1.1.2 等腰三角形（知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接）

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北师大版八年级数学下册第1章三角形的证明
1.1
等腰三角形
第2课时
等腰三角形2
【知识清单】
1.等腰三角形两底角平分线相等，两腰上的中线、高也相等.
2.等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
【经典例题】
例题1、如图，△ABC中，AC=AD，BC=BE，∠ACB=126°，则∠ECD=(　　)
A.
23°
B.
25°
C.
27°
D.31°
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】根据AC=AD，BC=BE，利用等腰三角形的性质，可得∠ACD=∠ADC
∠BCE=∠BEC.再利用三角形内角和定理可得∠A+∠B+∠ACB=180°，∠ACB=126°，可得∠A+∠B=54°，进而可以求得∠ECD+∠CDE
=153°，再由∠ECD+∠CDE
+∠ECD=180°，可得∠DCE的大小．
【解答】∵
AC=AD，
BC=BE，
∴
∠ACD=∠ADC
，∠BCE=∠BEC.
而在△ABC中，∠ACB=126°，
∴∠A+∠B=180°-116°=54°，
又在△ACD中，
∠ACD+∠ADC=180°-∠A，
在△BCE中，
∠BCE+∠BEC=180°-∠B，
∴∠BCE+∠BEC+∠ACD+∠ADC=360°-54°=306°，
∴2∠BEC+2∠ADC=306°，
∴∠BEC+∠ADC=153°，
∴在△ECD中，
∠ECD=180°-(∠ECD+∠CDE)=180°-(∠BCE+∠ADC)
=180°-153°
=27°.
故选C.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理．解答此题的关键是建立起各角之间的等量关系，结合图形列出相关等式进行解答即可．
例题2、如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD．
【考点】?等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】根据等边三角形各边长相等的性质，可得AB=BC，BE=BD，根据等边三角形各内角为60°，可得∠ABE=∠DBE，进而求证△ABE≌△CBD(SAS)，即可求得AE=CD．
【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABE=60°
又∵△BDE是等边三角形，
∴BE=BD，∠DBE=60°，
∴∠ABE=∠DBE，
∴在△ABE和△CBD中，
∵，
∴△ABE≌△CBD(SAS)，
∴AE=CD．
【点评】本题考查了全等三角形的证明，全等三角形对应边相等的性质，等边三角形各内角为60°的性质，本题中求证△ABE≌△CBD(SAS)是解题的关键．
【夯实基础】
1、下列命题:①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形的最短边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形.其中不正确的有(?
)?
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2、如图，将边长为5个单位的等边△ABC沿边BC向右平移4个单位得到△，则四边形的周长为(　　)
A．28
B．26
C．24
D．23
3、如图，直线l∥m∥n，等边三角形ABC的顶点A，B，C分别在直线m、l和n上，边AC与直线m的夹角为38°，则∠α的度数为(　　)
A．22°
B．24°
C．28°
D．38°
4、若a、b为实数，且满足=0
，以a、b的值为两边长的等腰三角形的面积是(
)
A．120
B．60
C．40
D．30
5、边长为12cm的等边三角形的面积为=
.
6、等腰三角形的周长为17，且三边均为整数，则腰长为
.
7、等腰三角形一腰上的高与腰的夹角为50°，则这个等腰三角形的顶角是
.
8、如图已知CA=CD，EA=EB，∠CFE=123°，求∠A的度数.
9、如图，
△ABC是等边三角形，E、D分别是边BC，AC上的点，且BE=CD，
求证：∠AEC+∠BDC=180°.
【提优特训】
10、等腰三角形两腰上的高相交所成的钝角为100°，则顶角的度数为
(
).
A．80°
B．100°
C．80或100°
D．80°或140°
11、如图，点D是△ABC内一点，AD=BD=CD，若∠BAC=62°，则∠DBC度数是(
)
A．28°
B．32°
C．36°
D．40°
12、如图，△ABC中，AB=AC，△DEF为等边三角形，则α、β、γ之间的关系为(
)
A．2β=
α+γ
B．2α=β+γ
C．2β=
α-γ
D．2α=β-γ
13、如图，四边形ABCD中，AC、BD为对角线，△ABC为等边三角形，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，则CD的长为
(
)．
A．
B．
C．4
D．4.2
14、如图，是等边三角形，B的坐标为(-5，2)，C的坐标为(-1，2)，则直线AC的解析式为
.
15、如图，在△ABC中，AB=AC，AE=ED=DB=BC，则∠A=
.
16、如图，在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C得到第1个△A1A2C；在A2C取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D，得到第2个△A2A3D；…，按此做法进行下去，则：①第3个等腰三角形△A3A4E的底角度数为
，
②第n个等腰三角形的底角度数为
.
