沪教版（上海）八年级数学寒假班讲义——07无理方程（学生版+教师版）
文档属性
| 名称 | 沪教版（上海）八年级数学寒假班讲义——07无理方程（学生版+教师版） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-01-24 21:45:58 | ||
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文档简介
1047750010617200初二数学寒假班（教师版）
教师
日期
学生
课程编号
课型
同步/专题
课题
无理方程及应用
教学目标
理解无理方程的概念；掌握简单的无理方程的解法，知道“验根”是解无理方程的必要步骤，掌握验根的基本方法．
熟练的解决无理方程的应用问题．
教学重点
1．无理方程的解法；
2．无理方程有可能产生增根的理解．
教学安排
版块
时长
1
无理方程的概念及解法
50分钟
2
无理方程的应用
30分钟
3
课堂练习
40分钟
1111250146050无理方程
无理方程
-37147516510 知识结构
知识结构
386080147955模块一：无理方程的概念和解法
模块一：无理方程的概念和解法
-2171705080知识精讲
知识精讲
1．无理方程的概念
方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．
2．解无理方程的方法
通过平方把无理方程转化为整式方程，再求解．
3．解无理方程的一般步骤
（1）方程两边平方，化成整式方程；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的根；
（3）检验．直接代入原方程中，看其是否成立．如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解．
-60325-154940例题解析
例题解析
下列方程是哪些是关于false的无理方程?
（1）false； （2）false； （3）false；
（4）false； （5）false； （6）false．
下列哪个方程有实数解（ ）
A．false B．false
C．false D．false
若方程false有解，则false的取值范围是________．
不解方程，说明下列方程是否有实数根：
（1）false；
（2）false．
用换元法解方程false时，设false．则该方程转换整式方程是____________．
解下列方程：
（1）false； （2）false．
解下列方程：
（1）false； （2）false；
解下列方程：
（1）false； （2）false．
解方程：false．
解方程：
（1）false； （2）false．
解下列方程：
（1）false； （2）false．
解下列方程：false．
解下列方程：false．
72199549530模块二：无理方程的根的讨论
模块二：无理方程的根的讨论
-201930147320知识精讲
知识精讲
3．增根的概念
-114300495300例题解析
例题解析
无理方程在化整式方程求解过程中，整式方程的解如果使得无理方程左右两边不相等，那么这个解就是方程的增根.
关于false的方程false有一个增根x=4，求：
a的值；
方程的根．
若方程false有一个根是false，求实数m的值．
若关于x的无理方程false有实数根，求k的取值范围．
若关于x的方程false只有一个实数根，求m的取值范围．
72199549530模块三：无理方程的应用
模块三：无理方程的应用
-201930233680知识精讲
知识精讲
4．应用
-68580233045例题解析
例题解析
寻找题目中的等量关系，列方程，求解，根据实际情况进行取舍．
用一根56厘米的细铁丝弯折成一个直角三角形，使它的一条直角边长为7厘米， 求这个直角三角形的另两条边的长度．
建一块场地，用600块正方形的砖头铺成，如果把场地的面积扩大到原来面积的2 倍还多0.6平方米，且正方形的砖头的边长增加10厘米，则需要铺540块方砖，求原 场地的面积．
若Q点在直线false上，且Q到点P(0，2)的距离为false，求Q点的坐标．
37306251118235A
B
P
N
M
O
l1
l2
A
B
P
N
M
O
l1
l2
false与false为两条互相垂直的大路，小李和老王从十字路口O点同时出发，分别沿着 图示的方向以1千米/小时和2千米/小时的速度前进，到达A与B地，一座学校座落于 距false8千米，距false5千米的P处，问：经过多少时间，两人距离学校的路程刚好相等？ 是几千米？
有一群蜜蜂，一部分飞进了枸杞里，其个数等于总数的一半的平方根，还有全体
的false遗留在后面，此外，这群里还有一个小蜜蜂在莲花旁徘徊着，它被一个坠入香花陷
阱的同伴的呻吟声所吸引．试问：这群蜜蜂共有多少个?
m、n为两段互相垂直的笔直的公路，工厂A在公路n上，距离公路m为1千米．工 厂B距离公路m为2千米，且距离公路n为3千米，现在要在公路m上选一个地址造 一个车站P，使它与A、B两厂的距离和为false千米，试指出车站P的位置?
如图，x轴表示一条东西方向的道路，y表示一条南北方向的道路，小丽和小明分 别从十字路口O点处同时出发，小丽沿着x轴以4千米/时的速度由西向东前进，小明 沿着y轴以5千米/时的速度由南向北前进，有一棵百年古树位于图中的P点处，古树 与x轴、y轴的距离分别是3千米和2千米，问：
离开路口后，经过多长时间，两人与古树的距离恰好相等?
离开路口后多少时间，两人与这课古树所处的位置恰好在一条直线上?
随堂检测
随堂检测
下列方程是无理方程的是（ ）．
A．false B．false
C．false D．false
根据平方根的意义，直接判断下列方程是否有解，并简述理由：
（1）false； （2）false；
（3）false； （4）false．
方程false的实数解为（ ）．
A．false B．false C．false D．false
用换元法解方程false时，设false．则该方程 可转换成整式方程是_________．
解方程：
（1）false； （2）false．
解方程：
（1）false； （2）false．
解方程：
（1）false；
（2）false．
有两块正方形木板，其中大的一块木板面积比小的木板面积大45平方米，小的木板的边长比大的木板的边长短3分米，求这块小木板的面积．
如果false轴上一点P到两点A（3，5）、B（-1，-2）的距离相等，求P点的坐标．
解方程：false．
解方程：false．
已知a为非负整数，若关于x的方程false至少有一个整数根，
求a的值．
4686300562610A地在M地的正北方向12千米处，B地在M地的正东方向12千米处，某人从 B地出发向正西方向行至C地，再沿CA方向到达A地，这样比由B地到M地再到A 地的路程少4千米，求M地与C地之间的距离．
-1143005080课后作业
课后作业
下列方程是无理方程的是（ ）．
A．false B．false
C．false D．false
下列无理方程有解的方程是（ ）．
A．false B．false
C．false D．false
下列四个无理方程中，有一个根是x=2的方程是（ ）．
A．false B．false
C．false D．false
用换元法解false方程时，设false=y，则原方程可转换成整式方程_____________．
将下列方程化成有理方程：
（1）false； （2）false； （3）false．
解下列方程：
（1）false； （2）false．
解下列方程：
（1）false； （2）false．
解下列方程：
（1）false； （2）false．
有一个数，它的平方根比它的倒数的正平方根的3倍多2，求这个数．
已知点P是x轴上一点，它与点A(-9，3)之间的距离是15，求点P的坐标．
某学校修建两块面积相等的绿地，一块是长方形，另一块是正方形．已知长方形绿地的长比宽多14米，且这两块绿地的周长之和为196米，那么长方形绿地的宽是多少?
解下列方程：
（1）false； （2）false．
解下列关于false的方程：
（1）false； （2）false．
若关于x的方程false有实数根，求k的取值范围．
1047750010617200初二数学寒假班（教师版）
教师
日期
学生
课程编号
课型
同步/专题
课题
无理方程及应用
教学目标
理解无理方程的概念；掌握简单的无理方程的解法，知道“验根”是解无理方程的必要步骤，掌握验根的基本方法．
熟练的解决无理方程的应用问题．
教学重点
1．无理方程的解法；
2．无理方程有可能产生增根的理解．
教学安排
版块
时长
1
无理方程的概念及解法
50分钟
2
无理方程的应用
30分钟
3
课堂练习
40分钟
1111250146050无理方程
无理方程
-37147516510 知识结构
知识结构
386080147955模块一：无理方程的概念和解法
模块一：无理方程的概念和解法
-2171705080知识精讲
知识精讲
1．无理方程的概念
方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．
2．解无理方程的方法
通过平方把无理方程转化为整式方程，再求解．
3．解无理方程的一般步骤
（1）方程两边平方，化成整式方程；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的根；
（3）检验．直接代入原方程中，看其是否成立．如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解．
-60325-154940例题解析
例题解析
下列方程是哪些是关于false的无理方程?
