2020-2021学年粤教版（2019）必修第二册 2.3 生活中的圆周运动 学案

2020-2021学年粤教版（2019）必修第二册
2.3 生活中的圆周运动 学案
学习目标
1.理解汽车通过公路弯道时的向心力来源.（重点）
2.理解火车通过铁路弯道时的向心力来源.（重点）
3.会分析物体过拱形、凹形路面时的受力情况.
4.绳模型和杆模型的理解应用（重点、难点）
知识点一　公路弯道
1.向心力来源.
汽车在水平公路上转弯时相当于在做圆周运动，此时向心力由车轮与路面间的静摩擦力f来提供.即f＝m，解得v＝.
2.安全分析.
由上式知，急转弯处半径r较小，雨天路滑使最大静摩擦力fmax减小，汽车质量m过大，这三种情况都需要在转弯时限制速度的大小v，否则汽车很容易向弯道外侧打滑，引发交通事故.
3.汽车在倾斜路面上转弯时的向心力分析.
汽车在内低外高的倾斜路面转弯时，向弯道内侧倾斜，重力mg和地面支持力FN的合力F指向弯道内侧.设弯道倾角为θ，若此时合力F恰好可以提供汽车转弯所需向心力，根据牛顿第二定律，可得
F＝mgtan θ＝m，
解得汽车转弯速度的大小
v＝.
上式表示，仅由重力和支持力的合力提供向心力时的汽车速度.
知识点二　铁路弯道
1.向心力来源.
工程师们在设计铁路时，让弯道处铁轨的外轨略高于内轨，巧妙地借助火车受到的支持力和重力的合力提供部分向心力，减轻轮缘对外轨的挤压.
2.速度限定.
根据公式v＝ 知，可以适当加大铁路弯道半径r，适当增大轨道的倾斜角θ来提高弯道的通行速度，但后者不宜过分采取.
知识点三　拱形与凹形路面
1.过拱形桥顶（如图甲）.
（1）合力等于向心力：mg－FN＝m，FN＜mg，汽车处于失重状态，速度越大，支持力越小.
（2）汽车安全过桥的条件：由mg－FN＝m知，当FN＝0时，v＝，这时汽车会以该速度从桥顶做平抛运动.故汽车安全过桥的条件是在桥顶的速度v＜.
2.过凹形桥底（如图乙）.
合力等于向心力：FN－mg＝m，FN＞mg，汽车处于超重状态，速度越大，支持力越大.因此，汽车经过凹形路面时不宜高速行驶，否则容易发生爆胎意外.
小试身手
1.在水平面上转弯的汽车，向心力是（　　）
A.重力和支持力的合力
B.静摩擦力
C.滑动摩擦力
D.重力、支持力和牵引力的合力
解析：水平面上转弯的汽车，重力和地面对汽车的支持力相平衡，向心力由指向圆心的静摩擦力提供，故B正确，A、C、D错误.
答案：B
2.（多选）铁路转弯处的弯道半径r是由地形决定的，弯道处要求外轨比内轨高，其内、外轨高度差h的设计不仅与r有关，还与火车在弯道上的行驶速度v有关.下列说法正确的是（　　）
A.v一定时，r越大，要求h越大
B.v一定时，r越小，要求h越大
C.r一定时，v越小，要求h越大
D.r一定时，v越大，要求h越大
解析：设内外轨的距离为d，根据火车转弯时，重力与支持力的合力提供向心力得：mgtan θ≈mg＝m，当v一定时，r越大则要求h越小，r越小则要求h越大，A错，B对.r一定时，v越大则要求h越大，v越小则要求h越小，C错，D对.
答案：BD
学习小结 1.汽车通过公路弯道时的向心力分析.
2.火车通过弯道时的向心力分析.
3.拱形桥与凹形桥的区别
探究一　火车转弯问题
1.转弯轨道特点.
（1）火车转弯时重心高度不变，轨道是圆弧，轨道圆面在水平面内.
（2）转弯轨道外高内低，这样设计是使火车受到的支持力向内侧发生倾斜，以提供做圆周运动的向心力.
【典例1】　有一列重为100 t的火车，以72 km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400 m.（g取10 m/s2）
（1）试计算铁轨受到的侧压力大小；
（2）若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基.试计算路基倾斜角度θ的正切值.
解：（1）v＝72 km/h＝20 m/s，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力，所以有
Fn＝m＝ N＝1×105 N，
由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小等于1×105 N.
