2020-2021学年粤教版（2019）必修第二册 3.3 万有引力定律的应用 学案

2020-2021学年粤教版（2019）必修第二册
3.3 万有引力定律的应用 学案
学习目标
1.理解万有引力与重力的关系.（重点）
2.了解天王星和冥王星的发现过程.
3.会用万有引力定律计算天体的质量和密度（重点、难点）
知识点一　预测地球形状
1.牛顿的预测.
牛顿通过万有引力定律的理论计算，大胆预测：地球由于自转作用，赤道部分应该隆起，成为两极扁平的椭球体.
2.万有引力的分力.
假设地球是一个半径为R且密度均匀的球体，质量为M，在纬度θ处相对于地球静止地悬挂着一个质量为m的物体，它受到地球的引力大小F＝G，方向沿地球半径指向球心，如图所示.该引力主要产生两大作用效果，一方面是在竖直方向上与物体受到的拉力平衡，另一方面是提供物体随地球一起自转的向心力.因此，可以将引力F分解为F1和F2两个分量.
分力F1＝FT，就是我们所熟悉的重力.
分力F2＝mω2Rcos θ，是物体随地球自转所需的向心力，其方向垂直指向地轴.
知识点二　预测未知天体和估算天体的质量
1.海王星的发现.
英国剑桥大学的青年学生亚当斯和法国青年天文学家勒威耶在1845年分别独立推算出一颗新行星的运行轨道.1846年9月23日，柏林天文台的望远镜对准他们计算出来的轨道位置观测.终于，一颗新的行星——海王星被发现了，人们称其为“笔尖下发现的行星”.
2.估算地球质量的方法.
条件：月球绕地球的运动可以近似看作匀速圆周运动.设月球绕地球运动的周期为T，月球中心到地心的距离为r，引力常量为G，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g.
方法一：因为月球绕地球做匀速圆周运动所需的向心力由它们之间的万有引力提供，所以G＝m月2r.由此可得地球的质量M地＝.
方法二：地球表面的物体受到的重力近似等于地球对物体的万有引力，有m物g＝G.由此可得地球的质量M地＝.
小试身手
1.（多选）已知地球的半径为R，质量为M，自转周期为T.一个质量为m的物体放在赤道处的海平面上引力常量为
G，则关于物体受到的万有引力F和重力G，下列说法正确的是（　　）
A.万有引力F＝　　B.万有引力F＝MR
C.重力G0＝F D.重力G0＝－
解析：根据万有引力定律知F＝，A对、B错.重力G0＝F－F向＝－，C错、D对.
答案：AD
2.（多选）下列说法正确的是（　　）
A.海王星和冥王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的
B.天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道发现的
C.天王星的运行轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道，其原因是天王星受到轨道外面其他行星的引力作用
D.以上说法都不对
解析：海王星和冥王星都是人们先根据万有引力定律计算出轨道，然后又被天文工作者观察到的.天王星是人们通过望远镜观察发现的.在发现海王星的过程中，天王星的运行轨道偏离了根据万有引力定律计算出来的轨道，引起了人们的思考，科学家推测天王星外面存在其他行星.综上所述，选项A、C正确.
答案：AC
学习小结
1.重力是万有引力的一个分力.
2.利用万有引力定律可以预测未知天体.
3.利用万有引力定律估算天体质量
探究一　万有引力与重力的关系
1.万有引力与重力的关系.
万有引力F可分解为两个分力，其中一个分力为物体随地球自转做圆周运动的向心力Fn，另一个分力就是物体的重力mg.
2.重力与纬度的关系：地面上物体的重力随纬度的升高而变大.
（1）赤道上：重力和向心力在一条直线上F＝Fn＋mg，即G＝mrω2＋mg，所以mg＝G－mrω2.（g为赤道处的重力加速度）
（2）地球两极处：向心力为零，所以mg0＝F＝G.（g0为两极处的重力加速度）
注意：g和g0相差较小.
（3）其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg＜G，重力的方向偏离地心.
3.重力与高度的关系：由于地球的自转角速度很小，故地球自转带来的影响很小，一般情况下认为在地面附近：mg＝G，若距离地面的高度为h，则mg＝G（R为地球半径，g为离地面h高度处的重力加速度）.所以距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小.
?特别说明　（1）一般计算中，往往不考虑地球的自转，认为物体受到的万有引力等于重力，即mg＝G.
（2）相对地面静止的物体受到的地面给它的支持力与重力是一对平衡力，而不是与万有引力平衡.
【典例1】　如图所示，火箭内平台上放有测试仪器，火箭从地面启动后，以加速度竖直向上做匀加速运动，升到某一高度时，测试仪器对平台的压力为启动前压力的.已知地球半径为R，求火箭此时离地面的高度.（g为地面附近的重力加速度）
核心点拨：（1）升到某一高度时的重力加速度不是地面附近的重力加速度.
（2）启动前测试仪器对平台的压力大小等于mg.
解析：火箭上升过程中，物体受竖直向下的重力和向上的支持力，设高度为h时，重力加速度为g′，由牛顿第二定律得mg－mg′＝m·，解得g′＝g.由万有引力定律知G＝mg，G＝mg′，解得h＝.
答案：
科学反思
万有引力和重力关系的处理方法
1.地面附近的物体：由于地球自转角速度很小，物体转动需要的向心力很小，一般情况下，认为重力约等于万有引力，mg＝G.
