人教版八年级下册数学 17.1勾股定理 同步练习（Word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级下册数学 17.1勾股定理 同步练习（Word版 含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 230.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-01-24 09:43:20 | ||
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文档简介
17.1勾股定理 同步练习
一．选择题
1．直角三角形的两条边长为5和12，它的斜边长为（ ）
A．13 B． C．13或 D．13或12
2．以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（ ）
A．6 B．36 C．64 D．8
3．如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（ ）
A．16 B．25 C．144 D．169
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4．分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于（ ）
A．2π B．3π C．4π D．8π
5．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD⊥AB，则CD等于（ ）
A．4.8 B．14 C．10 D．2.4
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发，沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的值不可能为（ ）
A．5 B．8 C． D．
7．如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（ ）
A．1 B．1.4 C． D．
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是（ ）
A．3 B．5 C． D．6
9．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（ ）
A．S1+S2+S3＝S4 B．S1+S2＝S3+S4
C．S1+S3＝S2+S4 D．不能确定
10．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放入最大的正方形内，若图2中阴影部分的面积为4，且AC+BC＝7，则AB的长为（ ）
A．5 B．9 C． D．
二．填空题
11．为了比较与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C＝90°，BC＝3，D在BC上且BD＝AC＝1，通过计算可得 ．（填“＞”或“＜”或“＝”）．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离CD＝ ．
13．在Rt△ABC中，斜边AB＝3，则AB2+BC2+CA2＝ ．
14．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，P为直线AB上一动点，连PC．
（1）线段PC的最小值是 ．
（2）当PC＝5时，AP长是 ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的取值为 ．
三．解答题
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，若CD＝1.5，BD＝2.5．
（1）∠2＝∠B，求AC的长．
（2）∠1＝∠2，求AC的长．
17．两块三角板如图放置，已知∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ABC＝45°，∠ACD＝30°，BC＝6cm．
（1）分别求线段AD，CD的长度；
（2）求BD2的值．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F．
（1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长度；
（2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．
17.1勾股定理 同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：当12是直角边时，斜边长＝＝13．
故它的斜边长为13或12．
故选：D．
2．解：如图，∵∠CBD＝90°，CD2＝14，BC2＝8，
∴BD2＝CD2﹣BC2＝6，
∴正方形A的面积为6，
故选：A．
3．解：
根据勾股定理得出：AB＝，
∴EF＝AB＝5，
∴阴影部分面积是25，
故选：B．
4．解：∵S1＝π（）2＝πAC2，S2＝πBC2，
∴S1+S2＝π（AC2+BC2）＝πAB2＝2π．
故选：A．
5．解：∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∴AC?BC＝AB?CD，即6×8＝10×CD，
解得，CD＝4.8，
故选：A．
6．解：在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16，
∴BC＝4cm，
如图1，当AB＝BP＝5cm时，t＝5；
如图2，当AB＝AP时，BP＝2BC＝8cm，
∴t＝8；
如图3，当BP＝AP时，设AP＝BP＝xcm，
则CP＝（4﹣x）cm，AC＝3cm．
在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，
∴x2＝32+（4﹣x）2，
解得，x＝，
∴t＝，
综上所述，当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝，
当t＝时，△ABP不是等腰三角形，
