2020-2021学年陕西省榆林市高二上学期期末数学试卷（理科） （Word解析版）

2020-2021学年陕西省榆林市高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题）.
1．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|﹣1＜x≤2}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣1，0，1} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{0，1}
2．（5分）已知等比数列{an}的各项都是正数，且a3a7＝9，则a5＝（　　）
A．9 B．﹣3 C．3 D．±3
3．（5分）若α∈R，sinα?cosα＜0，tanα?sinα＜0，则α是（　　）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
4．（5分）如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为（　　）
A． B．
C． D．
5．（5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝，＝，＝，则下列向量中与相等的向量是（　　）
A．﹣++ B． C．﹣﹣+ D．
6．（5分）已知x＜﹣1，那么在下列不等式中，不成立的是（　　）
A．x2﹣1＞0 B． C．sinx﹣x＞0 D．cosx+x＞0
7．（5分）已知直线l?平面α，则“直线m⊥平面α”是“m⊥l”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（5分）已知过点M（2，﹣4）的直线l与圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝5相切，且与直线m：ax﹣2y+3＝0垂直，则实数a的值为（　　）
A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4
9．（5分）已知函数f（x）＝ax2﹣x（a≠0），若对任意x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，都有[f（x1）﹣f（x2）]?（x1﹣x2）＞0，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．（5分）边长为4的正方形ABCD的四个顶点都在球O上，OA与平面ABCD所成角为，则球O的表面积为（　　）
A．64π B．32π C．16π D．128π
11．（5分）已知是一个等差数列的前n项和，对于函数f（x）＝x2﹣ax，若数列的前n项和为Tn，则T2020的值为（　　）
A． B． C． D．
12．（5分）已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（　　）
A．（1，2] B．（1，2） C．[2，+∞） D．（2，+∞）
二、填空题（共4小题）.
13．（5分）已知向量、不共线，，，若，则实数m＝　 　．
14．（5分）某商店的有奖促销活动中仅有一等奖、二等奖、鼓励奖三个奖项，其中中一等奖的概率为0.05，中二等奖的概率为0.16，中鼓励奖的概率为0.40，则不中奖的概率为　 　．
15．（5分）为了净化水质，向一游泳池加入某种药品，加药后，池水中该药品的浓度C（单位：mg/L）随时间t（单位：h）的变化关系为，则池水中药品的浓度最大可达到　 　mg/L．
16．（5分）已知函数，将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后，得到函数g（x）的图象，现有如下命题：
p1：函数g（x）的最小正周期是2π；
p2：函数g（x）在区间上单调递增；
p3：函数g（x）在区间上的值域为[﹣1，2]．
则下述命题中所有真命题的序号是　 　．
①（￢p2）∧p3；②p1∨（￢p3）；③p2∨p3；④p1∧p2．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）已知函数f（x）＝mx2﹣mx﹣1（m≠0），若f（x）＜0对于一切实数x都成立，求m的取值范围．
18．（12分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，S7＝14，a2+a12＝10．
（1）求an；
（2）设，证明数列{bn}是等比数列，并求其前n项和Tn．
19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2A+sin2C﹣sin2B＝sinAsinC，c＝2．
（1）求sinB的值；
（2）设D在BC边上，且BD＝AD＝2DC，求△ABC的面积．
20．（12分）为了更好地刺激经济复苏，增加就业岗位，多地政府出台支持“地摊经济”的举措．某市城管委对所在城市约6000个流动商贩进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、果蔬、玩具、饰品等，各类商贩所占比例如图1．