（1）false； （2）false； （3）false；
（4）false； （5）false； （6）false．
【难度】★
【答案】（1）、（2）、（3）、（4）、（6）是无理方程．
【解析】根据无理方程的概念，方程中含有根式，并且被开方数是含有未知数的代数式的方
程叫做无理方程，可知（1）、（2）、（4）、（6）都是无理方程，false，可知（3）也
是无理方程．
【总结】考查无理方程的概念，方程中根号内含有未知数即可．
下列哪个方程有实数解（ ）
A．false B．false
C．false D．false
【难度】★
【答案】D
【解析】根据二次根式的双重非负性，对A选项，false，此时false，故方程
无实数解；对B选项，false，可知方程无实数解；对C选项，false，
false无解，即方程无实数解；故选D．
【总结】考查对无理方程解的判断，根据二次根式双重非负性即可进行简单判定．
若方程false有解，则false的取值范围是________．
【难度】★
【答案】false．
【解析】移项得false，方程有解，根据二次根式的非负性，可得false，得false．
【总结】考查无理方程有解的应用，根据二次根式的非负性即可进行判断．
不解方程，说明下列方程是否有实数根：
（1）false；
（2）false．
【难度】★
【答案】（1）有唯一实数根false；
（2）当false时，方程无实数根；当false时，方程有无数个实数根．
【解析】（1）根据二次根式的非负性，可得：false，即得false的定义域为false，
此时false，即得方程有唯一实数根false；
当false时，则有false，根据二次根式非负性，可知方程无实数根；
当false时，等式恒成立，可知方程有无数实数根，满足false即可．
【总结】考查对无理方程解的判断，对部分方程根据二次根式双重非负性即可进行判定．
用换元法解方程false时，设false．则该方程转换整式方程是____________．
【难度】★
【答案】false．
【解析】由false，可得false，原方程即为false，
整理即为false．
【总结】考查用“换元法”对无理方程进行变形转化，注意最终要化成整式形式．
解下列方程：
（1）false； （2）false．
【难度】★★
【答案】（1）false；（2）false．
【解析】（1）两边平方，得：false，整理得：false，
解得：false，false，经检验，false是原方程的增根，即原方程的根为false；
移项得：false，两边平方得：false，
因式分解整理得：false，解得：false，false，
经检验，false是原方程的增根，即原方程的根为false．
【总结】考查无理方程的解法，注意方程增根的检验．
解下列方程：
（1）false； （2）false；
【难度】★★
【答案】（1）false；（2）false．
【解析】（1）两边平方，得：false，整理得：false，
解得：false，false，经检验，false是原方程的增根，即原方程的根为false；
（2）由原式得：false或false，解得：false，false，
经检验，false是原方程的增根，即原方程的根为false．
【总结】考查无理方程的解法，注意无理方程的验根．
解下列方程：
（1）false； （2）false．
【难度】★★
【答案】（1）false；（2）false．
【解析】（1）两边平方得：false，整理得：false，
配方法解得：false，false，
经检验，false是原方程的增根，即原方程的根为false；
（2）移项得false，两边平方得false，整理得false，
解得：false，false，经检验，false是原方程的增根，即原方程的根为false．
【总结】考查无理方程的解法，注意方程增根的检验．
解方程：false．
【难度】★★
【答案】false，false．
【解析】令false，则false，原方程即为false，解得：false，false，
则有false或false，解得：false，false，
经检验，false，false都是原方程的根．
【总结】考查利用“换元法”解无理方程，注意观察无理方程含未知数的根式之间的联系．
解方程：
（1）false； （2）false．
【难度】★★
【答案】（1）false，false；（2）false，false．
【解析】（1）令false，得false，原方程即false，
整理得false，解得：false（舍），false，
令false，平方整理得false，解得：false，false，
经检验，false，false都是原方程的根；
（2）令false，得false，原方程即false，
整理得false，解得：false（舍），false，
令false，平方整理得false，解得：false，false，
经检验，false，false都是原方程的根．
【总结】考查用“换元法”解无理方程，注意根据元的取值范围舍去增根．
解下列方程：
（1）false； （2）false．
【难度】★★
【答案】（1）false；（2）false．
【解析】（1）移项得false，两边平方得false，
移项得false，两边平方得false，解得：false，
经检验，false是原方程的根；
（2）两边平方得false，移项得false，
两边平方整理得false，配方法解得：false，false，
经检验，false是原方程的增根，即原方程的根是false．
【总结】考查含有多个二次根式的无理方程的解法，两边多次平方即可．
解下列方程：false．
【难度】★★★
【答案】false．
【解析】平方得false，移项得false，
两边平方整理得false，解得：false，false，
经检验，false是原方程的增根，即原方程的根是false．
【总结】考查含有多个二次根式的无理方程的解法，两边多次平方即可．
解下列方程：false．
【难度】★★★
【答案】false．
【解析】令false，则有false，由此原方程可变形得：
false，整理即为false，
因式分解法解得：false，false，即false或false，
由false，整理得false，解得：false，false，
经检验，false是原方程的增根，
由false，可解得：false，经检验，false是原方程的增根，
综上所述，原方程的根是false．
【总结】考查较复杂的换元法的转化解无理方程，注意方程增根的检验．
72199549530模块二：无理方程的根的讨论
模块二：无理方程的根的讨论
-201930147320知识精讲
知识精讲
3．增根的概念
-114300495300例题解析
例题解析
无理方程在化整式方程求解过程中，整式方程的解如果使得无理方程左右两边不相等，那么这个解就是方程的增根.
