北师大版九年级下册 第3章 《圆》高频考点专题练习一遍过（二）（Word版 含解析）

《圆》高频考点专题练习一遍过（二）
1．如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O经过BC的中点D，DE⊥AC于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若，DE＝6，求⊙O的直径．
2．如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB于点E，∠POC＝∠PCE．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若OE：EA＝1：2，PA＝6，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，求sin∠PCA的值．
3．如图，割线ABC与⊙O相交于B、C两点，D为⊙O上一点，E为弧BC的中点，OE交BC于F，DE交AC于G，∠ADG＝∠AGD．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）如果AB＝2，AD＝4，EG＝2，求⊙O的半径．
4．在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的圆交斜边AB于点P．E是BC的中点，连接PE．
（1）如果圆O的半径为2，∠B＝30°，求OE的长；
（2）求证：PE是⊙O的切线．
5．如图，O是已知线段AB上一点，以OB为半径的⊙O交线段AB于点C，以线段AO为直径的半圆交⊙O于点D，过点B作AB的垂线与AD的延长线交于点E；
（1）求证：AE切⊙O于点D；
（2）若AC＝2，且AC、AD的长是关于x的方程的两根，求线段EB的长．
6．如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，以AB为直径作⊙O，P是AB上一点，过点P作AB的垂线交AC的延长线于点Q，D是PQ上一点，DC＝DQ．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若∠A＝60°，BC＝QC，求的值．
7．如图，⊙O的直径AC＝13，弦BC＝12．过点A作直线MN，使∠BAM＝∠AOB．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）延长CB交MN于点D，求AD的长．
8．已知：如图，⊙O为△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，作射线BF，使得BA平分∠CBF，过点A作AD⊥BF于点D．
（1）求证：DA为⊙O的切线；
（2）若BD＝1，，求⊙O的半径．
9．如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF交⊙O于E，过E点作直线与AF垂直，交AF延长线于D点，且交AB的延长线于C点．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠C＝30°，DE＝，求⊙O的直径．
10．如图，AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，BF⊥AB交AD的延长线于点F，
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝3，⊙O的半径为5，求BF的长．
参考答案
1．（1）证明：如图，连接OD；（1分）
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°．
∵O为AB中点，D为BC中点，
∴OD为△ABC的中位线．
∴OD∥AC．
∴∠ODE＝∠DEC＝90°．
即OD⊥DE．
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线．解：∵，
∴∠C＝60°．（3分）
∵OD∥AC，
∴∠BDO＝∠C＝60°．
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB＝60°．
∴△ABC为等边三角形．
∵在△EDC中，∠DEC＝90°，DE＝6，
∴．（4分）
∵D为BC中点，
∴．
∴AB＝．
∴⊙O的直径为．（5分）
2．（1）证明：∵弦CD⊥AB于点E，
∴∠CEP＝90°．
∵∠POC＝∠PCE，∠P＝∠P，
∴△POC∽△PCE，
∴∠PCO＝∠CEP＝90°．