故选：C．
7．解：由勾股定理得，OB＝＝，
则OA＝OB＝，
∴点A表示的数是，
故选：C．
8．解：连接DE，如图所示，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵AD＝AC＝6，AF⊥CD，
∴DF＝CF，
∴CE＝DE，BD＝AB﹣AD＝4，
在△ADE和△ACE中，
，
∴△ADE≌△ACE（SSS），
∴∠ADE＝∠ACE＝90°，
∴∠BDE＝90°，
设CE＝DE＝x，则BE＝8﹣x，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE2+BD2＝BE2，
即x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3；
∴CE＝3；
∴BE＝8﹣3＝5．
故选：B．
9．解：如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a，
∵△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形，
∴S1＝S△ACG﹣S5＝b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6＝a2﹣S6，
∴S1+S3＝（a2+b2）﹣S5﹣S6，
∵S2+S4＝S△ABF﹣S5﹣S6＝c2﹣S5﹣S6，
∵c2＝a2+b2，
∴S1+S3＝S2+S4，
故选：C．
10．解：设AC＝b，AB＝c，BC＝a，则a+b＝7，c2＝a2+b2，HG＝c﹣b，DG＝c﹣a，
则阴影部分的面积S＝HG?DG＝（c﹣b）（c﹣a）＝4，
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝49，
∴ab＝，
∴S＝c2﹣c（a+b）+ab＝c2﹣7c+＝4，
解得c1＝5，c2＝10（舍去）．
故选：A．
二．填空题
11．解：∵∠C＝90°，BC＝3，BD＝AC＝1，
∴CD＝2，AD＝＝，AB＝＝，
∴BD+AD＝+1，
又∵△ABD中，AD+BD＞AB，
∴+1＞，
故答案为：＜．
12．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∵BC＝12，AC＝9，
∴AB＝＝＝15，
∵△ABC的面积＝AC?BC＝AB?CD，
∴CD＝＝＝，
故答案为：．
13．解：∵△ABC为直角三角形，AB为斜边，
∴AC2+BC2＝AB2，又AB＝3，
∴AC2+BC2＝AB2＝9，
则AB2+BC2+CA2＝AB2+（BC2+CA2）＝9+9＝18．
故答案为：18
14．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
由垂线段最短得：当PC⊥AB时，PC的值最小，
此时，△ABC的面积＝?AB?PC＝?AC?BC，
∴AB?PC＝AC?BC，
∴PC＝＝＝4.8，
故答案为：4.8；
（2）过C作CQ⊥BC于Q，如图所示：
同（1）得：CQ＝4.8，
由勾股定理得：AQ＝＝＝3.6，PQ＝＝＝1.4，
当P在线段BQ上时，AP＝AQ+PQ＝3.6+1.4＝5；
当P在线段AQ上时，AP＝AQ﹣PQ＝3.6﹣1.4＝2.2；
综上所述，AP的长为5或2.2，
故答案为：5或2.2．
15．解：在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16，
∴BC＝4（cm）；
①当AB＝BP时，如图1，t＝5；
②当AB＝AP时，如图2，BP＝2BC＝8cm，t＝8；
③当BP＝AP时，如图3，AP＝BP＝tcm，CP＝（4﹣t）cm，AC＝3cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，
所以t2＝32+（4﹣t）2，
解得：t＝，
综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝．
故答案为：5或t＝8或t＝．
三．解答题
16．解：（1）∵∠2＝∠B，
∴AD＝BD＝2.5，
∵∠C＝90°，CD＝1.5，
∴AC＝，
（2）过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠1＝∠2，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴CD＝DE＝1.5，AC＝AE，
在Rt△DEB中，BE＝，
在Rt△ACB中，AC2＝AB2﹣BC2，
即AC2＝（AE+EB）2﹣（CD+DB）2，
可得：AC2＝（AC+2）2﹣（1.5+2.5）2，
解得：AC＝3．
17．解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝45°，
∴AB＝AC＝BC＝6，
在Rt△ADC中，∠ACD＝30°，
∴AD＝AC＝3，
由勾股定理得，CD＝＝3；
（2）过点B作BE⊥AD交DA的延长线于E，
由题意得，∠BAE＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴BE＝AB＝3，
由勾股定理得，AE＝＝3，
∴DE＝AE+AD＝3+3，
∴BD2＝BE2+DE2＝32+（3+3）2＝45+18．
18．（1）解：如图1，∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵BC＝10，
∴BD＝5，
Rt△ABD中，∵AB＝13，
∴AD＝＝＝12，
Rt△BDF中，∵∠CBE＝45°，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴DF＝BD＝5，
∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7；
（2）证明：如图2，在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CH，
在△CHB和△AEF中，
∵，
∴△CHB≌△AEF（SAS），
∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，