（2）火车过弯道，重力和铁轨对火车的支持力的合力提供向心力，如图所示，
则mgtan θ＝m，
由此可得tan θ＝＝0.1.
答案：（1）1×105 N　（2）0.1
训练：
1.铁路在弯道处的内、外轨道高度是不同的，已知内、外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度等于，则（　　）
A.内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B.外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C.这时铁轨对火车的支持力等于
D.这时铁轨对火车的支持力大于
解析：火车在水平面内运动，所以在竖直方向上受力平衡，所以铁轨对火车的支持力FN的竖直分量与重力平衡，即FNcos θ＝mg，所以，FN＝，故C正确，D错误；铁轨对火车的支持力FN的水平分量为FNsin θ＝mgtan θ，火车在弯道半径为R的转弯处的速度v＝，所以火车转弯时需要的向心力F＝＝mgtan θ，支持力的水平分量正好等于向心力，故火车轮缘对内外轨道无挤压，故A、B错误.
答案：C
2.（多选）在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨.如图所示，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，两轨所在面的倾角为θ，则（　　）
A.该弯道的半径r＝
B.当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压
C.当火车质量变大时，规定的行驶速度变小
D.当火车速率大于v时，外轨将受到轮缘的挤压
解析：火车拐弯时不侧向挤压车轮轮缘，靠重力和支持力的合力提供向心力，转弯处斜面的倾角为θ，根据牛顿第二定律得：mg tan θ＝m，解得：r＝，故A正确.当火车速率大于v时，重力和支持力的合力不够提供向心力，此时外轨对火车有侧压力，轮缘挤压外轨，故B错误，D正确.根据牛顿第二定律得：mg tan θ＝m，解得：v＝　与质量无关，故C错误.
答案：AD
探究二　轻绳模型与轻杆模型的比较
（多选）如图所示，一长为L的轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使得小球在竖直平面内做圆周运动，小球在最高点的速率为v，以下说法正确的是（　　）
A.v的最小值是0
B.小球过最高点时，杆对小球的弹力一定为零
C.v由逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐减小
D.v由逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐增大
解析：杆既可以提供拉力，又可以提供支持力，所以小球到达最高点时的速度可以等于零，故A正确；小球在最高点时，如果速度恰好为，则此时恰好只有重力作为它的向心力，杆和球之间没有作用力，如果速度不等于，杆对小球的弹力就不为零，故B错误；当v＞时，根据牛顿第二定律得：T＋mg＝m，
当v>逐渐增大时，T逐渐增大，故C错误；
当v<时，根据牛顿第二定律得：mg－T＝m，
v由逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐增大，故D正确.
答案：AD
科学反思
在解答竖直平面内物体的圆周运动问题时，首先要确定是属于轻“绳”模型，还是轻“杆”模型，然后注意区分两者在最高点的最小速度要求，区分绳与杆的施力特点，必要时还要根据牛顿运动定律列式求解.
3.如图所示，过山车的轨道可视为竖直平面内半径为R的圆轨道.质量为m的游客随过山车一起运动，当游客以速度v经过圆轨道的最高点时（　　）
A.处于超重状态
B.速度v的大小一定为
C.向心加速度方向竖直向下
D.座位对游客的作用力为m
解析：在最高点，游客受重力和座位的作用力，合力提供向心力，合力向下，加速度方向竖直向下，游客处于失重状态，A错，C对.在最高点，根据向心力公式得mg＋N＝m，只有当N＝0时，v＝，B错.在最高点，根据向心力公式得mg＋N＝m，解得N＝m－mg，D错.
答案：C
4.（多选）如图所示，一个固定在竖直平面内的光滑圆形管道的质量为M，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球的质量为m，小球在管道内做圆周运动（任一时刻速度不为0）.下列说法中正确的是（重力加速度为g）（　　）
A.小球通过管道最低点时，管道对地面的压力可能为（m＋M）g
B.小球通过管道最高点时，管道对地面的压力可能为（m＋M）g
C.小球通过管道最高点时，管道对地面可能无压力
D.小球通过管道最高点时，管道对地面的压力可能为Mg
解析：小球通过管道最低点时，具有向上的向心加速度，系统超重，对地面的压力一定大于（m＋M）g，A错.小球通过管道最高点时，具有向下的向心加速度，系统失重，故系统对地面的压力一定小于（m＋M）g，B错.小球在最高点时，若小球给管道的力方向向上，大小等于Mg，则管道对地面无压力，C对.当小球在最高点时，运动的速度等于，小球对管道无作用力，管道对地面的压力为Mg，D对.
答案：CD
课堂小结