∴PC是⊙O的切线．
（2）解：∵OE：EA＝1：2，
∴OE：OC＝，
∴OC：OP＝．
∵PA＝6，
∴⊙O的半径＝3．
（3）解：连接BC；
∵圆的半径为3，OE：EA＝1：2，
∴OE＝1，
∴EC＝2，BE＝4；
∴BC＝2．
∵∠PCA＝∠B，
∴sin∠B＝sin∠PCA＝＝．
3．（1）证明：连接OD．
∵E为BC的中点，
∴OE⊥BC于F．
∴∠AGD+∠ODE＝∠EGF+∠OED＝90°．
则OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED．
∵∠AGD＝∠ADG，
∴∠ADG+∠ODE＝90°．
即OD⊥AD，
∴AD是⊙O的切线．
（2）解：∵AD＝4，AB＝2，AD2＝ABAC；
∴AC＝8．
∵AD＝AG，
∴BG＝2，CG＝4．
∵EG＝2，EGGD＝BGCG，
∴DG＝4，
∴AD＝DG＝AG．
∴∠ADG＝60°．
作OH⊥ED于H，则∠EOH＝60°，
在Rt△OEH中，EH＝（EG+GD）＝3．
∴OE＝＝．
即⊙O的半径为．
4．解：（1）∵圆O的半径为2，
∴AC＝4．
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AB＝8．
∵E是BC的中点，OA＝OC，
∴OE＝4；
证明：（2）连接OP．
∵E是BC的中点，OA＝OC，
∴OE∥AB，
∴∠AP0＝∠POE，∠A＝∠EOC，
∵OA＝OP，
∴∠A＝∠APO，
∴∠POE＝∠COE，
∵OP＝OC，OE＝OE，
∴△POE≌△COE．
∴∠OPE＝∠ACB＝90°．
∴PE是⊙O的切线．
5．（1）证明：连接OD．
∵AO为半圆直径，∴∠ADO＝90°．
∴AE切⊙O于点D；
（2）∵AC、AD的长是关于x的方程的两根，
∴ACAD＝4；
∵AC＝2，
∴AD＝2．
设OD＝OC＝x，则（x+2）2＝（2）2+x2．
解得x＝4．
∴AB＝2+8＝10．
∵∠ADO＝∠ABE＝90°，∠A＝∠A，
∴△AOD∽△AEB，
∴，即，
∴BE＝4．
6．（1）证明：连接OC；
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠A，
∵CD＝DQ，
∴∠DCQ＝∠Q，
∴∠OCA+∠DCQ＝∠A+∠Q＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r，则AB＝2r，OC＝r，AC＝0.5AB＝r，BC＝r；
∴CQ＝BC＝r，AQ＝AC+CQ＝（1+）r，
PQ＝AQc0s60°＝0.5（1+）r；
∴BP＝AB﹣AP＝0.5（3﹣）r，PO＝AP﹣OA＝0.5（﹣1）r，
∴BP：PO＝．
7．（1）证明：∵AC是直径，
∴∠ABC＝90°，∠C+∠BAC＝90°．
∵∠BAM＝∠AOB＝∠C，
∴∠BAM+∠BAC＝90°，即∠CAM＝90°．
∴MN是⊙O的切线．
（2）解：∵∠ABC＝90°，AC＝13，BC＝12，
∴AB＝5．
∵tanC＝＝，
∴，
∴AD＝．
8．（1）证明：连接OA；
∵BC为⊙O的直径，BA平分∠CBF，AD⊥BF，
∴∠ADB＝∠BAC＝90°，∠DBA＝∠CBA；
∵∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAO＝∠DAB+∠BAO＝∠BAO+∠OAC＝90°，
∴DA为⊙O的切线．
（2）解：∵BD＝1，，
∴AD＝2，
∴AB＝＝，
∴cos∠DBA＝；
∵∠DBA＝∠CBA，
∴BC＝＝＝5．
∴⊙O的半径为2.5．
9．（1）证明：连接OE，则∠OAE＝∠OEA．
由∠OAE＝∠EAD得∠OEA＝∠EAD，
所以OE∥AD．
因为AD⊥CD，所以OE⊥CD，
所以CD是⊙O的切线．
（2）解：过点O作OG⊥AD于点G．
则∠AOG＝∠ACD＝30°，四边形OEDG为矩形．
∴OG＝ED＝，
∴OA＝2，
∴⊙O的直径是4．
10．（1）证明：连OD，如图，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2（等弦对等角），
又∵OD＝OA，得∠2＝∠3（等角对等边），
∴∠1＝∠3（等量代换），
而DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）过D作DP⊥AB，P为垂足，
∵AD为∠BAC的平分线，DE＝3，
∴DP＝DE＝3，又⊙O的半径为5，
在Rt△OPD中，OD＝5，DP＝3，得OP＝4，则AP＝9，
∵BF⊥AB，
∴DP∥FB，
∴＝，即＝，
∴BF＝．