北师大版数学八年级上册第七章 《平行线的证明 》专题演练（四）（Word版 含解析）

八年级上册第7章
《平行线的证明
》
专题演练（四）
1．如图1为北斗七星的位置图，如图2将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G，将A，B，C，D，E，F顺次首尾连结，若AF恰好经过点G，且AF∥DE，∠B＝∠C+10°，∠D＝∠E＝105°．
（1）求∠F的度数．
（2）计算∠B﹣∠CGF的度数是　
　．（直接写出结果）
（3）连结AD，∠ADE与∠CGF满足怎样数量关系时，BC∥AD，并说明理由．
2．如图，点E在直线DC上，点B在直线AF上，若∠1＝∠2，∠3＝∠4，则∠A＝∠D，请说明理由．
解：∵∠1＝∠2（已知）
∠2＝∠DME　
　
∴∠1＝∠DME
∴BC∥EF　
　
∴∠3+∠B＝180°　
　
又∵∠3＝∠4（已知）
∴∠4+∠B＝180°
∴　
　∥　
　（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠A＝∠D　
　．
3．如图，射线OA∥射线CB，∠C＝∠OAB＝100°．点D、E在线段CB上，且∠DOB＝∠BOA，OE平分∠DOC．
（1）试说明AB∥OC的理由；
（2）试求∠BOE的度数；
（3）平移线段AB；
①试问∠OBC：∠ODC的值是否会发生变化？若不会，请求出这个比值；若会，请找出相应变化规律．
②若在平移过程中存在某种情况使得∠OEC＝∠OBA，试求此时∠OEC的度数．
4．将一副三角板的直角重合放置，如图1所示，
（1）图1中∠BEC的度数为　
　
（2）三角板△AOB的位置保持不动，将三角板△COD绕其直角顶点O顺时针方向旋转：
①当旋转至图2所示位置时，恰好OD∥AB，求此时∠AOC的大小；
②若将三角板△COD继续绕O旋转，直至回到图1位置，在这一过程中，是否会存在△COD其中一边能与AB平行？如果存在，请你画出图形，并直接写出相应的∠AOC的大小；如果不存在，请说明理由．
5．如图，AE∥CF，∠A＝∠C．
（1）若∠1＝35°，求∠2的度数；
（2）判断AD与BC的位置关系，并说明理由；
（3）若AD平分∠BDF，试说明BC平分∠DBE．
6．（1）问题发现
如图①，直线AB∥CD，E是AB与AD之间的一点，连接BE，CE，可以发现∠B+∠C＝∠BEC．
请把下面的证明过程补充完整：
证明：过点E作EF∥AB，
∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），
∴EF∥DC（　
　）
∴∠C＝∠CEF．（　
　）
∵EF∥AB，∴∠B＝∠BEF（同理），
∴∠B+∠C＝　
　（等量代换）
即∠B+∠C＝∠BEC．
（2）拓展探究
如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：∠B+∠C＝360°﹣∠BEC．
（3）解决问题
如图③，AB∥DC，∠C＝120°，∠AEC＝80°，则∠A＝　
　．（之间写出结论，不用写计算过程）
7．三角形ABC中，D是AB上一点，DE∥BC交AC于点E，点F是线段DE延长线上一点，连接FC，∠BCF+∠ADE＝180°．
（1）如图1，求证：CF∥AB；
（2）如图2，连接BE，若∠ABE＝40°，∠ACF＝60°，求∠BEC的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，点G是线段FC延长线上一点，若∠EBC：∠ECB＝7：13，BE平分∠ABG，求∠CBG的度数．
8．如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME．
（1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由；
（2）如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．
①当点G在点F的右侧时，若β＝56°，求α的度数；
②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
9．如图，∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3．
（1）判断DE与BC的位置关系，并说明理由．
（2）若∠C＝65°，求∠DEC的度数．
10．如图：BD平分∠ABC，∠ABD＝∠ADB，∠ABC＝50°．请问：
（1）∠BDC+∠C的度数是多少？并说明理由；
