北师大版数学九年级下册 第3章 《圆》高频考点专题练习一遍过（四）（Word版含解析）

《圆》高频考点专题练习一遍过（四）
1．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，AD为弦，OC∥AD．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若OA＝2，求ADOC的值．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O，点D在⊙O上，BD＝BC，DE⊥AC，垂足为点E，DE与⊙O和AB分别交于点M、F．连接BO、DO、AM．
（1）证明：BD是⊙O的切线；
（2）若tan∠AMD＝，AD＝2，求⊙O的半径长；
（3）在（2）的条件下，求DF的长．
3．如图，△ABC中，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，E为弧BD上一点，连接AD、DE、AE，交BD于点F．
（1）若∠CAD＝∠AED，求证：AC为⊙O的切线；
（2）若DE2＝EFEA，求证：AE平分∠BAD；
（3）在（2）的条件下，若AD＝4，DF＝2，求⊙O的半径．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A、D的⊙O分别交AB、AC于点E、F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BE＝8，sinB＝，求⊙O的半径；
（3）求证：AD2＝ABAF．
5．如图，以矩形ABCD的边CD为直径作⊙O，点E是AB的中点，连接CE交⊙O于点F，连接AF并延长交BC于点H．
（1）若连接AO，试判断四边形AECO的形状，并说明理由；
（2）求证：AH是⊙O的切线；
（3）若AB＝6，CH＝2，则AH的长为　
　．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．
（1）求证：AE为⊙O的切线；
（2）当BC＝4，AC＝6时，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，求线段BG的长．
7．如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h．
（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；
（2）求证：ABAC＝2Rh；
（3）设∠BAC＝2α，求的值（用含α的代数式表示）．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求证：AD2＝ABAF；
（3）若BE＝8，sinB＝，求AD的长，
9．如图，⊙O过?ABCD的三顶点A、D、C，边AB与⊙O相切于点A，边BC与⊙O相交于点H，射线AP交边CD于点E，交⊙O于点F，点P在射线AO上，且∠PCD＝2∠DAF．
（1）求证：△ABH是等腰三角形；
（2）求证：直线PC是⊙O的切线；
（3）若AB＝2，AD＝，求⊙O的半径．
10．如图，AB是半圆O的直径，射线AM⊥AB，点P在AM上，连接OP交半圆O于点D，PC切半圆O于点C，连接BC，OC．
（1）求证：△OAP≌△OCP；
（2）若半圆O的半径等于2，填空：
①当AP＝　
　时，四边形OAPC是正方形；
②当AP＝　
　时，四边形BODC是菱形．
参考答案
1．（1）证明：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴OA＝OB＝OD，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBC＝90°，
∵OC∥AD，
∴∠A＝∠COB，∠ODA＝∠COD，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ODA，
∴∠COD＝∠COB，
在△COD和△COB中，
，
∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠ODC＝∠OBC＝90°，
∴OD⊥CD，
∴DC是⊙O的切线；
（2）连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠OBC＝90°，
∵∠BOC＝∠A，
∴△BAD∽△COB，
∴，
∴ADCO＝BAOB，
∵OA＝2，
∴BA＝2OA＝4，OB＝2，
∴ADCO＝BAOB＝8．