（1）该市城管委为了更好地服务百姓，打算从流动商贩经营点中随机抽取100个进行政策问询．如果按照分层抽样的方式随机抽取，请问应抽取小吃类、果蔬类商贩各多少家？
（2）为了更好地了解商户的收入情况，工作人员还对某果蔬经营点最近40天的日收入进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如图2．
（ⅰ）请根据频率分布直方图估计该果蔬经营点的日平均收入（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（ⅱ）若从该果蔬经营点的日收入超过200元的天数中随机抽取两天，求这两天的日收入至少有一天超过250元的概率．
21．（12分）已知椭圆的离心率为，抛物线C2的焦点与椭圆C1的右焦点F重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点．
（1）求的值；
（2）设M为C1与C2的公共点，若，求C1与C2的标准方程．
22．（12分）如图，四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形，∠DAB＝∠DBF＝60°，且FA＝FC．
（Ⅰ）求证：平面ACF⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角A﹣FC﹣B的余弦值．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|﹣1＜x≤2}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣1，0，1} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{0，1}
解：集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|﹣1＜x≤2}，
则A∩B＝{0，1，2}．
故选：C．
2．（5分）已知等比数列{an}的各项都是正数，且a3a7＝9，则a5＝（　　）
A．9 B．﹣3 C．3 D．±3
解：等比数列{an}的各项都是正数，且a3a7＝9，则a52＝a3a7＝9，
∴a5＝3，
故选：C．
3．（5分）若α∈R，sinα?cosα＜0，tanα?sinα＜0，则α是（　　）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
解：∵sinα?cosα＜0，
∴α在第二四象限，
∵tanα?sinα＜0，
∴α在第二三象限，
故α的终边在第二象限，
故选：B．
4．（5分）如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为（　　）
A． B．
C． D．
解：由已知中的空间几何体的正视图和俯视图可得：
该几何体是一个底面半径为1，高为1的圆柱挖去一个同底等高的圆锥所得的组合体，
故其侧视图为：
故选：B．
5．（5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝，＝，＝，则下列向量中与相等的向量是（　　）
A．﹣++ B． C．﹣﹣+ D．
解：＝+＝+＝+（+）＝+（+），
故选：B．
6．（5分）已知x＜﹣1，那么在下列不等式中，不成立的是（　　）
A．x2﹣1＞0 B． C．sinx﹣x＞0 D．cosx+x＞0
解：∵x＜﹣1，∴x2﹣1＞0，x+＜﹣2，
又∵sinx，cosx∈[﹣1，1]，
∴sinx﹣x＞0，cosx+x＜0．
可得：ABC成立，D不成立．
故选：D．
7．（5分）已知直线l?平面α，则“直线m⊥平面α”是“m⊥l”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解：若直线m垂直于平面α，则直线m必垂直平面内的直线l，
但直线m要垂直于平面α，则m要垂直于平面α内的两条相交直线，故m⊥l无法推知直线m⊥平面α，
故“直线m⊥平面α”是“m⊥l”的充分不必要条件，
故选：A．
8．（5分）已知过点M（2，﹣4）的直线l与圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝5相切，且与直线m：ax﹣2y+3＝0垂直，则实数a的值为（　　）
A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4
解：根据题意，圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝5，圆心C（1，﹣2），
而点M（2，﹣4），则有（2﹣1）2+（﹣4+2）2＝5，则点M在圆C上，
若过点M的切线与直线m：ax﹣2y+3＝0垂直，则直线CM与直线m平行，
而直线MC的斜率k＝＝﹣2，
则有＝﹣2，则a＝﹣4，
故选：D．
9．（5分）已知函数f（x）＝ax2﹣x（a≠0），若对任意x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，都有[f（x1）﹣f（x2）]?（x1﹣x2）＞0，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