17、已知△ABC为等腰三角形，∠A=100°，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于D，
求证：AD＋BD=BC.
18、如图，在等腰三角形△ABC中，AB=AC，点D是底边BC所在直线上任意一点，探究点D到这个等腰三角形两腰的距离与一腰的高等量关系.
【中考链接】
19、(2020?江苏苏州)
如图，在△ABC中，BAC108，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ABC．若点B恰好落在BC边上，且ABCB，则C的度数为(
).
A．18°
B．20°
C．24°
D．28°
20、(2020?西藏)如图，△ABC中，D为BC边上的一点，AD=AC，以线段AD为边作△ADE，使得AE=AB，∠BAE=∠CAD．求证：DE=CB．
参考答案
1、C
2、D
3、A
4、B
5、cm2
6、5或6或7或8
7、40°或140°
10、C
11、A
12、B
13、C
14、
15、
16、①10°
②
19、C
8、如图已知，
CA=CD，EA=EB，∠CFE=123°，求∠A的度数.
解：　∵CA=CD，EA=EB，
∴∠A=∠ADC，∠A=∠ABE，
在△ACD中，∠C+∠A+∠ADC=180°，
即∠C+2∠A
=180°，
∴∠C
=180°-2∠A，
同理∠E
=180°-2∠A.
∵∠CFE=∠FDE+∠E，∠FDE=∠A+∠C，
∴∠CFE=∠A+∠C+∠E.
∴∠CFE=∠A+180°-2∠A
+180°-2∠A.
∵∠CFE=123°，
∴123°=∠A+180°-2∠A
+180°-2∠A.
解得∠A=79°.
9、如图，
△ABC是等边三角形，E、D分别是边BC，AC上的点，且BE=CD，
求证：∠AEC+∠BDC=180°.
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠C=60°.
在△ABE和△BCD中，
∵，
∴△ABE≌△BCD(SAS).
∴∠1=∠2，
∵∠APD=∠1+∠ABP=∠2+∠ABP=∠ABC=60°，
∴∠DPE=120°，
∵∠C+∠DPE=60°+120°=180°，
∴∠AEC+∠BDC=360°-
(∠C+∠DPE)=360°-180°=180°.
17、已知△ABC为等腰三角形，∠A=100°，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于D，
求证：AD＋BD＝BC.
证明：如图，在BC上截取BE=BA，延长BD到F使BF=BC，连接DE、CF．
∵AB=AC，
∴∠1=∠2=，
在△ABD和△EBD中，
∵，
∴△ABD≌△EBD.
∴∠DEB=∠A=100°，则∠5=∠DEC=80°.
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠6==40°，
∴∠3=180°∠5∠6=60°，
∴∠4=∠ADB=180°∠A∠1=60°，
∴∠3=∠4，
∵BC=BF，∠2=20°，
∴∠F=∠FCB=，
∴∠5=∠F，
又∵DC=DC，
在△CED和△CFD中，
∵，
∴△CED≌△CFD(AAS)，
∴DF=DE=AD，
∴BC=BF=BD+DF=BD+AD.
18、如图，在等腰三角形△ABC中，AB=AC，点D是底边BC所在直线上任意一点，探究点D到这个等腰三角形两腰的距离与一腰的高等量关系.
探究：(1)如图1，点D在底边BC上(不与B、C重合)，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，CG⊥AB于G，则DE+DF=CG；
如图1，连接AD，则S△ABC=S△ABD+S△ACD，
∴.
∵AB=AC，
∴CG=DE+DF；
探究(2)如图2，点D在直线BC上点C的右侧，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，CG⊥AB于G，则DEDF=CG；
如图2，连接AD，则S△ABC=S△ABDS△ACD，
∴
∵AB=AC，
∴；
探究(3)如图3，点D在直线BC上点B的左侧，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，CG⊥AB于G，则DFDE=CG.
如图3，连接AD，则S△ABC=S△ADCS△ADB，
∴
∵AB=AC，
∴.
20、(2020?西藏)如图，△ABC中，D为BC边上的一点，AD=AC，以线段AD为边作△ADE，使得AE=AB，∠BAE=∠CAD．求证：DE=CB．
证明：∵∠BAE=∠CAD，
∴∠BAE+∠BAD=∠CAD+∠BAD，
∴∠EAD=∠BAC.
在△EAD和△BAC中，
∵，
∴△EAD≌△BAC(SAS)，
∴DE=CB．
第3题图
例题1图
例题2图
第2题图
第13题图
第9题图
第20题图
第8题图
第17题图
第19题图
第16题图
第15题图
第11题图
第14题图
第18题图3
第18题图2
第12题图
第18题图1
第18题图1
第17题图
第17题图
第9题图
第8题图
第20题图
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