湖南省永州市2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含答案

永州市2020年下期高一期末质量监测试卷
数 学
注意事项：
1．全卷满分150分，时量120分钟．
2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效．
3．考试结束后，只交答题卡．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集，，则
A． B． C． 　　D．
2．365°是
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
3．命题“，”的否定是
A．， B．，
C．， D．，
4．半径为1，圆心角为2弧度的扇形的面积是
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知，，，则，，的大小关系是
A． B． C． D．
6．王昌龄是盛唐著名边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，内容为：“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还．”由此推断，“返回家乡”是“攻破楼兰”的
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7． 函数的零点所在的区间为
A． B． C． D．
8． 设函数的定义域为，，当时，．若存在，使得有解，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9． 我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质．
　　下列函数中，在上单调递增且图象关于轴对称的是
A． B． C． D．
10．设，，则下列不等式一定成立的是
A． B． C． D．
11．将函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到偶函数的图象，则下列结论中正确的有
A．的图象关于点对称 B．的图象关于对称
C．在上的值域为　　 D．在上单调递减
12．若函数对，，不等式成立，则称在上为“平方差减函数”，则下列函数中是“平方差减函数”的有
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．幂函数的图象过点，则 ．
14．已知，则 .
15．若，则不等式的解集为 .
16．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家约翰纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即，现已知，，则 .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）已知集合，．
（1）求；
（2）定义，求．
18．（本小题满分12分）给定两个条件：①充分不必要，②必要不充分，从上述两个条件中，任选一个补充在下面问题中，并加以解答．
问题：已知p：实数x满足,．
（1）若，求实数x的取值范围；
（2）已知q：实数x满足．若存在实数，使得是的_______条件，则求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．
19．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，，它们的终边分别与单位圆相交于，两点，，的纵坐标分别为，．
（1）求的值；
（2）求．
20．（本小题满分12分）已知函数的最大值为．
（1）若，求函数的最小正周期；
（2）求使成立时自变量的集合．
21．（本小题满分12分）某市为发展农业经济，鼓励农产品加工，助推美丽乡村建设，成立了生产一种饮料的食品加工企业，每瓶饮料的售价为14元，月销售量为9万瓶．
（1）根据市场调查，若每瓶饮料的售价每提高1元，则月销售量将减少5000瓶．要使月销售收入不低于原来的月销售收入，该饮料每瓶售价最多为多少元？
（2）为了提高月销售量，该企业对此饮料进行技术和销售策略改革，提高每瓶饮料的售价到元，并投入万元作为技术革新费用，投入2万元作为固定宣传费用．试问：技术革新后，要使革新后的月销售收入不低于原来的月销售收入与总投入之和，求月销售量（万瓶）的最小值，以及取最小值时的每瓶饮料的售价．
22．（本小题满分12分）已知函数,．
（1）判断函数的奇偶性并证明；
（2）若，，使得成立，求实数的取值范围．
永州市2020年下期高一期末质量监测试卷
数学参考答案及评分标准
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A D A C B A D
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分.部分选对的得3分）
题号 9 10 11 12
答案 BD AB ABD ACD
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．2 14． 15． 16．
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 解：（1） 　　　 …………………………………… 4分
（注：若在数轴上画对了已知集合的范围，则酌情给分）
（2），
有
……………………………………7分
……………………………………10分
18. 解：（1）因为，解不等式，得，
所以实数x的取值范围为 . …………………………………5分
（2）由，得， …………………………………8分
若选择①：
因为是的充分不必要条件，
则，此不等式组无解，所以实数的值不存在； …………………………12分

若选择②：
因为是的必要不充分条件，
则，解得，
所以实数的取值范围为 .……………………………………12分
19. 解：（1）依题意， ，单位圆半径 ，
　　由三角函数定义可得，， ……………………………………5分
（2）由三角函数定义可得，， ……………………………………6分
，为锐角，，． ……………………………………8分
…10分
，为锐角，．
． ……………………………………12分
20. 解：（1）因为
……………………………………2分
……………………………………3分
……………………………………5分
（若化成同样给分）
所以. ……………………………………6分
（2）因为，所以， ……………………………………7分
所以，故，………………………………9分
又因为在区间上的最大值为1，
所以，即，
故， ………………………………10分
又因为，即，
，
由，得，………………11分
故时，使成立时自变量的集合为. 　 ………………12分
21．解：（1）设每瓶饮料的售价为元，
依题意，有，………………………………………………2分
整理得，解得，…………………………………………4分
故，要使月销售收入不低于原来的月销售收入，每瓶饮料售价最多为18元．……5分
（2）设该饮料的月销售量为万瓶，每瓶售价元， ……………………………6分
则 …………………………………………………………8分
……………………………………………10分
当且仅当，即时，等号成立． ………………………………………11分
故月销售量的最小值为16万瓶，此时每瓶饮料的售价16元． ………………12分
22．解：（1）的定义域为, ……………………………1分
且， ……………………………3分
函数在上为偶函数．　　　　　　　 ……………………………4分
（2），当且仅当时取等号，　　………………………6分
由题意，，使得成立
即，恒成立， ………………………………8分
　　对于恒成立，　　 ………………………………9分
令,则,
　　设，易知在为减函数，　
在为减函数，则,………………………………10分
． ……………………………………………………………………12分
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