解：因为f（x）＝ax2﹣x对任意x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，都有[f（x1）﹣f（x2）]?（x1﹣x2）＞0，
所以f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在[2，+∞）上单调递增，
，解得，a．
故选：C．
10．（5分）边长为4的正方形ABCD的四个顶点都在球O上，OA与平面ABCD所成角为，则球O的表面积为（　　）
A．64π B．32π C．16π D．128π
解：如图，设正方形ABCD外接圆的圆心为O1，由题意，，则，表面积S＝4π?42＝64π．
故选：A．
11．（5分）已知是一个等差数列的前n项和，对于函数f（x）＝x2﹣ax，若数列的前n项和为Tn，则T2020的值为（　　）
A． B． C． D．
解：是一个等差数列的前n项和，
可得a+1＝0，解得a＝﹣1，
所以函数f（x）＝x2+x，
数列即，＝，
所以数列的前n项和为Tn＝＝1﹣，
则T2020＝1﹣＝．
故选：D．
12．（5分）已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（　　）
A．（1，2] B．（1，2） C．[2，+∞） D．（2，+∞）
解：已知双曲线的右焦点为F，
若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，
则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，
∴≥，离心率e2＝，
∴e≥2，
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知向量、不共线，，，若，则实数m＝　﹣3　．
解：向量、不共线，，，
若，则m﹣3（m+2）＝0，
解得m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
14．（5分）某商店的有奖促销活动中仅有一等奖、二等奖、鼓励奖三个奖项，其中中一等奖的概率为0.05，中二等奖的概率为0.16，中鼓励奖的概率为0.40，则不中奖的概率为　0.39　．
解：某商店的有奖促销活动中仅有一等奖、二等奖、鼓励奖三个奖项，
其中中一等奖的概率为0.05，中二等奖的概率为0.16，中鼓励奖的概率为0.40，
则不中奖的概率为P＝1﹣0.05﹣0.16﹣0.40＝0.39．
故答案为：0.39．
15．（5分）为了净化水质，向一游泳池加入某种药品，加药后，池水中该药品的浓度C（单位：mg/L）随时间t（单位：h）的变化关系为，则池水中药品的浓度最大可达到　4　mg/L．
解：∵t＞0，
∴＝＝4，当且仅当t＝即t＝3时，等号成立，
∴池水中药品的浓度最大可达到4mg/L．
故答案为：4．
16．（5分）已知函数，将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后，得到函数g（x）的图象，现有如下命题：
p1：函数g（x）的最小正周期是2π；
p2：函数g（x）在区间上单调递增；
p3：函数g（x）在区间上的值域为[﹣1，2]．
则下述命题中所有真命题的序号是　①③　．
①（￢p2）∧p3；②p1∨（￢p3）；③p2∨p3；④p1∧p2．
解：函数，将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后，得到函数g（x）＝2sin（2x﹣）的图象，
所以：A：函数的最小正周期为π，故p1为假命题，
B：当时，故，所以函数的图象先减后增，故p2为假命题；￢p2为真命题；
C：当时，所以，则g（x）∈[﹣1，2]，故p3为真命题；￢p3为假命题；
所以：①（￢p2）∧p3为真命题；②p1∨（￢p3）为假命题；③p2∨p3为真命题；④p1∧p2为假命题；
故答案为：①③．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）已知函数f（x）＝mx2﹣mx﹣1（m≠0），若f（x）＜0对于一切实数x都成立，求m的取值范围．
解：（Ⅰ）根据题意，不等式可转化成不等式（2x﹣5）（x﹣3）≥0，但x≠3，
解得x＞3或，
故原不等式的解集为；
（Ⅱ）根据题意，由于m≠0，f（x）＝mx2﹣mx﹣1＜0对于一切实数x都成立，
则有，解之得﹣4＜m＜0，
故m的取值范围是（﹣4，0）．
18．（12分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，S7＝14，a2+a12＝10．
（1）求an；
（2）设，证明数列{bn}是等比数列，并求其前n项和Tn．
【解答】解（1）根据题意，{an}是等差数列，
若S7＝14，a2+a12＝10，则有S7＝7a1+21d＝14，a2+a12＝2a1+12d＝10，
联立解得a1＝﹣1，d＝1，
所以an＝n﹣2；
（2）证明：由＝2n﹣2，则，
故列{bn}是首项为，公比为2的等比数列．
数列{bn}的前n项和．
19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2A+sin2C﹣sin2B＝sinAsinC，c＝2．