（2）若P点是BC上的一动点（B点除外），∠BDP与∠BPD之和是一个确定的值吗？如果是，求出这个确定的值；如果不是，说明理由．
参考答案
1．解：（1）∵AF∥DE，
∴∠F+∠E＝180°，
∴∠F＝180°﹣105°＝75°；
（2）延长DC交AF于K，
可得：∠B﹣∠CGF＝∠C+10°﹣∠CGF＝∠GKC+10°＝∠D+10°＝115°，
故答案为；115°；
（3）当∠ADE+∠CGF＝180°时，BC∥AD，
∵AF∥DE，
∴∠GAD+∠ADE＝180°，∠ADE+∠CGF＝180°，
∴∠GAD＝∠CGF，
∴BC∥AD．
2．解：∵∠1＝∠2（已知）
∠2＝∠DME（对顶角相等
）
∴∠1＝∠DME
∴BC∥FE（同位角相等，两直线平行）
∴∠3+∠B＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
又∵∠3＝∠4（已知）
∴∠4+∠B＝180°
∴DE∥AB（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠A＝∠D（两直线平行，内错角相等）
故答案为：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；DE，AB；两直线平行，内错角相等．
3．解：（1）∵OA∥CB，
∴∠OAB+∠ABC＝180°，
∵∠C＝∠OAB＝100°，
∴∠C+∠ABC＝180°，
∴AB∥OC
（2）∵CB∥OA，
∴∠AOC＝180°﹣∠C＝180°﹣100°＝80°，
∵OE平分∠COD，
∴∠COE＝∠EOD，
∵∠DOB＝∠AOB，
∴∠EOB＝∠EOD+∠DOB＝∠AOC＝×80°＝40°；
（3）①∵CB∥OA，
∴∠AOB＝∠OBC，
∵∠DOB＝∠AOB，
∴∠DOB＝∠OBC，
∴∠ODC＝∠DOB+∠OBC＝2∠OBC，
∴∠OBC：∠ODC＝1：2，是定值；
②在△COE和△AOB中，
∵∠OEC＝∠OBA，∠C＝∠OAB，
∴∠COE＝∠AOB，
∴OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，
∴∠COE＝∠AOC＝×80°＝20°，
∴∠OEC＝180°﹣∠C﹣∠COE＝180°﹣100°﹣20°＝60°，
∴∠OEC＝∠OBA，此时∠OEC＝∠OBA＝60°
4．解：（1）∠CAE＝180°﹣∠BAO＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BEC＝∠C+∠CAE＝45°+120°＝165°，
故答案为：165°．
（2）①∵OD∥AB，
∴∠BOD＝∠B＝30°，
又∠BOD+∠BOC＝90°，∠AOC+∠BOC＝90°，
∴∠AOC＝∠BOD＝30°．
②存在，如图1，∠AOC＝120°；
如图2，∠AOC＝165°；
如图3，∠AOC＝30°；
如图4，∠AOC＝150°；
如图5，∠AOC＝60°；
如图6，∠AOC＝15°．
5．解：（1）∵AE∥CF，
∴∠BDC＝∠1＝35°，
又∵∠2+∠BDC＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠BDC＝180°﹣35°＝145°；
（2）BC∥AD．
理由：∵AE∥CF，
∴∠A+∠ADC＝180°，
又∵∠A＝∠C，
∴∠C+∠ADC＝180°，
∴BC∥AD．
（3）∵AE∥CF，
∴∠BDF＝∠DBE．
∵BC∥AD，
∴∠ADB＝∠DBC．
∵AD平分∠BDF，
∴∠ADB＝∠BDF，
∴∠DBC＝∠EBD．
∴BC平分∠DBE．
6．（1）证明：如图①，过点E作EF∥AB，
∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），
∴EF∥DC（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠C＝∠CEF．（两直线平行，内错角相等），
∵EF∥AB，
∴∠B＝∠BEF（同理），
∴∠B+∠C＝∠BEF+∠CEF（等量代换）
即∠B+∠C＝∠BEC，
故答案为：平行于同一直线的两直线平行，两直线平行，内错角相等，∠BEF+∠CEF；
（2）证明：如图②，过点E作EF∥AB，
∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），
∴EF∥DC（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠C+∠CEF＝180°，∠B+∠BEF＝180°，