关于false的方程false有一个增根x=4，求：
a的值；
方程的根．
【难度】★★
【答案】（1）false；（2）false
【解析】（1）移项，两边平方得：false，移项得false，
两边平方得：false，将false代入有false，
整理得false，解得：false，false，当false时，false是方程增根，
当false时，false不是方程增根，由此即得false；
（2）将false代入上述平方整理的方程即有false，
移项整理得false，解得：false，false，
由题意可得false是原方程的增根，即得原方程的根是false．
【总结】考查含有多个二次根式的无理方程的解法，两边多次平方即可．
若方程false有一个根是false，求实数m的值．
【难度】★★
【答案】false．
【解析】因为方程有一个根是false，所以代入得false，平方整理得false，
解得：false，false，经检验，false是方程的增根，应舍去，即得false．
【总结】考查无理方程根的意义，代入转化为其它未知数的求值即可．
若关于x的无理方程false有实数根，求k的取值范围．
【难度】★★★
【答案】false或false．
【解析】令false，则有false，原方程即为false，
整理即为false，当false时，则有false是增根，应舍去；
当false时，分解因式得false，解得：false（舍），false，
因为方程有实数根，则应有false，分类讨论得false或false，
即得false的取值范围为false或false．
【总结】考查无理方程根的判定，利用换元法根据二次根式的非负性进行求解计算．
若关于x的方程false只有一个实数根，求m的取值范围．
【难度】★★★
【答案】false．
【解析】令false，则有false，原方程即为false，
整理即为false，
因为方程只有一个实数根，则方程有且仅有一根满足false，则另一根必满足false，
根据韦达定理可得：false，得false的取值范围是false．
【总结】考查无理方程根的判定，利用换元法根据二次根式的非负性进行求解计算．
72199549530模块三：无理方程的应用
模块三：无理方程的应用
-201930233680知识精讲
知识精讲
4．应用
-68580233045例题解析
例题解析
寻找题目中的等量关系，列方程，求解，根据实际情况进行取舍．
用一根56厘米的细铁丝弯折成一个直角三角形，使它的一条直角边长为7厘米， 求这个直角三角形的另两条边的长度．
【难度】★★
【答案】false和false．
【解析】设另外一条直角边长为false，根据勾股定理可得斜边长为false，
依题意可得false，解得：false，经检验，false是原方程的根且符合
题意，则斜边长为false，即另两边长分别为false和false．
【总结】考查直角三角形勾股定理的应用，用周长列式解题，注意应用题也要验根．
建一块场地，用600块正方形的砖头铺成，如果把场地的面积扩大到原来面积的2 倍还多0.6平方米，且正方形的砖头的边长增加10厘米，则需要铺540块方砖，求原 场地的面积．
【难度】★★
【答案】false．
【解析】设原场地的边长为false，false，则扩大后场边长为false，
依题意得false，整理得false，
解得：false，false（舍），由此得原场地面积为false．
【总结】考查根据题意找准等量关系列方程解应用题，注意单位的统一．
若Q点在直线false上，且Q到点P(0，2)的距离为false，求Q点的坐标．
【难度】★★
【答案】false或false
【解析】设点false，由两点间距离公式，依题意可得false，
平方整理，得：false，解得：false，false，
经检验，false，false都是原方程的根，
由此代入即得false或false．
【总结】考查利用两点间距离公式的应用列方程，注意设出点的坐标．
37306251118235A
B
P
N
M
O
l1
l2
A
B
P
N
M
O
l1
l2
false与false为两条互相垂直的大路，小李和老王从十字路口O点同时出发，分别沿着 图示的方向以1千米/小时和2千米/小时的速度前进，到达A与B地，一座学校座落于 距false8千米，距false5千米的P处，问：经过多少时间，两人距离学校的路程刚好相等？ 是几千米？
【难度】★★
【答案】经过false两人距离学校路程相等．
【解析】设经过false两人距离学校距离相等，即false，
则有false，false，false，false，
根据勾股定理，依题意可得：false，
平方整理得false，解得：false，false，
经检验，false，false都是原方程的根，但false不符合题意，应舍去，
即经过false两人距离学校路程相等．
【总结】考查利用勾股定理列方程，注意找准等量关系．
有一群蜜蜂，一部分飞进了枸杞里，其个数等于总数的一半的平方根，还有全体
的false遗留在后面，此外，这群里还有一个小蜜蜂在莲花旁徘徊着，它被一个坠入香花陷
阱的同伴的呻吟声所吸引．试问：这群蜜蜂共有多少个?
【难度】★★★
【答案】这群小蜜蜂共有72个．
【解析】设这群蜜蜂共有false个，根据蜂群总数，
依题意可得false，平方整理得false，解得：false，false，
经检验，false是原方程的增根，
即得这群小蜜蜂共有72个．
【总结】考查根据题意列方程解应用题，注意计算不要遗漏．
m、n为两段互相垂直的笔直的公路，工厂A在公路n上，距离公路m为1千米．工 厂B距离公路m为2千米，且距离公路n为3千米，现在要在公路m上选一个地址造 一个车站P，使它与A、B两厂的距离和为false千米，试指出车站P的位置?
【难度】★★★
350774034925A
B
n
m
A
B
n
m
【答案】车站false在两公路交点上方false或false处．
【解析】以直线false为false轴，以直线false为false轴，两直线交点为
坐标原点，建立平面直角坐标系，
依题意有false，false，设点false，
根据两点间距离公式，
依题意可得false，
二次平方后，整理得：false，解得：false，false，
经检验，false，false都是原方程的根，
即车站false在两公路交点上方false或false处．
【总结】考查利用建立平面直角坐标系确定点的位置问题．
如图，x轴表示一条东西方向的道路，y表示一条南北方向的道路，小丽和小明分 别从十字路口O点处同时出发，小丽沿着x轴以4千米/时的速度由西向东前进，小明 沿着y轴以5千米/时的速度由南向北前进，有一棵百年古树位于图中的P点处，古树 与x轴、y轴的距离分别是3千米和2千米，问：
离开路口后，经过多长时间，两人与古树的距离恰好相等?
离开路口后多少时间，两人与这课古树所处的位置恰好在一条直线上?
3571875144145A
B
y北
x东
西
南
P
O
A
B
y北
x东
西
南
P
O
【难度】★★★
【答案】（1）false；（2）false．
【解析】（1）建立如图的平面直角坐标系，设经过false两人与
古树距离相等，即false，则有false，false，false，根据两点间距离公式依题意可得：
false，
平方整理得：false，解得：false，false，
经检验，false，false都是原方程的根，但false不符合题意，应舍去，
即经过false两人距离古树距离相等；
设直线false解析式为false，则有false，解得：false，
即直线false解析式为false，两人与古树在同一直线上，即直线false过点false，代入直线解析式即得false，解得：false，
即离开false后两人与古树处于同一直线上．
【总结】考查对题目的理解，主要是转换到平面直角坐标系中进行解题．
随堂检测
随堂检测
下列方程是无理方程的是（ ）．
A．false B．false
C．false D．false
【难度】★
【答案】D
【解析】根据无理方程的概念，方程中含有根式，并且被开方数是含有未知数的代数式的方
程叫做无理方程，可知D是无理方程，故选D．
【总结】考查无理方程的概念，方程中根号内含有未知数即可．
根据平方根的意义，直接判断下列方程是否有解，并简述理由：
（1）false； （2）false；
（3）false； （4）false．
【难度】★
【答案】（2）有解，（1）、（3）、（4）无解．
【解析】根据二次根式的双重非负性，对（1），false，故方程无实数解；
对（2），由false，即有false，false，可知方程有实数解；
对（3），false，false无解，即方程无实数解；对（4），false，false无解，
即方程无实数解．
【总结】考查对无理方程解的判断，根据二次根式双重非负性即可进行初步判定．
方程false的实数解为（ ）．
A．false B．false C．false D．false
【难度】★
【答案】C
【解析】false，可知false，得false，故选C．
【总结】考查根据二次根式的性质判定方程解的情况．
用换元法解方程false时，设false．则该方程 可转换成整式方程是_________．
【难度】★
【答案】false．
【解析】由false，可得:false，原方程即为false，
整理即为false．
【总结】考查用“换元法”对无理方程进行变形转化，注意最终要化成整式方程．
解方程：
（1）false； （2）false．
【难度】★
【答案】（1）false；（2）false．
【解析】（1）移项两边平方得：false，整理得:false，
因式分解法解得false，false，经检验，false是原方程的增根，
即原方程的根为false；
（2）移项得false，两边平方得false，整理得:false，
解得:false，false，经检验，false是原方程的增根，即原方程的根为false．
【总结】考查无理方程的解法，注意方程增根的检验．
解方程：
（1）false； （2）false．
【难度】★★
【答案】（1）false；（2）false，false．
【解析】（1）移项得false，两边平方得false，
移项得false，两边平方整理得false，解得:false，false，
经检验，false是原方程的增根，即原方程的根为false；
（2）移项两边平方得false，移项得false，
两边平方整理得false，解得:false，false，
经检验，false，false都是原方程的根．
【总结】考查含有多个二次根式的无理方程的解法，两边多次平方即可．
解方程：
（1）false；
（2）false．
【难度】★★
【答案】（1）false，false；（2）false，false．
【解析】（1）令false，得false，方程即false，
整理得false，解得:false（舍），false，
令false，平方整理得false，解得：false，false，
经检验，false，false都是原方程的根；
（2）令false，得false，原方程即false，
解得：false（舍），false，令false，平方整理得false，
解得：false，false，经检验，false，false都是原方程的根．
【总结】考查用“换元法”解无理方程，注意根据二次根式的非负性舍去相应增根．
有两块正方形木板，其中大的一块木板面积比小的木板面积大45平方米，小的木