2．解：（1）在△BDO和△BCO中，
BD＝BC，OD＝OC，BO＝BO，
故△BDO≌△BCO（SSS），
∴∠BDO＝∠ABC＝90°，
BD是⊙O的切线；
（2）连接CD，则∠AMD＝∠ACD，
AB是直径，故∠ADC＝90°，
在Rt△ADC中，tan∠ACD＝tan∠AMD＝＝，
∵AD＝2，
∴CD＝4，
故圆的半径为5；
（3）在Rt△ADC中，DE⊥AC，
则DE＝＝4，则AE＝2，
由（1）知△BDO≌△BCO，
∴∠BOC＝∠BOD＝∠DOC，
∵∠DAE＝∠DOC，
∴∠DAE＝∠BOC，
∵ED⊥AC，
∴∠AED＝∠OCB＝90°，
∴△DAE∽△BOC，
∴，即，解得：BC＝10，
∴∠BAC＝∠ABC＝45°，
∴∠FAE＝∠AFE＝45°，
∴FE＝AE＝2，
DF＝DE﹣EF＝2．
3．证明：（1）∵AB是直径，
∴∠BDA＝90°，
∴∠DBA+∠DAB＝90°，
∵∠CAD＝∠AED，∠AED＝∠ABD，
∴∠CAD＝∠ABD，
∴∠CAD+∠DAB＝90°，
∴∠BAC＝90°，
即AB⊥AC，且AO是半径，
∴AC为⊙O的切线；
（2）∵DE2＝EFEA，
∴，且∠DEF＝∠DEA，
∴△DEF∽△AED，
∴∠EDF＝∠DAE，
∵∠EDF＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴AE平分∠BAD；
（3）如图，过点F作FH⊥AB，垂足为H，
∵AE平分∠BAD，FH⊥AB，∠BDA＝90°，
∴DF＝FH＝2，
∵S△ABF＝AB×FH＝×BF×AD，
∴2AB＝4BF，
∴AB＝2BF，
在Rt△ABD中，AB2＝BD2+AD2，
∴（2BF）2＝（2+BF）2+16，
∴BF＝，BF＝﹣2（不合题意舍去）
∴AB＝，
∴⊙O的半径为．
4．解：（1）如图，连接OD，
则OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∵点D在⊙O上，
∴BC是⊙O的切线；
（2）∵∠BDO＝90°，
∴sinB＝＝，
∴OD＝5，
∴⊙O的半径为5；
（3）连接EF，
∵AE是直径，
∴∠AFE＝90°＝∠ACB，
∴EF∥BC，
∴∠AEF＝∠B，
又∵∠AEF＝∠ADF，
∴∠B＝∠ADF，
又∵∠OAD＝∠CAD，
∴△DAB∽△FAD，
∴，
∴AD2＝ABAF．
5．（1）解：连接AO，四边形AECO是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD．
∵E是AB的中点，
∴AE＝AB．
∵CD是⊙O的直径，
∴OC＝CD．
∴AE∥OC，AE＝OC．
∴四边形AECO为平行四边形．
（2）证明：由（1）得，四边形AECO为平行四边形，
∴AO∥EC
∴∠AOD＝∠OCF，∠AOF＝∠OFC．
∵OF＝OC
∴∠OCF＝∠OFC．
∴∠AOD＝∠AOF．
∵在△AOD和△AOF中，AO＝AO，∠AOD＝∠AOF，OD＝OF
∴△AOD≌△AOF（SAS）．
∴∠ADO＝∠AFO．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADO＝90°．
∴∠AFO＝90°，即AH⊥OF．
∵点F在⊙O上，
∴AH是⊙O的切线．
（3）∵CD为⊙O的直径，∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴AD，BC为⊙O的切线，
又∵AH是⊙O的切线，
∴CH＝FH，AD＝AF，
设BH＝x，
∵CH＝2，
∴BC＝2+x，
∴BC＝AD＝AF＝2+x，
∴AH＝AF+FH＝4+x，
在Rt△ABH中，∵AB2+BH2＝AH2，
∴62+x2＝（4+x）2，
解得x＝．
∴．
故答案为：．
6．（1）证明：连接OM，如图1，
∵BM是∠ABC的平分线，
∴∠OBM＝∠CBM，
∵OB＝OM，
∴∠OBM＝∠OMB，
∴∠CBM＝∠OMB，
∴OM∥BC，
∵AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，
∴AE⊥BC，
∴OM⊥AE，
∴AE为⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r，
∵AB＝AC＝6，AE是∠BAC的平分线，
∴BE＝CE＝BC＝2，
∵OM∥BE，
∴△AOM∽△ABE，
∴＝，即＝，解得r＝，
即设⊙O的半径为；
（3）解：作OH⊥BE于H，如图，
∵OM⊥EM，ME⊥BE，
∴四边形OHEM为矩形，
∴HE＝OM＝，