∴∠B+∠C+∠AEC＝360°，
∴∠B+∠C＝360°﹣∠BEC；
（3）解：如图③，过点E作EF∥AB，
∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），
∴EF∥DC（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠C+∠CEF＝180°，∠A＝∠BEF，
∵∠C＝120°，∠AEC＝80°，
∴∠CEF＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BEF＝80°﹣60°＝20°，
∴∠A＝∠AEF＝20°．
故答案为：20°．
7．（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∵∠BCF+∠ADE＝180°．
∴∠BCF+∠B＝180°．
∴CF∥AB；
（2）解：如图2，过点E作EK∥AB，
∴∠BEK＝∠ABE＝40°，
∵CF∥AB，
∴CF∥EK，
∴∠CEK＝∠ACF＝60°，
∴∠BEC＝∠BEK+∠CEK＝40°+60°＝100°；
（3）∵BE平分∠ABG，
∴∠EBG＝∠ABE＝40°，
∵∠EBC：∠ECB＝7：13，
∴设∠EBC＝7x°，则∠ECB＝13x°，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠EBC＝7x°，∠AED＝∠ECB＝13x°，
∵∠AED+∠DEB+∠BEC＝180°，
∴13x+7x+100＝180，
解得x＝4，
∴∠EBC＝7x°＝28°，
∵∠EBG＝∠EBC+∠CBG，
∴∠CBG＝∠EBG﹣∠EBC＝40°﹣28°＝12°．
8．解：（1）∵EM平分∠AEF，
∴∠AEF＝∠FME，
又∵∠FEM＝∠FME，
∴∠AEF＝∠FEM，
∴AB∥CD；
（2）①如图2，∵AB∥CD，β＝56°，
∴∠AEG＝124°，
又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，
∴∠HEF＝∠FEG，∠MEF＝∠AEF，
∴∠MEH＝∠AEG＝62°，
又∵HN⊥ME，
∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣62°＝28°，
即α＝28°；
②分两种情况讨论：
如图2，当点G在点F的右侧时，α＝β．
证明：∵AB∥CD，
∴∠AEG＝180°﹣β，
又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，
∴∠HEF＝∠FEG，∠MEF＝∠AEF，
∴∠MEH＝∠AEG＝（180°﹣β），
又∵HN⊥ME，
∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣∠MEH＝90°﹣（180°﹣β）＝β，
即α＝；
如图3，当点G在点F的左侧时，α＝90°﹣．
证明：∵AB∥CD，
∴∠AEG＝∠EGF＝β，
又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，
∴∠HEF＝∠FEG，∠MEF＝∠AEF，
∴∠MEH＝∠MEF﹣∠HEF
＝（∠AEF﹣∠FEG）
＝∠AEG
＝β，
又∵HN⊥ME，
∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣∠MEH，
即α＝90°﹣．
9．解：（1）DE∥BC，
理由是：∵∠1+∠2＝180°，
∴AB∥EF，
∴∠ADE＝∠3，
∵∠B＝∠3，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC；
（2）∵DE∥BC，
∴∠C+∠DEC＝180°，
∵∠C＝65°，
∴∠DEC＝115°．
10．解：（1）∠BDC+∠C＝155°．
理由：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝50°，∴∠ABD＝∠CBD＝25°；
又∠ABD＝∠ADB＝25°，∠BDC+∠C＝180°﹣∠CBD＝155°．
（2）是确定的值．
理由：∵∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC，∴∠ADP+∠BPD＝180°；
∴∠BDP+∠BPD＝180°﹣∠ADB＝155°．