人教版数学九年级下册第二十七章《相似》单元基础提升训练卷（Word版 含答案）

九年级人教版数学下册第二十七章《相似》单元基础提升训练卷
一、单选题
1．观察下列每组图形，相似图形是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．两个矩形必相似 B．两个含角的等腰三角形必相似
C．两个菱形必相似 D．两个含角的直角三角形必相似
3．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是的中位线，，则S四边形DBCE的面积是（ ）
A．4 B．6 C．2 D．5
5．如图，为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组做了如下的探索：把一面很小的镜子水平放置在离树底（）7.8米的点处，然后观察者沿着直线后退到点，这时恰好在镜子里看到树梢顶点，再用皮尺量得米，观察者目高米，则树（）的高度约为（ ）米．
A．15.6 B．6.4 C．3.4 D．3.9
6．如图，在平面直角坐标系中，已知与是位似图形，原点是位似中心，位似比，若，则的长为（ ）．
A．5 B．6 C．9 D．12
7．如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且，已知DE:DF=3:7，BC=14，则AB的长为（ ）
A．10.5 B．6 C．7 D．8
8．如图，已知BD与CE相交于点A，DE∥BC，如果AD=2，AB=3，AC=6，那么AE等于（ ）
A． B． C．4 D．9
9．如图，已知边长为的正方形，是的中点，是的中点，与相交于，和相交于．则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，点在边上，，，联结，与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（　　）
A．△AOM和△AON都是等边三角形
B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形
C．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形
D．MO∥BC且BM＝CO
12．如图，正方形的对角线，交于点，的平分线交于，交于，且．下列结论中：①；②；③若，则的长为．其中正确的结论有（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题
13．已知点P是线段AB的一个黄金分割点，且AP＞BP，那么AP：AB的比值为______．
14．如图，已知AD，要使ABC∽DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是____．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）
15．如图：在中，，，，则________．
16．如图，△ABC是等边三角形，AB＝6．点D和E分别在边BC和AC上，且∠ADE＝60°，BD＝2，则CE的长为_____．
17．如图，在矩形中，对角线，交于点，过点作，交的延长线于点，若，，则的长为________．
18．如图，在中，，在的外部和内部（不包括边）分别取点，，若，，，补角等于，则下列结论：①点在线段的垂直平分线上；②；③；④的最大值是．其中正确的结论是__________．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题
19．如图，在中，点、分别在、上，，若，，，求AD的长．
20．如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，连接DE，且．
（1）求证：ADE∽ACB；
（2）若∠B=55°，∠ADE =75°，求∠A的度数．
21．如图所示，AD、BC为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间，两人相距6.5m，小明站在P处，小亮站在Q处，小明在路灯C下的影长为2m，已知小明身高1.8m，路灯BC高9m．小明在路灯BC下的影子顶部恰好位于路灯DA的正下方，小亮在路灯AD下的影子顶部恰好位于路灯BC的正下方．
①计算小亮在路灯D下的影长；
②计算建筑物AD的高．
22．如图，AB是OO的直径，点D在AB的延长线上，C、E是OO上的两点，C为弧BE的中点，∠BCD＝∠CAE，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：CD是OO的切线：
（2）求证：CE＝CF：
（3）若BD＝1，CD＝，求弦AC的长．
23．如图，已知在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，将△COD绕点O逆时针方向旋转得到△C1OD1，旋转角0°α90°，连结DD1、AC1、BD1，AC1与BD1相交于点P．
（1）判断△BDD1形状，并说明理由；
（2）①求证：；
②判断AC1与BD1的位置关系，并说明理由．
24．如图，为的直径，为延长线上一点，且，，为的弦，连接，连接并延长交于点，连接交于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）求的半径的长；
（3）求线段的长．
25．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在中，，是的完美分割线，且，求的度数．
（2）如图2，在中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，找出与的关系．
参考答案
1．C
解：A、两图形形状不同，故不是相似图形；
B、两图形形状不同，故不是相似图形；
C、两图形形状相同，故是相似图形；
D、两图形形状不同，故不是相似图形；
2．D
A、两个矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例，则不一定相似，此项错误；