2.离地面h高度处的物体：离地面h高度处的物体也受地球自转的影响，同地面附近的物体一样，一般情况下，认为重力约等于万有引力，mg＝G.
3.地球的卫星：对于地球的卫星，不受地球自转影响，所受重力等于万有引力，即mg＝G（r是卫星的轨道半径）.
训练
1.一个物体在地面时所受重力为810 N，将此物体带到高空中某处时其所受重力变为640 N.已知地球半径为R，则此时物体距地面的高度为（　　）
A.R　 　　B.　　 　C.　　 　D.
解析：物体在地面时有：mg＝＝810 N，物体在高空时有：mg′＝＝640 N，联立解得：h＝R，故D正确，A、B、C错误.
答案：D
2.用传感器测量一物体的重力时，发现在赤道测得的读数与其在北极的读数相差大约3‰.如图所示，如果认为地球是一个质量分布均匀的标准球体，下列说法正确的是（　　）
A，在北极处物体的向心力为万有引力的3‰
B.在北极处物体的重力为万有引力的3‰
C.在赤道处物体的向心力为万有引力的3‰
D.在赤道处物体的重力为万有引力的3‰
解析：在北极处没有向心力，重力等于万有引力，A、B错误；在赤道处，F引－G′＝F向，再结合题意＝3‰知，在赤道处：＝＝＝3‰，＝＝1－＝997‰，故C正确，D错误.
答案：C
探究二　天体质量和密度的计算
1.天体质量的计算.
项目
“自力更生法”
“借助外援法”
情景
已知天体（如地球）的半径R和天体（如地球）表面的重力加速度g
行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动
思路
物体的重力近似等于天体（如地球）与物体间的万有引力：mg＝G
行星或卫星受到的万有引力充当向心力：G＝m或G＝mω2r或G＝mr
结果
天体（如地球）质量：M＝
中心天体质量：M＝或M＝或M＝
2.天体密度的计算.
（1）一般思路：若天体半径为R，则天体的密度ρ＝，将质量代入可求得密度.
（2）特殊情况.
①卫星绕天体做半径为r的圆周运动，若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝，将M＝代入，得ρ＝.当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝.
②已知天体表面的重力加速度为g，则ρ＝＝＝.
特别说明：（1）利用G＝mg求天体的质量时，g是所求天体表面的重力加速度，且计算的前提是忽略了天体的自转.
（2）由F引＝F向求得质量为中心天体的质量，而不是做圆周运动的天体的质量.
【典例2】　2018年12月8日2时23分，我国自行研制的“嫦娥四号”无人探测器发射成功，开启人类首次月球背面软着陆探测之旅.若已知万有引力常量G，那么在下列给出的各种情景中，能根据测量的数据估算月球密度的是（　　）
A.在月球表面释放一个小球做自由落体运动，测出下落高度h和时间t
B.观察月球绕地球的匀速圆周运动，测出月球的直径D和运行周期T
C.“嫦娥四号”绕月球做匀速圆周运动，测出距月球表面的高度H和运行周期T
D.“嫦娥四号”靠近月球表面绕月球做匀速圆周运动，测出运行周期T
解析：设月球质量为M，半径为R，月球表面重力加速度为g；小球做自由落体运动，根据h和t可以求得月球表面重力加速度g＝；根据月球表面物体的重力等于万有引力，有＝mg，所以，月球质量M＝，月球的体积V＝πR3，解得月球的密度ρ＝＝.仅知重力加速度而不知月球半径R，故月球的密度无法求解，故A错误；观察月球绕地球的匀速圆周运动，测出月球的运行周期T，如再加上月球的轨道半径，能求出地球的质量，不能求出月球的质量，因而也求不出月球的密度，故B错误；“嫦娥四号”在高空绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力等于向心力得G＝m（R＋H），由于R未知，求不出月球的质量，因而也求不出月球的密度，故C错误；“嫦娥四号”贴近月球表面做匀速圆周运动，根据万有引力等于向心力，得G＝mR，得M＝，月球的密度ρ＝＝，已知G和T，所以可以求出月球的密度，故D正确.
答案：D
科学反思
探测器绕行星运行的轨道半径，应是探测器到行星的球心的距离，若探测器紧靠行星的表面运行时，由于r＝R，于是可得ρ＝，即只需测出探测器紧靠行星表面运行的周期，即可测出该行星的密度.
3.如果我们能测出月球表面的加速度g、月球的半径R和月球绕地球运转的周期T，就能根据万有引力定律“称量”月球的质量M.已知引力常量G，则月球质量M为（　　）
A.　　B. C.　　D.
解析：在月球表面重力与万有引力相等有G＝mg，可得月球的质量为M＝，A对，B错.根据万有引力提供圆周运动向心力可以求得中心天体的质量，故根据月球绕地球做匀速圆周运动的周期和轨道半径只能求得中心天体地球的质量，C、D错.
答案：A
4.科学家计划在2025年将首批宇航员送往火星进行考察.一质量为m的物体，假设在火星两极宇航员用弹簧测力计测得的读数为F1，在火星赤道上宇航员用同一把弹簧测力计测得的读数为F2.通过天文观测测得火星的自转角速度为ω，设引力常数为G，将火星看成是质量分布均匀的球体，则火星的密度和半径分别为（　　）
A.，
B.，
C.，
D.，
解析：在两极G＝F1，在赤道上G－F2＝mω2R，联立解得R＝.由G＝F1，且M＝πR3ρ，解得ρ＝.选项A正确.
答案：A
课堂小结