板的边长比大的木板的边长短3分米，求这块小木板的面积．
【难度】★★
【答案】小木板面积为false．
【解析】设小木板面积为false，则大木板面积为false，由false，
依题意可得false，移项整理得false，即得：false，
经检验，false是原方程的根，即小木板面积为false．
【总结】考查根据题意列方程解应用题，注意题目中的单位换算．
如果false轴上一点P到两点A（3，5）、B（-1，-2）的距离相等，求P点的坐标．
【难度】★★
【答案】false．
【解析】设点false，根据两点间距离公式依题意可得false，
平方得false，解得：false，经检验，false是原方程的根，
即false．
【总结】考查利用两点间距离公式确定点的位置问题．
解方程：false．
【难度】★★
【答案】false．
【解析】false，
根据题意，得false，可得false，
两式相加可得false，平方整理得false，解得：false，false，
经检验，false是原方程的增根，即原方程的根是false．
【总结】考查有特殊形式的无理方程的解法，注意观察好含未知数的根式之间的关联．
解方程：false．
【难度】★★★
【答案】false．
【解析】令false，则false，原方程即为false，
解得：false，false（舍），则有false，
解得：false，经检验，false是原方程的根．
【总结】考查利用“换元法”解无理方程，注意观察两个无理式之间的关联．
已知a为非负整数，若关于x的方程false至少有一个整数根，
求a的值．
【难度】★★★
【答案】false或false．
【解析】令false，则有false，原方程即为false，
得false，由false，可得false，则有false，因为false为整数，
则false为整数，同时false为整数，则false必为有理数，由此可得：false或false，
当false时，得false；当false时，得false；综上，false或6．
【总结】考查无理方程根的判定，利用换元法根据二次根式的非负性和题目要求求解计算
4686300562610A地在M地的正北方向12千米处，B地在M地的正东方向12千米处，某人从 B地出发向正西方向行至C地，再沿CA方向到达A地，这样比由B地到M地再到A 地的路程少4千米，求M地与C地之间的距离．
【难度】★★★
【答案】false．
【解析】如图建立平面平面直角坐标系，点false为原点，则有false，false，
设false，根据两点间距离公式false，
依题意可得false，移项得false，解得：false，
经检验，false是原方程的根，即得false．
【总结】考查根据构造平面直角坐标系解方程问题．
-1143005080课后作业
课后作业
下列方程是无理方程的是（ ）．
A．false B．false
C．false D．false
【难度】★
【答案】B
【解析】根据无理方程的概念，方程中含有根式，并且被开方数是含有未知数的代数式的方
程叫做无理方程，可知B是无理方程，故选B．
【总结】考查无理方程的概念，方程中根号内含有未知数即可
下列无理方程有解的方程是（ ）．
A．false B．false
C．false D．false
【难度】★
【答案】B
【解析】根据二次根式的双重非负性，对A选项，false，故方程无实数解；
对C选项，false，不可能同时成立，可知方程无实数解；对D选项，false，
false无解，即方程无实数解；故选B．
【总结】考查对无理方程解的判断，根据二次根式双重非负性即可进行初步判定．
下列四个无理方程中，有一个根是x=2的方程是（ ）．
A．false B．false
C．false D．false
【难度】★
【答案】C
【解析】对A、B、D选项，将false代入原方程，左边false右边，可知false不是相应方程的
解；对C选项，左边false右边，可知false是相应方程的解，故选C．
【总结】考查对无理方程解的判断，根据二次根式双重非负性即可进行初步判定．
用换元法解false方程时，设false=y，则原方程可转换成整式方程_____________．
【难度】★
【答案】false．
【解析】由false，可得false，原方程即为false，
整理即为false．
【总结】考查用“换元法”对无理方程进行变形转化，注意最终化成整式方程的形式．
将下列方程化成有理方程：
（1）false； （2）false； （3）false．
【难度】★
【答案】（1）false；（2）false；（3）false．
【解析】（1）移项得false，两边平方整理得false；
（2）移项得false，两边平方得false，整理得false；
（3）移项得false，两边平方得false，移项得false，
平方整理得：false．
【总结】考查无理方程转化为有理方程，移项平方即可．
解下列方程：
（1）false； （2）false．
【难度】★★
【答案】（1）false；（2）false．
【解析】（1）两边平方得：false，整理得false，
因式分解法，解得：false，false，经检验，false是原方程的增根，
即原方程的根为false；
（2）移项得false，两边平方得false，整理得:false，
解得：false，false，经检验，false是原方程的增根，
即原方程的根为false．
【总结】考查无理方程的解法，注意方程增根的检验．
解下列方程：
（1）false； （2）false．
【难度】★★
【答案】（1）false；（2）false，false．
【解析】（1）两边平方得false，整理得:false，
因式分解法，解得：false，false，经检验，false是原方程的增根，
即原方程的根为false；
（2）移项得false，两边平方得false，整理得：false，
解得：false，false，经检验，false，false都是原方程的根．
【总结】考查无理方程的解法，注意方程增根的检验．
解下列方程：
（1）false； （2）false．
【难度】★★
【答案】（1）false；（2）false．
【解析】（1）移项得false，两边平方，得：false，
移项得false，两边平方整理，得false，解得：false，
经检验，false是原方程的根，即原方程的根为false；
（2）移项得false，两边平方，得：false，
移项得false，两边平方整理得，false，解得：false，false，
经检验，false是原方程的增根，即原方程的根为false．
【总结】考查含有多个二次根式的无理方程的解法，两边多次平方即可
有一个数，它的平方根比它的倒数的正平方根的3倍多2，求这个数．
【难度】★★
【答案】9．
【解析】设这个数为false，依题意可得false，平方得：false，
整理得false，解得：false，false，经检验，false是原方程的增根，
得方程的根是false，即这个数是9．
【总结】考查根据题意列方程解题，注意无理方程增根的检验．
已知点P是x轴上一点，它与点A(-9，3)之间的距离是15，求点P的坐标．
【难度】★★
【答案】false或false
【解析】设点false，根据两点间距离公式，依题意可得false，
平方得false，解得：false，false，
经检验，false，false是原方程的根，
即false或false．
【总结】考查利用两点间距离公式确定点的位置问题
某学校修建两块面积相等的绿地，一块是长方形，另一块是正方形．已知长方形绿地的长比宽多14米，且这两块绿地的周长之和为196米，那么长方形绿地的宽是多少?
【难度】★★
【答案】false．
【解析】设长方形绿地宽为false，则长为false，根据相关周长和面积公式，
依题意可得false，移项得false，
平方整理得：false，解得：false，
经检验，false是原方程的根，
即长方形绿地宽为false．
【总结】考查长方形和正方形周长面积公式的综合应用，根据相关公式列出方程解题．
解下列方程：
（1）false； （2）false．
【难度】★★★
【答案】（1）false，false；（2）false，false．
【解析】（1）令false，得false，方程即false，
整理得false，解得：false（舍），false，
令false，平方整理得false，解得：false，false，
经检验，false，false都是原方程的根；
（2）令false，得：false，
展开完全平方原方程即为false，解得：false（舍），false，
令false，平方整理，得false，解得：false，false，
经检验，false，false都是原方程的根．
【总结】考查用“换元法”解无理方程，注意元的取值范围．
解下列关于false的方程：
（1）false； （2）false．
【难度】★★★
【答案】（1）false；（2）false．
【解析】（1）两边平方，得：false，
移项得false，两边平方，得：false，
整理得false，解得：false，false，
经检验，false是原方程的增根，
即原方程的根为false；
（2）两边平方，得：false，
移项得false，两边平方得false，
整理得：false，解得：false，false，
经检验，false是原方程的增根，
即原方程的根为false．
【总结】考查含有多个二次根式的无理方程的解法，两边多次平方即可，注意检验增根．
若关于x的方程false有实数根，求k的取值范围．
【难度】★★★
【答案】false．
【解析】令false，则有false，原方程即为false，
整理即为false，因为方程有实数根，则有false，
得false，且方程至少有一根满足false，
根据韦达定理可得：false，可知方程两根必为一非负根一负根，
则有false，得：false，即false的取值范围是false．
【总结】考查无理方程根的判定，利用换元法根据二次根式的非负性结合题意求解计算．
教师
日期
学生
课程编号
课型
同步/专题
课题
无理方程及应用
教学目标
理解无理方程的概念；掌握简单的无理方程的解法，知道“验根”是解无理方程的必要步骤，掌握验根的基本方法．
熟练的解决无理方程的应用问题．
教学重点
1．无理方程的解法；
2．无理方程有可能产生增根的理解．
教学安排
版块
时长
1
无理方程的概念及解法
50分钟
2
无理方程的应用
30分钟
3
课堂练习
40分钟
1111250146050无理方程
无理方程
-37147516510 知识结构
知识结构
386080147955模块一：无理方程的概念和解法
模块一：无理方程的概念和解法
-2171705080知识精讲
知识精讲
1．无理方程的概念
方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．
2．解无理方程的方法
通过平方把无理方程转化为整式方程，再求解．
3．解无理方程的一般步骤
（1）方程两边平方，化成整式方程；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的根；
（3）检验．直接代入原方程中，看其是否成立．如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解．
-60325-154940例题解析
例题解析
下列方程是哪些是关于false的无理方程?