B、如果一个等腰三角形的顶角是，另一等腰三角形的底角是，则不相似，此项错误；
C、两个菱形的对应边成比例，但四个内角不一定对应相等，则不一定相似，此项错误；
D、两个含角的直角三角形必相似，此项正确；
3．B
解：∵∠DAB=∠CAE，
∴∠DAE=∠BAC，
A、若，且∠DAE=∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故选项A不符合题意；
B、若，且∠DAE=∠BAC，无法判定△ABC∽△ADE，故选项B符合题意；
C、若∠B=∠D，且∠DAE=∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故选项C不符合题意；
D、若∠C=∠AED，且∠DAE=∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故选项D不符合题意；
4．B
解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴△ADE∽△ABC，
S△ADE：S△ABC=（）2=，
又△ADE的面积是2，
∴△ABC的面积为8，
∴四边形DBCE的面积是8-2=6．
故选：B．
5．D
∵∠AEB=∠CED，∠BAE=∠DCE，
∴RtABE∽RtCDE，
∴，
即，
∴=3.9，
6．C
解：∵△ABC与△DEF是位似图形，
∴AB∥DE，
∴△OAB∽△ODE，
∴，即，
解得：DE＝9，
7．A
设AB=x，根据题意得，
8．C
解：∵ED∥BC，
∴ ，
即，
∴AE＝4，
9．C
解：∵正方形
∴BC∥AD，AD=BC=AB=2
∵是的中点，
∴
∴△BFH∽△DAH，
∴相似比为
∴△BFH与△DAH相似比为1：2，
∴△BFH与△DAH对应高的比1：2，
∴△BFH的BF边上的高为，△DAH的AD边上的高为，
∴△ADH的面积为，△FBH的面积为；
∵是的中点，
∴
∴
在△ABF和△DAE中
∵
∴△ABF≌△DAE，（SAS）
∴∠BAF=∠ADE，AF=DE
∵∠ADE+∠AED=90°，
∴∠BAF+∠AED=90°，
∴∠AIE=90°=∠DAB，
∵∠ADE=∠IDA
∴△AEI∽△EDA，
∴
∵AF=DE=
∴
∴
∴△AEI的面积=
∴四边形BEIH的面积=
10．C
解：∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DFCE是平行四边形，
∴DE=CF，DF=CE，
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴△ADE∽△ABC，△BFD∽△BAC，
∴，故A错误；
，即，故B错误；
∵DF∥AC，∴，故C正确；
∵DE∥BC，∴，故D错误，
11．C
解：∵∠BAD不一定等于为120°，
∴△AOM和△AON不一定都是等边三角形，A错误；
∵BM不一定等于BO，
∴四边形MBON和四边形MODN不一定都是菱形，B错误；
∵四边形ABCD为菱形，
∴AO＝OC，又AM＝MB，
∴OM∥BC，OM＝BC，
同理，ON∥CD，ON＝CD，
∴四边形AMON与四边形ABCD是以A为位似中心的位似图形，C正确；
MO∥BC，但BM不一定等于CO，D错误；
故选：C．
12．D
（1）延长DG、BC交于点H，
∵BG平分∠CBD，
∴∠1＝∠2，
∵DG⊥BG，
∴∠BGD＝∠BGH＝90°，
又∵BG＝BG，
∴△BGD≌△BGH（ASA），
∴BD＝BH，
∴DH＝2DG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCF＝∠DCH＝90°，
又∵∠BGD＝90°，∠3＝∠4，
∴∠2＝∠5，
∴△BCF≌△DCH（ASA），
∴BF＝DH，
∴BF＝2DG；①正确；
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠BDC＝45°，
∴∠BCE＝∠BDF，
又∵∠1＝∠2，
∴△BEC∽△BFD，②正确
∵BC=CD,BC2+CD2=BD2,
∴BD=BC
∴，
∵，
∴BF＝．③正确
故选D．
13．
∵点P是线段的一个黄金分割点，且，
∴AP：AB=．
14．AB∥DE
∵∠A=∠D，
∴当∠B=∠DEF时，△ABC∽△DEF，
∵AB∥DE时，∠B=∠DEF，
∴添加AB∥DE时，使△ABC∽△DEF．
故答案为：AB∥DE．
15．9
∵，
∴△ADE∽△ABC，
∴相似比=，
∵，，
∴AB=AD+BD=3，
∴，
∴，
故答案为：9．
16．．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60?，AB=BC=6，
∴∠BAD+∠ADB=180?-∠B=180?-60?=120?，
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADB+∠EDC=180?-∠ADE=180?-60?=120?，
∴∠BAD=∠CDE，
∴△ABD∽△DCE，
∴，
∵BD＝2，
∴CD=BC-BD=6-2=4，
∴，
∴，
故答案为：．
17．
如图所示，作DF⊥AC于F点，
在Rt△ABC中，，，
根据矩形的性质可得：∠BAC=∠FCD，，
∴△ABC∽△CFD，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
18．①②
∵AD=AE=4，
∴点A在线段DE的垂直平分线上；故①正确；
如图，延长DA至F，则∠CAF+∠CAD=180°，
∵∠BAC=120°，
∴∠ACB+∠ABC=60°，∠BAD+∠CAF=60°，
∵补角等于，
∴∠CAE=∠CAF，
∴∠ACB+∠ABC=∠BAD+∠CAE，故②正确，
∵，，，
∴=2，
∵不能证明∠ADB=∠CEA，
∴不能判定△ACE∽△BAD，故③错误，
∵2＜AC＜6，4＜AB＜12，
∴6＜BC＜18，
∴不能确定BC的最大值；故④错误；
综上所述：正确的结论为①②，
19．AD=4
解：∵DE∥BC，
∴，
设AD=x，则，
∴，
解得：x=4或﹣4（舍去），
即AD=4．
20．
（1）证明：∵，
∴.