∴BH＝BE﹣HE＝2﹣＝，
∵OH⊥BG，
∴BH＝HG＝，
∴BG＝2BH＝1．
7．解：（1）如图1，连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
又∵OD是半径，
∴OD⊥BC，
∵MN∥BC，
∴OD⊥MN，
∴MN是⊙O的切线；
（2）如图2，连接AO并延长交⊙O于H，连接BH，
∵AH是直径，
∴∠ABH＝90°＝∠AFC，
又∵∠AHB＝∠ACF，
∴△ACF∽△AHB，
∴，
∴ABAC＝AFAH＝2Rh；
（3）如图3，过点D作DQ⊥AB于Q，DP⊥AC，交AC延长线于P，连接CD，
∵∠BAC＝2α，AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝α，
∴＝，
∴BD＝CD，
∵∠BAD＝∠CAD，DQ⊥AB，DP⊥AC，
∴DQ＝DP，
∴Rt△DQB≌Rt△DPC（HL），
∴BQ＝CP，
∵DQ＝DP，AD＝AD，
∴Rt△DQA≌Rt△DPA（HL），
∴AQ＝AP，
∴AB+AC＝AQ+BQ+AC＝2AQ，
∵cos∠BAD＝，
∴AD＝，
∴＝＝2cosα．
8．解：（1）如图1，连接OD，则OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∵点D在⊙O上，
∴BC是⊙O的切线；
（2）如图2，
连接OD，DF，EF，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠AFE＝90°＝∠C，
∴EF∥BC，
∴∠B＝∠AEF，
∵∠AEF＝∠ADF，
∴∠B＝∠ADF，
由（1）知，∠BAD＝∠DAF，
∴△ABD∽△ADF，
∴，
∴AD2＝ABAF；
（3）如图3，
连接OD，由（1）知，OD⊥BC，
∴∠BDO＝90°，
设⊙O的半径为R，则OA＝OD＝OE＝R，
∵BE＝8，
∴OB＝BE+OE＝8+R，
在Rt△BDO中，sinB＝，
∴sinB＝＝，
∴R＝5，
∴AE＝2OE＝10，AB＝BE+2OE＝18，
连接EF，由（2）知，∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C＝90°，
∴sin∠AEF＝sinB＝，
在Rt△AFE中，sin∠AEF＝＝＝，
∴AF＝
由（2）知，AD2＝ABAF＝18×＝，
∴AD＝＝．
9．（1）证明：∵四边形ADCH是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠AHC＝180°，
又∵∠AHC+∠AHB＝180°，
∴∠ADC＝∠AHB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝∠B，
∴∠AHB＝∠B，
∴AB＝AH，
∴△ABH是等腰三角形；
（2）证明：连接OC，如右图所示，
∵边AB与⊙O相切于点A，
∴BA⊥AF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴CD⊥AF，
又∵FA经过圆心O，
∴，∠OEC＝90°，
∴∠COF＝2∠DAF，
又∵∠PCD＝2∠DAF，
∴∠COF＝∠PCD，
∵∠COF+∠OCE＝90°，
∴∠PCD+∠OCE＝90°，
即∠OCP＝90°，
∴直线PC是⊙O的切线；
（3）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB＝2，
∵FA⊥CD，
∴DE＝CE＝1，
∵∠AED＝90°，AD＝，DE＝1，
∴AE＝，
设⊙O的半径为r，则OA＝OD＝r，OE＝AE﹣OA＝4﹣r，
∵∠OED＝90°，DE＝1，
∴r2＝（4﹣r）2+12
解得，r＝，
即⊙O的半径是．
10．（1）证明：∵PC切半圆O于点C，
∴OC⊥PC，
∵AM⊥AB，
∴∠OAP＝90°，
在Rt△OAP和Rt△OCP中
，
∴Rt△OAP≌Rt△OCP；
（2）解：①∵Rt△OAP≌Rt△OCP，
∴PA＝PC，
而OA＝OC，
∴当AO＝AP时，四边形OAPC为菱形，
而∠OAP＝90°，
∴四边形OAPC是正方形，
此时AP＝OA＝2；
②∵四边形BODC是菱形，
∴OB＝OD＝CD＝BC，BC∥OD，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠AOP＝60°，
在Rt△OAP中，∵tan∠AOP＝，
∴AP＝2tan60°＝2，
即AP＝2时，四边形BODC是菱形．
故答案为2，2．