2020-2021学年粤教版(2019)必修第二册
1.2 运动的合成与分解 学案
学习目标
1.理解什么是合运动,什么是分运动.
2.知道运动的独立性.(难点)
3.掌握运动的合成与分解的方法.会分析小船过河模型和关联物体的速度分解(重点、难点)
知识点一 运动的分析
1.如图所示,用小锤击打弹性金属片,使球沿水平方向飞出.球从抛出点A沿曲线路径运动到落地点D.从运动的效果来看,这一过程可以分解为两个同时进行的分运动,一个是在水平方向上从点A到点B的直线运动,另一个是在竖直方向上从点A到点C的直线运动.实际发生的运动可以看成上述两个分运动合成的结果.
2.在竖直和水平两个方向上的分运动互不影响,具有独立性.
知识点二 位移和速度的合成与分解
1.和力的合成与分解类似,位移的合成与分解同样遵循平行四边形法则,如图甲所示.由位移、时间和速度的关系可知,速度的合成与分解也同样遵循平行四边形法则,如图乙所示.
图甲
图乙
2.可以应用运动合成与分解的方法,通过位移和速度的合成与分解,把复杂运动转化为简单运动进行研究.
小试身手
1.关于运动的独立性,下列说法正确的是( )
A.运动是独立的,是不可分解的
B.物体同时参与的几个分运动是互不干扰、互不影响的
C.合运动和分运动是各自独立的,是没有关系的
D.各分运动是各自独立的,是不能合成的
解析:运动的独立性是指一个物体同时参与的几个分运动是各自独立、互不影响的,故只有选项B正确.
答案:B
2.关于合运动、分运动的说法,正确的是( )
A.合运动的位移为分运动位移的矢量和
B.合运动的位移一定比其中的一个分位移大
C.合运动的速度一定比其中的一个分速度大
D.合运动的时间一定比分运动的时间长
解析:位移是矢量,其运算满足平行四边形法则,A正确;合运动的位移可大于分位移,也可小于分位移,还可等于分位移,B错误;同理可知C错误;合运动和分运动具有等时性,D错误.
答案:A
学习小结 1.合运动、分运动.
2.运动的合成与分解.
3.分运动的独立性
探究一 运动的合成与分解方法
1.合运动与分运动的关系.
等效性 各分运动的共同效果与合运动的效果相同
等时性 各分运动与合运动同时发生,同时结束
独立性 各分运动之间互不相干,彼此独立,互不影响
同体性 各分运动与合运动是同一物体的运动
2.运动的合成与分解的方法.
运动的合成与分解是指描述运动的各物理量,即位移、速度、加速度的合成与分解,由于它们都是矢量,合成与分解遵循平行四边形定则.
(1)如果两个分运动都在同一条直线上,需选取正方向,与正方向同向的量取“+”,与正方向反向的量取“-”,则矢量运算简化为代数运算.
(2)如果两个分运动互成角度,则遵循平行四边形定则,如图所示.
(3)两个相互垂直的分运动的合成:如果两个分运动都是直线运动,且互成角度为90°,其分位移为s1、s2,分速度为v1、v2,分加速度为a1、a2,则其合位移s、合速度v和合加速度a,可以运用解直角三角形的方法求得,如图所示.
【典例1】 一物体在光滑水平面上运动,它在x轴方向和y轴方向上的两个分运动的速度—时间图像如图所示.(计算结果可保留根号)
(1)判断物体的运动性质;
(2)计算t=4.5 s时物体的速度大小;
(3)计算物体在前6 s内的位移大小.
解析:(1)由题图可看出,物体沿x轴方向的分运动为匀速直线运动,加速度为0;沿y轴方向的分运动为匀变速直线运动,加速度方向沿y轴正方向.合运动的初速度与加速度不在同一直线上,故物体做匀变速曲线运动.