∴∠CEF＝∠CHE，
∴CE＝CH，
∵BD＝CD，FD⊥BC，
∴CF＝BF，
∴∠CFD＝∠BFD＝45°，
∴∠CFB＝90°，
∴EF＝FH，
Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2，
∴BF2+EF2＝AE2．
一．选择题
1．直角三角形的两条边长为5和12，它的斜边长为（ ）
A．13 B． C．13或 D．13或12
2．以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（ ）
A．6 B．36 C．64 D．8
3．如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（ ）
A．16 B．25 C．144 D．169
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4．分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于（ ）
A．2π B．3π C．4π D．8π
5．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD⊥AB，则CD等于（ ）
A．4.8 B．14 C．10 D．2.4
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发，沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的值不可能为（ ）
A．5 B．8 C． D．
7．如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（ ）
A．1 B．1.4 C． D．
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是（ ）
A．3 B．5 C． D．6
9．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（ ）
A．S1+S2+S3＝S4 B．S1+S2＝S3+S4
C．S1+S3＝S2+S4 D．不能确定
10．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放入最大的正方形内，若图2中阴影部分的面积为4，且AC+BC＝7，则AB的长为（ ）
A．5 B．9 C． D．
二．填空题
11．为了比较与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C＝90°，BC＝3，D在BC上且BD＝AC＝1，通过计算可得 ．（填“＞”或“＜”或“＝”）．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离CD＝ ．
13．在Rt△ABC中，斜边AB＝3，则AB2+BC2+CA2＝ ．
14．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，P为直线AB上一动点，连PC．
（1）线段PC的最小值是 ．
（2）当PC＝5时，AP长是 ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的取值为 ．
三．解答题
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，若CD＝1.5，BD＝2.5．
（1）∠2＝∠B，求AC的长．
（2）∠1＝∠2，求AC的长．
17．两块三角板如图放置，已知∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ABC＝45°，∠ACD＝30°，BC＝6cm．
（1）分别求线段AD，CD的长度；
（2）求BD2的值．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F．
（1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长度；
（2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．
17.1勾股定理 同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：当12是直角边时，斜边长＝＝13．
故它的斜边长为13或12．
故选：D．
2．解：如图，∵∠CBD＝90°，CD2＝14，BC2＝8，
∴BD2＝CD2﹣BC2＝6，
∴正方形A的面积为6，
故选：A．
3．解：
根据勾股定理得出：AB＝，
∴EF＝AB＝5，
∴阴影部分面积是25，
故选：B．
4．解：∵S1＝π（）2＝πAC2，S2＝πBC2，
∴S1+S2＝π（AC2+BC2）＝πAB2＝2π．
故选：A．
5．解：∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∴AC?BC＝AB?CD，即6×8＝10×CD，
解得，CD＝4.8，
故选：A．
6．解：在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16，
∴BC＝4cm，
如图1，当AB＝BP＝5cm时，t＝5；
如图2，当AB＝AP时，BP＝2BC＝8cm，
∴t＝8；
如图3，当BP＝AP时，设AP＝BP＝xcm，
则CP＝（4﹣x）cm，AC＝3cm．
在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，
∴x2＝32+（4﹣x）2，
解得，x＝，
∴t＝，
综上所述，当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝，
当t＝时，△ABP不是等腰三角形，
故选：C．
7．解：由勾股定理得，OB＝＝，
则OA＝OB＝，
∴点A表示的数是，
故选：C．
8．解：连接DE，如图所示，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵AD＝AC＝6，AF⊥CD，
∴DF＝CF，
∴CE＝DE，BD＝AB﹣AD＝4，
