沪教版（上海）八年级寒假班——06分式方程讲义（学生版+教师版）
文档属性
| 名称 | 沪教版（上海）八年级寒假班——06分式方程讲义（学生版+教师版） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-01-24 21:42:27 | ||
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教师
日期
学生
课程编号
课型
同步/专题
课题
可化为一元二次方程的分式方程
教学目标
1.理解分式方程的概念；掌握可化为一元二次方程（组）的解法，知道“验根”是解分式方程（组）的必要步骤，掌握验根的基本方法．
2.会列出分式方程（组）求解简单的实际问题
教学重点
1.分式方程的解法，以及分式方程（组）的基本应用；
2.分式方程有可能产生增根的理解以及对实际问题中数量关系的分析．
教学安排
版块
时长
1
分式方程的概念及解法
60分钟
2
分式方程应用题
30分钟
3
课堂练习
30分钟
教师
日期
学生
课程编号
课型
同步/专题
课题
可化为一元二次方程的分式方程
教学目标
1.理解分式方程的概念；掌握可化为一元二次方程（组）的解法，知道“验根”是解分式方程（组）的必要步骤，掌握验根的基本方法．
2.会列出分式方程（组）求解简单的实际问题
教学重点
1.分式方程的解法，以及分式方程（组）的基本应用；
2.分式方程有可能产生增根的理解以及对实际问题中数量关系的分析．
教学安排
版块
时长
1
分式方程的概念及解法
60分钟
2
分式方程应用题
30分钟
3
课堂练习
30分钟
1230630012598400初二数学寒假班（教师版）
58039031750可化为一元二次方程的分式方程
可化为一元二次方程的分式方程
-371475236855 知识结构
知识结构
257175132080
652145116840模块一：分式方程及其解法
模块一：分式方程及其解法
-269875109220知识精讲
知识精讲
1、分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2、解分式方程的方法
通过去分母把分式方程转化为整式方程，再求解．
3、增根的概念
分式方程在化整式方程求解过程中，整式方程的解如果使得分式方程中的分母为0，那么这个解就是方程的增根．
4、解分式方程的一般步骤
（1）方程两边都乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的根；
（3）检验．有两种方法：①将求得的整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，则这个根为增根，方程无解；如果最简公分母不等于0，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；②直接代入原方程中，看其是否成立．如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解．
分式方程组的概念
由两个或两个以上的分式方程构成的方程组叫做分式方程组．
解分式方程组的方法
找出分式方程组中相同的分式进行换元，将分式方程组转化为整式方程组，解方程组，然后进行检验．
-1206502540例题解析
例题解析
在false；false；false；false；false中，分式方程有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
分式方程false的最简公分母是____________．
直接写出下列分式方程的根：
（1）false：_________________；
（2）false：_________________；
（3）false：_________________；
（4）false：_________________．
用换元法解方程false，设false，则方程变为( )
A．false B．false
C．false D．false
解方程：
（1）false；
（2）false；
（3）false．
解方程：
（1）false；
（2）false；
（3）false．
已知关于false的方程false有增根，求false的值．
已知关于false的方程false无解，求false的值．
已知关于false的方程false的根是负数，求a的取值范围．
解方程：（1）false； （2）false．
解方程：（1）false； （2）false．
解方程组：（1）false； （2）false．
解方程组：
（1）false； （2）false．
解方程：false．
a为何值时，关于false的方程false无解?
已知关于false的方程false只有一个解，求false的值及这个解．
解关于false的方程：false
解关于false的方程false．
已知方程false有实数根，求实数a的取值范围．
72199549530模块二 分式方程应用题
模块二 分式方程应用题
-20193053975知识精讲
知识精讲
列方程（组）解应用题时，如何找“相等关系”
利用题目中的关键语句寻找相等关系；
利用公式、定理寻找相等关系；
从生活、生产实际经验中寻找相等关系．
例题解析
例题解析
要在规定日期内完成一项工程，如甲队单独做，刚好按期完成；如乙队单独做，则要超过规定时间3天才能完成；甲、乙两队合作2天，剩下的工程由乙队单独做，则刚好按期完成.那么求规定日期为false天的方程是（ ）．
A．false B．false C．false D．false
某车间加工300个零件，在加工80个以后，改进了操作方法，每天能多加工15 个，一共用6天完成了任务.如果设改进操作后每天加工false个零件，那么下列根据题意 列出的方程中，错误的是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
甲、乙两个工程队合做一项工程，6天可以完成．如果单独工作，甲队比乙队少用 5天完成．两队单独工作各需多少天完成?
登山比赛时，小明上山时的速度为a米/分，下山的速度是b米/分，已知上山和下 山的路径是一样的，求小明在全程中的平均速度?
甲、乙两人分别从相距9千米的A、B两地同时出发，相向而行，1小时后相遇．相 遇后，各自继续以原有的速度前进，已知甲到B地比乙到A地早27分钟，求两人的速 度各是多少?
甲、乙两辆车同时从false地出发开往距false地240千米的false地，结果甲车比乙车早到 了60分钟；第二次，乙车提速30千米/时，结果比甲车早到了20分钟，求第一次甲、 乙两车的速度各是多少?
某服装厂接到一宗生产13万套衣服的业务，在生产了4万套后，接到了买方急需 货物的通知，为满足买方的要求，该厂改进了操作方法，每月能多生产1万套，一共5 个月完成了这宗业务．求改进操作方案后每月能生产多少万套衣服?