科学反思
判断合运动性质的方法
分析两个直线运动的合运动的性质时,应先根据平行四边形定则,求出合运动的合初速度v0和合加速度a,然后进行判断:
1.判断是否做匀变速运动:若a恒定,物体做匀变速运动;若a变化,物体做变加速运动.
2.判断轨迹曲直:若a与v0共线,则做直线运动;若a与v0不共线,则做曲线运动.
训练:
1.两个互成角度的匀变速直线运动,初速度分别为v1和v2,加速度分别为a1和a2,它们的合运动的轨迹( )
A.如果v1=v2≠0,那么轨迹一定是直线
B.如果v1=v2≠0,那么轨迹一定是曲线
C.如果a1=a2,那么轨迹一定是直线
D.如果=,那么轨迹一定是直线
解析:本题考查两直线运动合运动性质的确定,解题关键是明确做曲线运动的条件是合外力的方向(即合加速度的方向)与速度的方向不在一条直线上.如果=,那么,合加速度的方向与合速度的方向一定在一条直线上,所以D正确.
答案:D
2.如图甲所示,竖直放置、两端封闭的玻璃管中注满清水,内有一个能在水中以0.3 m/s的速度匀速上浮的红蜡块.若红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时,使玻璃管水平匀速向右运动,测得红蜡块实际运动的方向与水平方向的夹角为37°,则:
(sin 37°=0.6,cos 37°=0.8)
(1)根据题意可知玻璃管水平方向的移动速度为 m/s.
(2)如图乙所示,若红蜡块从A点匀速上浮的同时,使玻璃管水平向右做匀加速直线运动,则红蜡块实际运动的轨迹是图中的 .
A.直线P B.曲线Q
C.曲线R D.无法确定
解析:(1)据平行四边形定则可知,玻璃管水平方向的移动速度为v2== m/s=0.4 m/s.
(2)红蜡块在竖直方向做匀速运动,在水平方向做匀加速直线运动,则红蜡块所受的合力方向水平向右,合速度方向与合力方向不共线,红蜡块做曲线运动;因为合力的方向指向轨迹的凹侧,可知红蜡块实际运动的轨迹是图中的曲线Q.
答案:(1)0.4 (2)B
探究二 小船渡河问题
1.小船参与的两个分运动:小船在河流中实际的运动(站在岸上的观察者看到的运动)可视为船同时参与了这样两个分运动:
(1)船相对水的运动(即船在静水中的运动),它的方向与船身的指向相同;
(2)船随水漂流的运动(该速度等于水的流速),它的方向与河岸平行.
船在流水中实际的运动(合运动)是上述两个分运动的合成.
2.两类最值问题.
(1)渡河时间最短问题:若要渡河时间最短,由于水流速度始终沿河道方向,不能提供指向河对岸的分速度,因此,只要使船头垂直于河岸航行即可.由图可知,t短=,此时船渡河的位移x=,位移方向满足tan θ=.
(2)渡河位移最短——求解渡河位移最短问题,分为两种情况:
①若v水②若v水>v船,这时无论船头指向什么方向,都无法使船垂直河岸渡河,即最短位移不可能等于河宽d,寻找最短位移的方法是:如图2所示,按水流速度和船在静水中速度大小的比例,先从出发点A开始做矢量v水,再以v水末端为圆心,v船为半径画圆弧,自出发点A向圆弧做切线为船位移最小时的合运动的方向.这时船头与河岸夹角θ满足cos θ=,最短位移s短==,即v船⊥v合时位移最短,此时过河时间t=.
【典例2】 一小船在200 m宽的河中横渡,水流速度是2 m/s,船在静水中的航速是4 m/s,则:
(1)小船怎样才能以最短时间渡过河去?需用时多少?
(2)小船怎样才能以最短路程渡过河去?需用时多少?
核心点拨:(1)当船头的方向与河岸垂直时,渡河时间最短.
(2)当合速度的方向与河岸垂直时,渡河路程最短.
