北师大版八年级下册数学 1.3线段的垂直平分线 同步练习（Word版 含解析）

1.3线段的垂直平分线 同步练习
一．选择题
1．如图，在△ABC中，BC＝12cm，DE垂直平分AB，△BCE的周长为30cm，则AC的长为（　　）
A．18 cm B．12 cm C．10 cm D．8 cm
2．如图，CD垂直平分AB，若AC＝1.6cm，AD＝2.3cm，则四边形ABCD的周长是（　　）
A．3.9 B．7.8 C．4 D．4.6
3．如图，AD⊥BE，BD＝DE，点E在线段AC的垂直平分线上，若AB＝6cm，BD＝3cm，则DC的长为（　　）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
4．下列说法错误的是（　　）
A．E，D是线段AB的垂直平分线上的两点，则AD＝BD，AE＝BE
B．若AD＝BD，AE＝BE，则直线DE是线段AB的垂直平分线
C．若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上
D．若PA＝PB，则过点P的直线是线段AB的垂直平分线
5．已知线段AB和点C，D，且CA＝CB，DA＝DB，那么直线CD是线段AB的（　　）
A．垂线 B．平行线
C．垂直平分线 D．过中点的直线
6．如图，线段AB外有两点C，D（在AB同侧）使CA＝CB，DA＝DB，∠ADB＝80°，∠CAD＝10°，则∠ACB＝（　　）
A．80° B．90° C．100° D．110°
7．如图，在△ABC中，∠A＝87°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，E是BC中点，且DE⊥BC，那么∠C的度数为（　　）
A．16° B．28° C．31° D．62°
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB的中垂线交AC于D，P是BD的中点，若BC＝4，AC＝8，则S△PBC为（　　）
A．3 B．3.3 C．4 D．4.5
9．如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，垂足为E，交BC边于D点，若AC＝5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为（　　）
A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AB边的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AC边的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G，连接AE，AG．则∠EAG的度数为（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
二．填空题
11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB＝4，△ABD的周长为12，则BC＝　 　．
12．如图，已知O为三边垂直平分线交点，∠BAC＝60°，则∠BOC＝　 　．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E是AC上的点，且∠1＝∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，如果EC＝2cm，则AE等于　 　．
14．如图，△ABC中，AB边上的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，AC＝9cm，△BCE的周长为15cm，则BC的长为　 　cm．
15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D、E是边AB上两点，且CD垂直平分BE，CE平分∠ACD，若BC＝2，则AC的长为　 　．
三．解答题
16．如图，已知△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于E，若AC＝9cm，△ABE的周长为16cm，求AB的长．
17．如图，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．
（1）直接写出∠BAC的度数；
（2）求∠DAF的度数，并注明推导依据；
（3）若△DAF的周长为20，求BC的长．
18．如图，在△ABC中，AB、AC边的垂直平分线相交于点O，分别交BC边于点M、N，连接AM，AN．
（1）若△AMN的周长为6，求BC的长；
（2）若∠MON＝30°，求∠MAN的度数；
（3）若∠MON＝45°，BM＝3，BC＝12，求MN的长度．
1.3线段的垂直平分线 同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：∵DE垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∵△BCE的周长为30，
∴BC+CE+EB＝30，
∴BC+CE+EA＝BC+AC＝30，
∴AC＝30﹣BC＝18（cm），
故选：A．
2．解：∵CD垂直平分AB，
∴BC＝AC＝1.6，BD＝AD＝2.3，
∴四边形ABCD的周长＝BC+AC+BD+AD＝7.8，
故选：B．
3．解：∵AD⊥BE，BD＝DE，
∴AE＝AB＝6，
∵点E在线段AC的垂直平分线上，
∴EA＝EC，
∴DC＝DE+EC＝AB+BD＝9（cm），
故选：C．
4．解：A、∵E是线段AB的垂直平分线上的点，∴AE＝BE．同理AD＝BD．故A正确；
B、若AD＝BD，∴D在AB的垂直平分线上．同理E在AB的垂直平分线上．∴直线DE是线段AB的垂直平分线．故B正确；