在△ADE和△ACE中，
，
∴△ADE≌△ACE（SSS），
∴∠ADE＝∠ACE＝90°，
∴∠BDE＝90°，
设CE＝DE＝x，则BE＝8﹣x，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE2+BD2＝BE2，
即x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3；
∴CE＝3；
∴BE＝8﹣3＝5．
故选：B．
9．解：如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a，
∵△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形，
∴S1＝S△ACG﹣S5＝b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6＝a2﹣S6，
∴S1+S3＝（a2+b2）﹣S5﹣S6，
∵S2+S4＝S△ABF﹣S5﹣S6＝c2﹣S5﹣S6，
∵c2＝a2+b2，
∴S1+S3＝S2+S4，
故选：C．
10．解：设AC＝b，AB＝c，BC＝a，则a+b＝7，c2＝a2+b2，HG＝c﹣b，DG＝c﹣a，
则阴影部分的面积S＝HG?DG＝（c﹣b）（c﹣a）＝4，
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝49，
∴ab＝，
∴S＝c2﹣c（a+b）+ab＝c2﹣7c+＝4，
解得c1＝5，c2＝10（舍去）．
故选：A．
二．填空题
11．解：∵∠C＝90°，BC＝3，BD＝AC＝1，
∴CD＝2，AD＝＝，AB＝＝，
∴BD+AD＝+1，
又∵△ABD中，AD+BD＞AB，
∴+1＞，
故答案为：＜．
12．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∵BC＝12，AC＝9，
∴AB＝＝＝15，
∵△ABC的面积＝AC?BC＝AB?CD，
∴CD＝＝＝，
故答案为：．
13．解：∵△ABC为直角三角形，AB为斜边，
∴AC2+BC2＝AB2，又AB＝3，
∴AC2+BC2＝AB2＝9，
则AB2+BC2+CA2＝AB2+（BC2+CA2）＝9+9＝18．
故答案为：18
14．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
由垂线段最短得：当PC⊥AB时，PC的值最小，
此时，△ABC的面积＝?AB?PC＝?AC?BC，
∴AB?PC＝AC?BC，
∴PC＝＝＝4.8，
故答案为：4.8；
（2）过C作CQ⊥BC于Q，如图所示：
同（1）得：CQ＝4.8，
由勾股定理得：AQ＝＝＝3.6，PQ＝＝＝1.4，
当P在线段BQ上时，AP＝AQ+PQ＝3.6+1.4＝5；
当P在线段AQ上时，AP＝AQ﹣PQ＝3.6﹣1.4＝2.2；
综上所述，AP的长为5或2.2，
故答案为：5或2.2．
15．解：在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16，
∴BC＝4（cm）；
①当AB＝BP时，如图1，t＝5；
②当AB＝AP时，如图2，BP＝2BC＝8cm，t＝8；
③当BP＝AP时，如图3，AP＝BP＝tcm，CP＝（4﹣t）cm，AC＝3cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，
所以t2＝32+（4﹣t）2，
解得：t＝，
综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝．
故答案为：5或t＝8或t＝．
三．解答题
16．解：（1）∵∠2＝∠B，
∴AD＝BD＝2.5，
∵∠C＝90°，CD＝1.5，
∴AC＝，
（2）过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠1＝∠2，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴CD＝DE＝1.5，AC＝AE，
在Rt△DEB中，BE＝，
在Rt△ACB中，AC2＝AB2﹣BC2，
即AC2＝（AE+EB）2﹣（CD+DB）2，
可得：AC2＝（AC+2）2﹣（1.5+2.5）2，
解得：AC＝3．
17．解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝45°，
∴AB＝AC＝BC＝6，
在Rt△ADC中，∠ACD＝30°，
∴AD＝AC＝3，
由勾股定理得，CD＝＝3；
（2）过点B作BE⊥AD交DA的延长线于E，
由题意得，∠BAE＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴BE＝AB＝3，
由勾股定理得，AE＝＝3，
∴DE＝AE+AD＝3+3，
∴BD2＝BE2+DE2＝32+（3+3）2＝45+18．
18．（1）解：如图1，∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵BC＝10，
∴BD＝5，
Rt△ABD中，∵AB＝13，
∴AD＝＝＝12，
Rt△BDF中，∵∠CBE＝45°，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴DF＝BD＝5，
∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7；
（2）证明：如图2，在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CH，
在△CHB和△AEF中，
∵，
∴△CHB≌△AEF（SAS），
∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，
∴∠CEF＝∠CHE，
∴CE＝CH，
∵BD＝CD，FD⊥BC，
∴CF＝BF，
∴∠CFD＝∠BFD＝45°，
∴∠CFB＝90°，
∴EF＝FH，
Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2，
∴BF2+EF2＝AE2．