（1）false； （2）false； （3）false；
（4）false； （5）false； （6）false．
下列哪个方程有实数解（ ）
A．false B．false
C．false D．false
若方程false有解，则false的取值范围是________．
不解方程，说明下列方程是否有实数根：
（1）false；
（2）false．
用换元法解方程false时，设false．则该方程转换整式方程是____________．
解下列方程：
（1）false； （2）false．
解下列方程：
（1）false； （2）false；
解下列方程：
（1）false； （2）false．
解方程：false．
解方程：
（1）false； （2）false．
解下列方程：
（1）false； （2）false．
解下列方程：false．
解下列方程：false．
72199549530模块二：无理方程的根的讨论
模块二：无理方程的根的讨论
-201930147320知识精讲
知识精讲
3．增根的概念
-114300495300例题解析
例题解析
无理方程在化整式方程求解过程中，整式方程的解如果使得无理方程左右两边不相等，那么这个解就是方程的增根.
关于false的方程false有一个增根x=4，求：
a的值；
方程的根．
若方程false有一个根是false，求实数m的值．
若关于x的无理方程false有实数根，求k的取值范围．
若关于x的方程false只有一个实数根，求m的取值范围．
72199549530模块三：无理方程的应用
模块三：无理方程的应用
-201930233680知识精讲
知识精讲
4．应用
-68580233045例题解析
例题解析
寻找题目中的等量关系，列方程，求解，根据实际情况进行取舍．
用一根56厘米的细铁丝弯折成一个直角三角形，使它的一条直角边长为7厘米， 求这个直角三角形的另两条边的长度．
建一块场地，用600块正方形的砖头铺成，如果把场地的面积扩大到原来面积的2 倍还多0.6平方米，且正方形的砖头的边长增加10厘米，则需要铺540块方砖，求原 场地的面积．
若Q点在直线false上，且Q到点P(0，2)的距离为false，求Q点的坐标．
37306251118235A
B
P
N
M
O
l1
l2
A
B
P
N
M
O
l1
l2
false与false为两条互相垂直的大路，小李和老王从十字路口O点同时出发，分别沿着 图示的方向以1千米/小时和2千米/小时的速度前进，到达A与B地，一座学校座落于 距false8千米，距false5千米的P处，问：经过多少时间，两人距离学校的路程刚好相等？ 是几千米？
有一群蜜蜂，一部分飞进了枸杞里，其个数等于总数的一半的平方根，还有全体
的false遗留在后面，此外，这群里还有一个小蜜蜂在莲花旁徘徊着，它被一个坠入香花陷
阱的同伴的呻吟声所吸引．试问：这群蜜蜂共有多少个?
m、n为两段互相垂直的笔直的公路，工厂A在公路n上，距离公路m为1千米．工 厂B距离公路m为2千米，且距离公路n为3千米，现在要在公路m上选一个地址造 一个车站P，使它与A、B两厂的距离和为false千米，试指出车站P的位置?
如图，x轴表示一条东西方向的道路，y表示一条南北方向的道路，小丽和小明分 别从十字路口O点处同时出发，小丽沿着x轴以4千米/时的速度由西向东前进，小明 沿着y轴以5千米/时的速度由南向北前进，有一棵百年古树位于图中的P点处，古树 与x轴、y轴的距离分别是3千米和2千米，问：
离开路口后，经过多长时间，两人与古树的距离恰好相等?
离开路口后多少时间，两人与这课古树所处的位置恰好在一条直线上?
随堂检测
随堂检测
下列方程是无理方程的是（ ）．
A．false B．false
C．false D．false
根据平方根的意义，直接判断下列方程是否有解，并简述理由：
（1）false； （2）false；
（3）false； （4）false．
方程false的实数解为（ ）．
A．false B．false C．false D．false
用换元法解方程false时，设false．则该方程 可转换成整式方程是_________．
解方程：
（1）false； （2）false．
解方程：
（1）false； （2）false．
解方程：
（1）false；
（2）false．
有两块正方形木板，其中大的一块木板面积比小的木板面积大45平方米，小的木板的边长比大的木板的边长短3分米，求这块小木板的面积．
如果false轴上一点P到两点A（3，5）、B（-1，-2）的距离相等，求P点的坐标．
解方程：false．
解方程：false．
已知a为非负整数，若关于x的方程false至少有一个整数根，
求a的值．
4686300562610A地在M地的正北方向12千米处，B地在M地的正东方向12千米处，某人从 B地出发向正西方向行至C地，再沿CA方向到达A地，这样比由B地到M地再到A 地的路程少4千米，求M地与C地之间的距离．
-1143005080课后作业
课后作业
下列方程是无理方程的是（ ）．
A．false B．false
C．false D．false
下列无理方程有解的方程是（ ）．
A．false B．false
C．false D．false
下列四个无理方程中，有一个根是x=2的方程是（ ）．
A．false B．false
C．false D．false
用换元法解false方程时，设false=y，则原方程可转换成整式方程_____________．
将下列方程化成有理方程：
（1）false； （2）false； （3）false．
解下列方程：
（1）false； （2）false．
解下列方程：
（1）false； （2）false．
解下列方程：
（1）false； （2）false．
有一个数，它的平方根比它的倒数的正平方根的3倍多2，求这个数．
已知点P是x轴上一点，它与点A(-9，3)之间的距离是15，求点P的坐标．
某学校修建两块面积相等的绿地，一块是长方形，另一块是正方形．已知长方形绿地的长比宽多14米，且这两块绿地的周长之和为196米，那么长方形绿地的宽是多少?
解下列方程：
（1）false； （2）false．
解下列关于false的方程：
（1）false； （2）false．
若关于x的方程false有实数根，求k的取值范围．
1047750010617200初二数学寒假班（教师版）
教师
日期
学生
课程编号
课型
同步/专题
课题
无理方程及应用
教学目标
理解无理方程的概念；掌握简单的无理方程的解法，知道“验根”是解无理方程的必要步骤，掌握验根的基本方法．
熟练的解决无理方程的应用问题．
教学重点
1．无理方程的解法；
2．无理方程有可能产生增根的理解．
教学安排
版块
时长
1
无理方程的概念及解法
50分钟
2
无理方程的应用
30分钟
3
课堂练习
40分钟
1111250146050无理方程
无理方程
-37147516510 知识结构
知识结构
386080147955模块一：无理方程的概念和解法
模块一：无理方程的概念和解法
-2171705080知识精讲
知识精讲
1．无理方程的概念
方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．
2．解无理方程的方法
通过平方把无理方程转化为整式方程，再求解．
3．解无理方程的一般步骤
（1）方程两边平方，化成整式方程；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的根；
（3）检验．直接代入原方程中，看其是否成立．如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解．
-60325-154940例题解析
例题解析
下列方程是哪些是关于false的无理方程?