（1）求sinB的值；
（2）设D在BC边上，且BD＝AD＝2DC，求△ABC的面积．
解：（1）△ABC中，sin2A+sin2C﹣sin2B＝sinAsinC，
由正弦定理得，a2+c2﹣b2＝ac，
所以cosB＝＝＝；
又B∈（0，π），
所以sinB＝＝＝；
（2）如图所示，
设BD＝AD＝2DC＝x，由c＝AB＝2，
利用余弦定理得，AD2＝AB2+BD2﹣2AB?BD?cosB，
即x2＝22+x2﹣2×2×x×，
解得x＝3，CD＝x＝，
所以△ABC的面积为
S△ABC＝AB?BC?sinB＝×2×（3+）×＝3．
20．（12分）为了更好地刺激经济复苏，增加就业岗位，多地政府出台支持“地摊经济”的举措．某市城管委对所在城市约6000个流动商贩进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、果蔬、玩具、饰品等，各类商贩所占比例如图1．
（1）该市城管委为了更好地服务百姓，打算从流动商贩经营点中随机抽取100个进行政策问询．如果按照分层抽样的方式随机抽取，请问应抽取小吃类、果蔬类商贩各多少家？
（2）为了更好地了解商户的收入情况，工作人员还对某果蔬经营点最近40天的日收入进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如图2．
（ⅰ）请根据频率分布直方图估计该果蔬经营点的日平均收入（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（ⅱ）若从该果蔬经营点的日收入超过200元的天数中随机抽取两天，求这两天的日收入至少有一天超过250元的概率．
解：（1）由题意知，小吃类所占比例为：
1﹣25%﹣15%﹣10%﹣5%﹣5%＝40%，
按照分层抽样的方式随机抽取，
应抽取小吃类商贩：100×40%＝40（家），
果蔬类商贩100×15%＝15（家）．
（2）（i）该果蔬经营点的日平均收入为：
（75×0.002+125×0.009+175×0.006+225×0.002+275×0.001）×50＝152.5（元）．
（ⅱ）该果蔬经营点的日收入超过200元的天数为6，其中超过250元的有2天，
记日收入超过250元的2天为a1，a2，其余4天为b1，b2，b3，b4，
随机抽取两天的所有可能情况为：
（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，b4），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），
（a2，b4），（b1，b2），（b1，b3），（b1，b4），（b2，b3），（b2，b4），（b3，b1），共15种，
其中至少有一天超过250元的所有可能情况为：
（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，b4），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，b4），共9种．
所以这两天的日收入至少有一天超过250元的概率为P＝＝．
21．（12分）已知椭圆的离心率为，抛物线C2的焦点与椭圆C1的右焦点F重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点．
（1）求的值；
（2）设M为C1与C2的公共点，若，求C1与C2的标准方程．
解：（1）因为椭圆C1的离心率为，所以设其方程为，F（c，0），
令x＝c解得y＝，所以AB＝3c，
又抛物线C2的焦点与椭圆C1的右焦点F（c，0）重合，所以设其方程为y2＝4cx，
令x＝c解得y＝±2c，所以CD＝4c，
故；
（2）由，消去y得：3x2+16cx﹣12c2＝0，解得x＝或﹣6c（舍去），
所以M（），
因为OM＝，所以，
所以c＝1，
即椭圆方程为，抛物线方程为y2＝4x．
22．（12分）如图，四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形，∠DAB＝∠DBF＝60°，且FA＝FC．
（Ⅰ）求证：平面ACF⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角A﹣FC﹣B的余弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：AC与BD交于点O，连接FO、FD，
∵FA＝FC，O是AC中点，且O是BD中点，∴FO⊥AC，
∵四边形BDEF为菱形，∠DBF＝60°，
∴FD＝FB，∴FO⊥BD，
又AC∩BD＝0，∴FO⊥平面ABCD，
∵FO⊥平面ACF，∴平面ACF⊥平面ABCD．
（Ⅱ）解：易知OA，OB，OF两两垂直，
以O为原点，OA、OB、OF分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设AB＝2，∵四边形ABCD为菱形，∠DAB＝60°，
则BD＝2，∴OB＝1，，
故O（0，0，0），B（0，1，0），，，
∴，，，
设平面BFC的一个法向量为，
则，取x＝1，得，
显然，为平面ACF的一个法向量，
∴，
由图知，二面角A﹣FC﹣B的平面角为锐角，
∴二面角A﹣FC﹣B得余弦值为．