C、若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上，故C正确；
D、若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．但过点P的直线有无数条，不能确定过点P的直线是线段AB的垂直平分线．故D错误．
故选：D．
5．解：根据线段垂直平分线的性质的逆定理，点C和D都在AB的垂直平分线上，那么直线CD是线段AB的垂直平分线．
故选：C．
6．解：∵CA＝CB，DA＝DB，
∴CD垂直平分AB且垂足为M．
∵∠ADB＝80°，∠CAD＝10°，
∴∠ACM＝50°，
∴∠ACB＝100°．
故选：C．
7．解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵DE⊥BC，E是BC中点，
∴DB＝DC，
∴∠DBC＝∠C，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠C，
∴∠ABD+∠CBD+∠C＝180°﹣87°，
解得，∠C＝31°，
故选：C．
8．解：∵点D在线段AB的垂直平分线上，
∴DA＝DB，
在Rt△BCD中，BC2+CD2＝BD2，即42+（8﹣BD）2＝BD2，
解得，BD＝5，
∴CD＝8﹣5＝3，
∴△BCD的面积＝×CD×BC＝×3×4＝6，
∵P是BD的中点，
∴S△PBC＝S△BCD＝3，
故选：A．
9．解：∵AB的垂直平分线DE交BC于点D，
∴AD＝BD，
∵AC＝5cm，△ADC的周长为17cm，
∴AD+DC+AC＝17cm，
∴AD+DC＝BD+DC＝BC＝12cm．
故选：C．
10．解：∵AB边的垂直平分线交AB于点D，AC边的垂直平分线交AC于点F，
∴AG＝CG，AE＝BE，
∴∠C＝∠CAG，∠B＝∠BAE，
∴∠BAE+∠CAG＝∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝100°，
∴∠EAG＝∠BAE+∠CAG﹣∠BAC＝100°﹣80°＝20°，
故选：B．
二．填空题
11．解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝DC，
∴BC＝BD+DC＝BD+DA，
∵AB＝4，△ABD的周长为12，
∴BC＝12﹣4＝8．
故答案为：8．
12．解：∵已知点O为三边垂直平分线交点，
∴点O为△ABC的外心，
∴∠BOC＝2∠BAC，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝120°，
故答案为：120°．
13．解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠A＝∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠A＝∠1＝∠2，
∵∠C＝90°，
∴∠A＝∠1＝∠2＝30°，
在Rt△BCE中，∠1＝30°，
∴BE＝2CE＝4，
∴AE＝4（cm），
故答案为：4cm．
14．解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵△BCE的周长为15cm，
∴BC+CE+BE＝15cm，
∴BC+CE+BE＝BC+CE+AE＝BC+AC＝15cm，
∵AC＝9cm，
∴BC＝6cm，
故答案为：6．
15．解：∵CD垂直平分BE，
∴CE＝CB，∠BDC＝90°，
∴CD平分∠BCE，即∠BCD＝∠ECD，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD＝∠ACE，
而∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠ACB＝30°，
∴∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∴AC＝BC＝2．
故答案为2．
三．解答题
16．解：∵ED是线段BC的垂直平分线，
∴BE＝CE，
∴BE+AE＝CE+AE＝AC＝9cm，
∵△ABE的周长为16cm，
∴AB＝16﹣（BE+AE）＝16﹣9＝7cm．
17．解：（1）∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°；
（2）∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠ABC＝30°，
同理可得，∠FAC＝∠ACB＝50°，
∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝100°﹣30°﹣50°＝20°；
（3）∵△DAF的周长为20，
∴DA+DF+FA＝20，
由（2）可知，DA＝DB，FA＝FC，
∴BC＝DB+DF+FC＝DA+DF+FA＝20．
18．解：（1）∵直线OM是AB的垂直平分线，
∴MA＝MB，
同理，NA＝NC，
∵△AMN的周长为6，
∴MA+MN+NA＝6，即MB+MN+NC＝BC＝6；
（2）∵∠MON＝30°，
∴∠OMN+∠ONM＝150°，
∴∠BME+∠CNF＝150°，
∵MA＝MB，ME⊥AB，
∴∠BMA＝2∠BME，
同理，∠ANC＝2∠CNF，
∴∠BMA+∠ANC＝300°，
∴∠AMN+∠ANM＝360°﹣300°＝60°，
∴∠MAN＝180°﹣60°＝120°；
（3）由（2）的作法可知，∠MAN＝90°，
由（1）可知，MA＝MB＝3，NA＝NC
设MN＝x，
∴NA＝NC＝12﹣3﹣x＝9﹣x，
由勾股定理得，MN2＝AM2+AN2，即x2＝32+（9﹣x）2，
解得，x＝5，即MN＝5．