（1）false； （2）false； （3）false；
（4）false； （5）false； （6）false．
【难度】★
【答案】（1）、（2）、（3）、（4）、（6）是无理方程．
【解析】根据无理方程的概念，方程中含有根式，并且被开方数是含有未知数的代数式的方
程叫做无理方程，可知（1）、（2）、（4）、（6）都是无理方程，false，可知（3）也
是无理方程．
【总结】考查无理方程的概念，方程中根号内含有未知数即可．
下列哪个方程有实数解（ ）
A．false B．false
C．false D．false
【难度】★
【答案】D
【解析】根据二次根式的双重非负性，对A选项，false，此时false，故方程
无实数解；对B选项，false，可知方程无实数解；对C选项，false，
false无解，即方程无实数解；故选D．
【总结】考查对无理方程解的判断，根据二次根式双重非负性即可进行简单判定．
若方程false有解，则false的取值范围是________．
【难度】★
【答案】false．
【解析】移项得false，方程有解，根据二次根式的非负性，可得false，得false．
【总结】考查无理方程有解的应用，根据二次根式的非负性即可进行判断．
不解方程，说明下列方程是否有实数根：
（1）false；
（2）false．
【难度】★
【答案】（1）有唯一实数根false；
（2）当false时，方程无实数根；当false时，方程有无数个实数根．
【解析】（1）根据二次根式的非负性，可得：false，即得false的定义域为false，
此时false，即得方程有唯一实数根false；
当false时，则有false，根据二次根式非负性，可知方程无实数根；
当false时，等式恒成立，可知方程有无数实数根，满足false即可．
【总结】考查对无理方程解的判断，对部分方程根据二次根式双重非负性即可进行判定．
用换元法解方程false时，设false．则该方程转换整式方程是____________．
【难度】★
【答案】false．
【解析】由false，可得false，原方程即为false，
整理即为false．
【总结】考查用“换元法”对无理方程进行变形转化，注意最终要化成整式形式．
解下列方程：
（1）false； （2）false．
【难度】★★
【答案】（1）false；（2）false．
【解析】（1）两边平方，得：false，整理得：false，
解得：false，false，经检验，false是原方程的增根，即原方程的根为false；
移项得：false，两边平方得：false，
因式分解整理得：false，解得：false，false，
经检验，false是原方程的增根，即原方程的根为false．
【总结】考查无理方程的解法，注意方程增根的检验．
解下列方程：
（1）false； （2）false；
【难度】★★
【答案】（1）false；（2）false．
【解析】（1）两边平方，得：false，整理得：false，
解得：false，false，经检验，false是原方程的增根，即原方程的根为false；
（2）由原式得：false或false，解得：false，false，
经检验，false是原方程的增根，即原方程的根为false．
【总结】考查无理方程的解法，注意无理方程的验根．
解下列方程：
（1）false； （2）false．
【难度】★★
【答案】（1）false；（2）false．
【解析】（1）两边平方得：false，整理得：false，
配方法解得：false，false，
经检验，false是原方程的增根，即原方程的根为false；
（2）移项得false，两边平方得false，整理得false，
解得：false，false，经检验，false是原方程的增根，即原方程的根为false．
【总结】考查无理方程的解法，注意方程增根的检验．
解方程：false．
【难度】★★
【答案】false，false．
【解析】令false，则false，原方程即为false，解得：false，false，
则有false或false，解得：false，false，
经检验，false，false都是原方程的根．
【总结】考查利用“换元法”解无理方程，注意观察无理方程含未知数的根式之间的联系．
解方程：
（1）false； （2）false．
【难度】★★
【答案】（1）false，false；（2）false，false．
【解析】（1）令false，得false，原方程即false，
整理得false，解得：false（舍），false，
令false，平方整理得false，解得：false，false，
经检验，false，false都是原方程的根；
（2）令false，得false，原方程即false，
整理得false，解得：false（舍），false，
令false，平方整理得false，解得：false，false，
经检验，false，false都是原方程的根．
【总结】考查用“换元法”解无理方程，注意根据元的取值范围舍去增根．
解下列方程：
（1）false； （2）false．
【难度】★★
【答案】（1）false；（2）false．
【解析】（1）移项得false，两边平方得false，
移项得false，两边平方得false，解得：false，
经检验，false是原方程的根；
（2）两边平方得false，移项得false，
两边平方整理得false，配方法解得：false，false，
经检验，false是原方程的增根，即原方程的根是false．
【总结】考查含有多个二次根式的无理方程的解法，两边多次平方即可．
解下列方程：false．
【难度】★★★
【答案】false．
【解析】平方得false，移项得false，
两边平方整理得false，解得：false，false，
经检验，false是原方程的增根，即原方程的根是false．
【总结】考查含有多个二次根式的无理方程的解法，两边多次平方即可．
解下列方程：false．
【难度】★★★
【答案】false．
【解析】令false，则有false，由此原方程可变形得：
false，整理即为false，
因式分解法解得：false，false，即false或false，
由false，整理得false，解得：false，false，
经检验，false是原方程的增根，
由false，可解得：false，经检验，false是原方程的增根，
综上所述，原方程的根是false．
【总结】考查较复杂的换元法的转化解无理方程，注意方程增根的检验．
72199549530模块二：无理方程的根的讨论
模块二：无理方程的根的讨论
-201930147320知识精讲
知识精讲
3．增根的概念
-114300495300例题解析
例题解析
无理方程在化整式方程求解过程中，整式方程的解如果使得无理方程左右两边不相等，那么这个解就是方程的增根.
关于false的方程false有一个增根x=4，求：
a的值；
方程的根．
【难度】★★
【答案】（1）false；（2）false
【解析】（1）移项，两边平方得：false，移项得false，
两边平方得：false，将false代入有false，
整理得false，解得：false，false，当false时，false是方程增根，
当false时，false不是方程增根，由此即得false；
（2）将false代入上述平方整理的方程即有false，
移项整理得false，解得：false，false，
由题意可得false是原方程的增根，即得原方程的根是false．
【总结】考查含有多个二次根式的无理方程的解法，两边多次平方即可．
若方程false有一个根是false，求实数m的值．
【难度】★★
【答案】false．
【解析】因为方程有一个根是false，所以代入得false，平方整理得false，
解得：false，false，经检验，false是方程的增根，应舍去，即得false．
【总结】考查无理方程根的意义，代入转化为其它未知数的求值即可．
若关于x的无理方程false有实数根，求k的取值范围．
【难度】★★★
【答案】false或false．
【解析】令false，则有false，原方程即为false，
整理即为false，当false时，则有false是增根，应舍去；
当false时，分解因式得false，解得：false（舍），false，
因为方程有实数根，则应有false，分类讨论得false或false，
即得false的取值范围为false或false．
【总结】考查无理方程根的判定，利用换元法根据二次根式的非负性进行求解计算．
若关于x的方程false只有一个实数根，求m的取值范围．
【难度】★★★
【答案】false．
【解析】令false，则有false，原方程即为false，
整理即为false，
因为方程只有一个实数根，则方程有且仅有一根满足false，则另一根必满足false，
根据韦达定理可得：false，得false的取值范围是false．
【总结】考查无理方程根的判定，利用换元法根据二次根式的非负性进行求解计算．
72199549530模块三：无理方程的应用
模块三：无理方程的应用
-201930233680知识精讲
知识精讲
4．应用
-68580233045例题解析
例题解析
寻找题目中的等量关系，列方程，求解，根据实际情况进行取舍．
用一根56厘米的细铁丝弯折成一个直角三角形，使它的一条直角边长为7厘米， 求这个直角三角形的另两条边的长度．
【难度】★★
【答案】false和false．
【解析】设另外一条直角边长为false，根据勾股定理可得斜边长为false，
依题意可得false，解得：false，经检验，false是原方程的根且符合
题意，则斜边长为false，即另两边长分别为false和false．
【总结】考查直角三角形勾股定理的应用，用周长列式解题，注意应用题也要验根．
建一块场地，用600块正方形的砖头铺成，如果把场地的面积扩大到原来面积的2 倍还多0.6平方米，且正方形的砖头的边长增加10厘米，则需要铺540块方砖，求原 场地的面积．
【难度】★★
【答案】false．
【解析】设原场地的边长为false，false，则扩大后场边长为false，
依题意得false，整理得false，
解得：false，false（舍），由此得原场地面积为false．
【总结】考查根据题意找准等量关系列方程解应用题，注意单位的统一．
若Q点在直线false上，且Q到点P(0，2)的距离为false，求Q点的坐标．
【难度】★★
【答案】false或false
【解析】设点false，由两点间距离公式，依题意可得false，
平方整理，得：false，解得：false，false，
经检验，false，false都是原方程的根，
由此代入即得false或false．
【总结】考查利用两点间距离公式的应用列方程，注意设出点的坐标．
37306251118235A
B
P
N
M
O
l1
l2
A
B
P
N
M
O
l1
l2
false与false为两条互相垂直的大路，小李和老王从十字路口O点同时出发，分别沿着 图示的方向以1千米/小时和2千米/小时的速度前进，到达A与B地，一座学校座落于 距false8千米，距false5千米的P处，问：经过多少时间，两人距离学校的路程刚好相等？ 是几千米？
【难度】★★
【答案】经过false两人距离学校路程相等．
【解析】设经过false两人距离学校距离相等，即false，
则有false，false，false，false，
根据勾股定理，依题意可得：false，
平方整理得false，解得：false，false，
经检验，false，false都是原方程的根，但false不符合题意，应舍去，
即经过false两人距离学校路程相等．
【总结】考查利用勾股定理列方程，注意找准等量关系．
有一群蜜蜂，一部分飞进了枸杞里，其个数等于总数的一半的平方根，还有全体
的false遗留在后面，此外，这群里还有一个小蜜蜂在莲花旁徘徊着，它被一个坠入香花陷
阱的同伴的呻吟声所吸引．试问：这群蜜蜂共有多少个?
