入口的设计图，其中MN是水平线，MN∥AD，AD⊥DE，CF⊥AB，垂足分别为D，F，坡道AB的坡度＝1：3，AD＝9米，点C在DE上，CD＝0.5米，CD是限高标志牌的高度（标志牌上写有：限高 2.3 米）．如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF的长，则该停车库限高多少米？（结果精确到0.1米，参考数据：1.41，1.73，3.16）
【答案】2.3
【解题过程】
解：据题意得tanB，
∵MN∥AD，
∴∠A＝∠B，
∴tanA，
∵DE⊥AD，
∴在Rt△ADE中，tanA，
∵AD＝9，
∴DE＝3，
又∵DC＝0.5，
∴CE＝2.5，
∵CF⊥AB，
∴∠FCE+∠2＝90°，
∵DE⊥AD，
∴∠A+∠CEF＝90°，
∴∠A＝∠FCE，
∴tan∠FCE
在Rt△CEF中，CE2＝EF2+CF2
设EF＝x，CF＝3x（x＞0），CE＝2.5，
代入得（）2＝x2+（3x）2
解得x（如果前面没有“设x＞0”，则此处应“x＝±，舍负”），
∴CF＝3x2.3，
∴该停车库限高2.3米．
故答案为2.3．
Syman