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB；
（2）解：∵△ADE∽△ACB，
∴∠ADE=∠ACB，
∵∠ADE=75°，∴∠ACB=75°.
又∵∠B=55°，
∴∠A=180°-∠ACB-∠B=50°．
21．①1.5米 ②12米
①∵
∴ ,

，
∴ ，
∴AB=10,
∴BQ = 10- 2- 6.5= 1.5，
即小亮在路灯D下的影长是1.5米．
②∵
∴,
∴ ,

，
∴ ，
解得DA=12，
∴建筑物的高为12米．
22．
（1）连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAD＋∠ABC＝90°，
∵C为弧BE的中点，
∴CE＝CB，
∴∠CAE＝∠CAB，
∵∠BCD＝∠CAE，
∴∠CAB＝∠BCD，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OCB＋∠BCD＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵∠BAC＝∠CAE，∠ACB＝∠ACF＝90°，AC＝AC，
∴△ABC≌△AFC（ASA），
∴CB＝CF，
又∵CB＝CE，
∴CE＝CF；
（3）∵∠BCD＝∠CAD，∠ADC＝∠CDB，
∴△DCB∽△DAC，
∴，
∴，
∴AD=2，
∴AB＝AD?BD＝2?1＝1，
设BC＝a，AC＝a，由勾股定理得：，
解得：，
∴AC=．
23．
解（1）△BDD1为直角三角形
连接DD1,
∵△COD绕点O旋转得到△C1OD1，∴OD1=OD
∵四边形ABCD为菱形，对角线AC、BD相交于点O，
∴OD=OB=BD
∴OD1=OD=OB，
∴∠OD1D=∠ODD1, ∠OBD1 =∠OD1B,
又∵∠OD1D+∠ODD1+∠OBD1 +∠OD1B=180°，
∴∠BD1D=∠OD1D+∠OD1B=90°，
∴△BDD1为直角三角形
（2）①∵四边形ABCD为菱形，对角线AC、BD相交于点O，
∴OD=OB=BD，OA=OC=AC，
∵△COD绕点O旋转得到△C1OD1，
∴OD1=OD，OC=OC1，∠COC1=∠DOD1
∴OD1=OB，OC1 =OA，∠AOC1=∠BOD1
∴=
∴△AOC1∽△BOD1
∴===；
②AC1⊥BD1
∵△AOC1∽△BOD1
∴∠AC1O=∠BD1O
∵四边形ABCD为菱形，对角线AC、BD相交于点O，
∴AC⊥BD，∠COD=90°
∵△COD绕点O旋转得到△C1OD1，
∴∠COD=∠C1OD1=90°
∴∠OD1C1+∠D1C1O=∠OD1C1+∠D1C1A+∠AC1O=90°
∴∠BD1O+∠OD1C1+∠D1C1A =90°
∴∠D1PC1=90°
∴AC1⊥BD1
24．
（1）∵，，
∴，∠ADB=180°-2∠BAD=120°，
∴∠ODB=∠ADB-∠ADO=120°-30°=90°，
∵为的半径，
∴直线是的切线；
（2），，
∴，
∵，
∴，
∴的半径的长为1；
（3）如图，连接，
∵，
∴，OB=2，，
∴，
∵为的直径，∠DME是DE所对的圆周角，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵∠DBE=∠MBD，
∴，
∴，
∴．
∴线段的长为．
25．
解：（1）当时，如图，．
∵，
∴，
∴．
（2）结论：．
∵，
∴，
∴
∴．