【难度】★★★
【答案】这群小蜜蜂共有72个．
【解析】设这群蜜蜂共有false个，根据蜂群总数，
依题意可得false，平方整理得false，解得：false，false，
经检验，false是原方程的增根，
即得这群小蜜蜂共有72个．
【总结】考查根据题意列方程解应用题，注意计算不要遗漏．
m、n为两段互相垂直的笔直的公路，工厂A在公路n上，距离公路m为1千米．工 厂B距离公路m为2千米，且距离公路n为3千米，现在要在公路m上选一个地址造 一个车站P，使它与A、B两厂的距离和为false千米，试指出车站P的位置?
【难度】★★★
350774034925A
B
n
m
A
B
n
m
【答案】车站false在两公路交点上方false或false处．
【解析】以直线false为false轴，以直线false为false轴，两直线交点为
坐标原点，建立平面直角坐标系，
依题意有false，false，设点false，
根据两点间距离公式，
依题意可得false，
二次平方后，整理得：false，解得：false，false，
经检验，false，false都是原方程的根，
即车站false在两公路交点上方false或false处．
【总结】考查利用建立平面直角坐标系确定点的位置问题．
如图，x轴表示一条东西方向的道路，y表示一条南北方向的道路，小丽和小明分 别从十字路口O点处同时出发，小丽沿着x轴以4千米/时的速度由西向东前进，小明 沿着y轴以5千米/时的速度由南向北前进，有一棵百年古树位于图中的P点处，古树 与x轴、y轴的距离分别是3千米和2千米，问：
离开路口后，经过多长时间，两人与古树的距离恰好相等?
离开路口后多少时间，两人与这课古树所处的位置恰好在一条直线上?
3571875144145A
B
y北
x东
西
南
P
O
A
B
y北
x东
西
南
P
O
【难度】★★★
【答案】（1）false；（2）false．
【解析】（1）建立如图的平面直角坐标系，设经过false两人与
古树距离相等，即false，则有false，false，false，根据两点间距离公式依题意可得：
false，
平方整理得：false，解得：false，false，
经检验，false，false都是原方程的根，但false不符合题意，应舍去，
即经过false两人距离古树距离相等；
设直线false解析式为false，则有false，解得：false，
即直线false解析式为false，两人与古树在同一直线上，即直线false过点false，代入直线解析式即得false，解得：false，
即离开false后两人与古树处于同一直线上．
【总结】考查对题目的理解，主要是转换到平面直角坐标系中进行解题．
随堂检测
随堂检测
下列方程是无理方程的是（ ）．
A．false B．false
C．false D．false
【难度】★
【答案】D
【解析】根据无理方程的概念，方程中含有根式，并且被开方数是含有未知数的代数式的方
程叫做无理方程，可知D是无理方程，故选D．
【总结】考查无理方程的概念，方程中根号内含有未知数即可．
根据平方根的意义，直接判断下列方程是否有解，并简述理由：
（1）false； （2）false；
（3）false； （4）false．
【难度】★
【答案】（2）有解，（1）、（3）、（4）无解．
【解析】根据二次根式的双重非负性，对（1），false，故方程无实数解；
对（2），由false，即有false，false，可知方程有实数解；
对（3），false，false无解，即方程无实数解；对（4），false，false无解，
即方程无实数解．
【总结】考查对无理方程解的判断，根据二次根式双重非负性即可进行初步判定．
方程false的实数解为（ ）．
A．false B．false C．false D．false
【难度】★
【答案】C
【解析】false，可知false，得false，故选C．
【总结】考查根据二次根式的性质判定方程解的情况．
用换元法解方程false时，设false．则该方程 可转换成整式方程是_________．
【难度】★
【答案】false．
【解析】由false，可得:false，原方程即为false，
整理即为false．
【总结】考查用“换元法”对无理方程进行变形转化，注意最终要化成整式方程．
解方程：
（1）false； （2）false．
【难度】★
【答案】（1）false；（2）false．
【解析】（1）移项两边平方得：false，整理得:false，
因式分解法解得false，false，经检验，false是原方程的增根，
即原方程的根为false；
（2）移项得false，两边平方得false，整理得:false，
解得:false，false，经检验，false是原方程的增根，即原方程的根为false．
【总结】考查无理方程的解法，注意方程增根的检验．
解方程：
（1）false； （2）false．
【难度】★★
【答案】（1）false；（2）false，false．
【解析】（1）移项得false，两边平方得false，
移项得false，两边平方整理得false，解得:false，false，
经检验，false是原方程的增根，即原方程的根为false；
（2）移项两边平方得false，移项得false，
两边平方整理得false，解得:false，false，
经检验，false，false都是原方程的根．
【总结】考查含有多个二次根式的无理方程的解法，两边多次平方即可．
解方程：
（1）false；
（2）false．
【难度】★★
【答案】（1）false，false；（2）false，false．
【解析】（1）令false，得false，方程即false，
整理得false，解得:false（舍），false，
令false，平方整理得false，解得：false，false，
经检验，false，false都是原方程的根；
（2）令false，得false，原方程即false，
解得：false（舍），false，令false，平方整理得false，
解得：false，false，经检验，false，false都是原方程的根．
【总结】考查用“换元法”解无理方程，注意根据二次根式的非负性舍去相应增根．
有两块正方形木板，其中大的一块木板面积比小的木板面积大45平方米，小的木
板的边长比大的木板的边长短3分米，求这块小木板的面积．
【难度】★★
【答案】小木板面积为false．
【解析】设小木板面积为false，则大木板面积为false，由false，
依题意可得false，移项整理得false，即得：false，
经检验，false是原方程的根，即小木板面积为false．
【总结】考查根据题意列方程解应用题，注意题目中的单位换算．
如果false轴上一点P到两点A（3，5）、B（-1，-2）的距离相等，求P点的坐标．
【难度】★★
【答案】false．
【解析】设点false，根据两点间距离公式依题意可得false，
平方得false，解得：false，经检验，false是原方程的根，
即false．
【总结】考查利用两点间距离公式确定点的位置问题．
解方程：false．
【难度】★★
【答案】false．
【解析】false，
根据题意，得false，可得false，
两式相加可得false，平方整理得false，解得：false，false，
经检验，false是原方程的增根，即原方程的根是false．
【总结】考查有特殊形式的无理方程的解法，注意观察好含未知数的根式之间的关联．
解方程：false．
【难度】★★★
【答案】false．
【解析】令false，则false，原方程即为false，
解得：false，false（舍），则有false，
解得：false，经检验，false是原方程的根．
【总结】考查利用“换元法”解无理方程，注意观察两个无理式之间的关联．
已知a为非负整数，若关于x的方程false至少有一个整数根，
求a的值．
【难度】★★★
【答案】false或false．
【解析】令false，则有false，原方程即为false，
得false，由false，可得false，则有false，因为false为整数，
则false为整数，同时false为整数，则false必为有理数，由此可得：false或false，