解析:(1)要使小船渡河时间最短,应使船头方向垂直对岸行驶,如图甲所示.
图甲 图乙
其渡河时间t== s=50 s.
(2)要使小船以最短路程渡河,合速度方向应垂直对岸,如图乙所示.则cos θ===,得θ=60°,即船头与上游河岸成60°角,这时v=v2sin θ=2 m/s,
渡河时间t′== s= s≈57.7 s.
答案:见解析
训练:
3.(多选)一只小船在静水中的速度为4 m/s,要过宽为30 m、水流速度为3 m/s的河流.下列说法中正确的是( )
A.此船不可能渡过此河
B.此船可能垂直到达正对岸
C.此船过河的最短时间为6 s
D.此船的合速度可能为6 m/s
解析:由题意可知船速大于水速,则船可以垂直到达对岸;小船过河的最短时间等于船头垂直于河岸过河的时间,为7.5 s;小船过河的合速度v合满足1 m/s答案:BD
4.(多选)一条宽为L的河流,河水流速为v1,船在静水中的速度为v2,v1、v2均不等于零.设船头的指向与上游河岸的夹角为θ,要使船划到对岸时航程最短,则θ可能满足( )
A.sin θ= B.tan θ=
C.cos θ= D.cos θ=
解析:由题意可知,当船在静水中的速度大于河水流速,即v2>v1时,船的合速度垂直河岸,航程最短,如图所示,有cos θ=.
当船在静水中的速度小于河水流速,即v2<v1时,船的合速度垂直船的速度,航程最短,如图所示,有cos θ=.
故C、D正确.
答案:CD
探究三 关联速度问题
1.“关联速度”特点.
用绳、杆相牵连的物体,在运动过程中,两物体的速度通常不同,但物体沿绳或杆方向的速度分量大小相等.
2.常用的解题思路和方法.
(1)先确定合运动的方向(物体实际运动的方向),然后分析这个合运动所产生的实际效果(一方面是使绳或杆伸缩的效果,另一方面是使绳或杆转动的效果).
(2)确定两个分速度的方向(沿绳或杆方向的分速度和垂直于绳或杆方向的分速度).
(3)按平行四边形定则将合速度进行分解,画出速度分解图.
(4)根据三角形的边角关系解三角形,得到分速度大小.
【典例3】 如图所示,一根长直轻杆AB在墙角沿竖直墙和水平地面滑动.当AB杆和墙的夹角为θ时,杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1,B端沿地面滑动的速度大小为v2,则v1、v2的关系是( )
A.v1=v2 B.v1=v2cos θ
C.v1=v2tan θ D.v1=v2sin θ
解析:如图所示,将杆的A端的速度沿杆的方向和垂直于杆的方向进行分解可得,沿杆方向的分速度为v1∥=v1cos θ,将杆的B端的速度沿杆的方向和垂直于杆的方向进行分解可得,沿杆方向的分速度v2∥=v2sin θ.由于v1∥=v2∥,解得v1=v2tan θ.故C正确,A、B、D错误.
答案:C
科学反思
关于绳端或杆端速度分解的思路:
1.确定合运动方向.
2.分析合运动效果.
3.沿绳或杆和垂直于绳或杆方向分解.
4.沿绳或杆方向的分速度大小相等,列方程求解.
训练:
5.如图所示,重物M通过两个定滑轮连接着两个质量均为m的物体.由于对称.图中两滑轮之间的绳与竖直方向夹角均为β,当β=60°且重物下降的速率为v时,两边质量为m的物体速度大小为( )
A.v B. C.v D.
解析:此题与物体沿竖直杆下落时情况相似,可将物体M的速度分解为沿绳子方向的速度v1和垂直绳子方向的速度,如图所示.根据三角函数可知:
vcos β=v1;
解得两边质量为m的物体速度大小:v1=v;选项B正确.
答案:B
课堂小结