当false时，得false；当false时，得false；综上，false或6．
【总结】考查无理方程根的判定，利用换元法根据二次根式的非负性和题目要求求解计算
4686300562610A地在M地的正北方向12千米处，B地在M地的正东方向12千米处，某人从 B地出发向正西方向行至C地，再沿CA方向到达A地，这样比由B地到M地再到A 地的路程少4千米，求M地与C地之间的距离．
【难度】★★★
【答案】false．
【解析】如图建立平面平面直角坐标系，点false为原点，则有false，false，
设false，根据两点间距离公式false，
依题意可得false，移项得false，解得：false，
经检验，false是原方程的根，即得false．
【总结】考查根据构造平面直角坐标系解方程问题．
-1143005080课后作业
课后作业
下列方程是无理方程的是（ ）．
A．false B．false
C．false D．false
【难度】★
【答案】B
【解析】根据无理方程的概念，方程中含有根式，并且被开方数是含有未知数的代数式的方
程叫做无理方程，可知B是无理方程，故选B．
【总结】考查无理方程的概念，方程中根号内含有未知数即可
下列无理方程有解的方程是（ ）．
A．false B．false
C．false D．false
【难度】★
【答案】B
【解析】根据二次根式的双重非负性，对A选项，false，故方程无实数解；
对C选项，false，不可能同时成立，可知方程无实数解；对D选项，false，
false无解，即方程无实数解；故选B．
【总结】考查对无理方程解的判断，根据二次根式双重非负性即可进行初步判定．
下列四个无理方程中，有一个根是x=2的方程是（ ）．
A．false B．false
C．false D．false
【难度】★
【答案】C
【解析】对A、B、D选项，将false代入原方程，左边false右边，可知false不是相应方程的
解；对C选项，左边false右边，可知false是相应方程的解，故选C．
【总结】考查对无理方程解的判断，根据二次根式双重非负性即可进行初步判定．
用换元法解false方程时，设false=y，则原方程可转换成整式方程_____________．
【难度】★
【答案】false．
【解析】由false，可得false，原方程即为false，
整理即为false．
【总结】考查用“换元法”对无理方程进行变形转化，注意最终化成整式方程的形式．
将下列方程化成有理方程：
（1）false； （2）false； （3）false．
【难度】★
【答案】（1）false；（2）false；（3）false．
【解析】（1）移项得false，两边平方整理得false；
（2）移项得false，两边平方得false，整理得false；
（3）移项得false，两边平方得false，移项得false，
平方整理得：false．
【总结】考查无理方程转化为有理方程，移项平方即可．
解下列方程：
（1）false； （2）false．
【难度】★★
【答案】（1）false；（2）false．
【解析】（1）两边平方得：false，整理得false，
因式分解法，解得：false，false，经检验，false是原方程的增根，
即原方程的根为false；
（2）移项得false，两边平方得false，整理得:false，
解得：false，false，经检验，false是原方程的增根，
即原方程的根为false．
【总结】考查无理方程的解法，注意方程增根的检验．
解下列方程：
（1）false； （2）false．
【难度】★★
【答案】（1）false；（2）false，false．
【解析】（1）两边平方得false，整理得:false，
因式分解法，解得：false，false，经检验，false是原方程的增根，
即原方程的根为false；
（2）移项得false，两边平方得false，整理得：false，
解得：false，false，经检验，false，false都是原方程的根．
【总结】考查无理方程的解法，注意方程增根的检验．
解下列方程：
（1）false； （2）false．
【难度】★★
【答案】（1）false；（2）false．
【解析】（1）移项得false，两边平方，得：false，
移项得false，两边平方整理，得false，解得：false，
经检验，false是原方程的根，即原方程的根为false；
（2）移项得false，两边平方，得：false，
移项得false，两边平方整理得，false，解得：false，false，
经检验，false是原方程的增根，即原方程的根为false．
【总结】考查含有多个二次根式的无理方程的解法，两边多次平方即可
有一个数，它的平方根比它的倒数的正平方根的3倍多2，求这个数．
【难度】★★
【答案】9．
【解析】设这个数为false，依题意可得false，平方得：false，
整理得false，解得：false，false，经检验，false是原方程的增根，
得方程的根是false，即这个数是9．
【总结】考查根据题意列方程解题，注意无理方程增根的检验．
已知点P是x轴上一点，它与点A(-9，3)之间的距离是15，求点P的坐标．
【难度】★★
【答案】false或false
【解析】设点false，根据两点间距离公式，依题意可得false，
平方得false，解得：false，false，
经检验，false，false是原方程的根，
即false或false．
【总结】考查利用两点间距离公式确定点的位置问题
某学校修建两块面积相等的绿地，一块是长方形，另一块是正方形．已知长方形绿地的长比宽多14米，且这两块绿地的周长之和为196米，那么长方形绿地的宽是多少?
【难度】★★
【答案】false．
【解析】设长方形绿地宽为false，则长为false，根据相关周长和面积公式，
依题意可得false，移项得false，
平方整理得：false，解得：false，
经检验，false是原方程的根，
即长方形绿地宽为false．
【总结】考查长方形和正方形周长面积公式的综合应用，根据相关公式列出方程解题．
解下列方程：
（1）false； （2）false．
【难度】★★★
【答案】（1）false，false；（2）false，false．
【解析】（1）令false，得false，方程即false，
整理得false，解得：false（舍），false，
令false，平方整理得false，解得：false，false，
经检验，false，false都是原方程的根；
（2）令false，得：false，
展开完全平方原方程即为false，解得：false（舍），false，
令false，平方整理，得false，解得：false，false，
经检验，false，false都是原方程的根．
【总结】考查用“换元法”解无理方程，注意元的取值范围．
解下列关于false的方程：
（1）false； （2）false．
【难度】★★★
【答案】（1）false；（2）false．
【解析】（1）两边平方，得：false，
移项得false，两边平方，得：false，
整理得false，解得：false，false，
经检验，false是原方程的增根，
即原方程的根为false；
（2）两边平方，得：false，
移项得false，两边平方得false，
整理得：false，解得：false，false，
经检验，false是原方程的增根，
即原方程的根为false．
【总结】考查含有多个二次根式的无理方程的解法，两边多次平方即可，注意检验增根．
若关于x的方程false有实数根，求k的取值范围．
【难度】★★★
【答案】false．
【解析】令false，则有false，原方程即为false，
整理即为false，因为方程有实数根，则有false，
得false，且方程至少有一根满足false，
根据韦达定理可得：false，可知方程两根必为一非负根一负根，
则有false，得：false，即false的取值范围是false．
【总结】考查无理方程根的判定，利用换元法根据二次根式的非负性结合题意求解计算．
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