随堂检测
随堂检测
已知方程：（1）false；（2）false；（3）false；（4）false， 其中是分式方程的有_____________．
当x取何值时，分式方程false的最简公分母的值等于0?
分式方程false，如果设false，那么原方程可以化为关 于false的整式方程为 ．
解方程：
（1）false；
（2）false；
（3）false．
解方程：false．
解方程组false
若分式方程false产生增根，求m的值．
甲、乙两地间铁路长400千米，现将火车的行驶速度每小时比原来提高了45千米，因此，火车由甲地到乙地的行驶时间缩短了2小时．求火车原来的速度．
某市为了美化环境，计划在一定的时间内完成绿化面积200万亩的任务，后来市 政府调整了原定计划，不但绿化面积要在原计划的基础上增加20%，而且要提前1年 完成任务．经测算，要完成新的计划，平均每年的绿化面积必须比原计划多20万亩， 求原计划平均每年的绿化面积．
解方程：false．
解方程：false．
已知关于x的方程false有增根，求a．
已知：关于x的方程false只有一个实数根，求a．
-101600251460课后作业
课后作业
下列哪个分式方程（ ）的根是false.
A．false B．false C．false D．false
用换元法解方程组false时，如果设___________=u，___________=v，那
么原方程组可以化为二元一次方程组____________________．
已知方程false，若设false，则原方程化为（ ）．
A．false B．false；
C．false D．false
如果false，那么false的值是 ．
解方程：
（1）false； （2）false．
解方程：
（1）false； （2）false．
解下列方程组：
（1）false； （2）false．
当false为何值时，关于false的方程false无实根？
甲、乙两艘旅游客轮同时从台湾某港出发来厦门．甲沿直线航行180海里到达厦 门，乙沿原来航线绕道香港后来厦门共航行720海里，结果比甲晚20小时到达厦门， 已知乙速比甲速每小时快6海里，求甲客轮的速度．
（其中两客轮的速度都大于16海里 /小时）
如图所示，false两港中间有false两岛，false的距离分别为72海里， 18海里，27海里，有甲、乙两艘军舰分别从false两港同时出发，水流由false流到false， 流速为2海里/时，第一次任务是到达false岛，甲比乙早到2小时；第二次任务是到达false岛， 甲又比乙早到1小时．求甲、乙在静水中的速度．
解方程：false．
若关于x的方程false无实数根，求m的取值．
1230630012598400初二数学寒假班（教师版）
58039031750可化为一元二次方程的分式方程
可化为一元二次方程的分式方程
-371475236855 知识结构
知识结构
257175132080
652145116840模块一：分式方程及其解法
模块一：分式方程及其解法
-269875109220知识精讲
知识精讲
1、分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2、解分式方程的方法
通过去分母把分式方程转化为整式方程，再求解．
3、增根的概念
分式方程在化整式方程求解过程中，整式方程的解如果使得分式方程中的分母为0，那么这个解就是方程的增根．
4、解分式方程的一般步骤
（1）方程两边都乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的根；
（3）检验．有两种方法：①将求得的整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，则这个根为增根，方程无解；如果最简公分母不等于0，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；②直接代入原方程中，看其是否成立．如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解．
分式方程组的概念
由两个或两个以上的分式方程构成的方程组叫做分式方程组．
解分式方程组的方法
找出分式方程组中相同的分式进行换元，将分式方程组转化为整式方程组，解方程组，然后进行检验．
-1206502540例题解析
例题解析
在false；false；false；false；false中，分式方程有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【难度】★
【答案】B
【解析】根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程是分式方程，（1）（2）两个方程分
母中不含未知数，（5）不是方程，（3）（4）满足定义，故选B．
【总结】考查分式方程的定义，注意前提是方程，且方程分母中必含有字母．
分式方程false的最简公分母是____________．
【难度】★
【答案】false．
【解析】分式方程中三个分母位置上分别为false，false，false，分解因式的结果分别为false，false，false，由此可得方程的最简公分母为false．
【总结】考查分式方程的最简公分母，将每个分母因式分解，取相同因式的最高次数乘积即为分式方程的最简公分母．
直接写出下列分式方程的根：
（1）false：_________________；
（2）false：_________________；
（3）false：_________________；
（4）false：_________________．
【难度】★
【答案】（1）false；（2）无解；（3）无解；（4）false ．
【解析】（1）根据等式性质，两边同时加上分式部分，即得false，
检验得false是原分式方程的根；
根据等式性质，两边同时加上分式部分，即得false，检验得false为方程的增根，
即方程无解；
约分得false，解得false，检验得false为方程的增根，即方程无解；
约分得false，解得false，检验得false是原分式方程的根．
【总结】考查根据等式的性质求解简单的分式方程，注意求解结果是否是增根．
用换元法解方程false，设false，则方程变为( )
A．false B．false
C．false D．false
【难度】★
【答案】D
【解析】false，则有false，原方程即为false，
展开整理即为false，故选D．
【总结】考查分式方程中换元法的应用，注意含有未知数部分的恒等变形转化．
解方程：
（1）false；
（2）false；
（3）false．
【难度】★★
【答案】（1）false，false；（2）false，false；（3） 无解．
【解析】（1）方程两边同乘false，得false，整理得
false，解得false，false，经检验，false，false都是原方程的根；
（2）方程两边同乘false，得false，整理得false，解得：false，false，经检验，false，false都是原方程的根；
（3）方程两边同乘false，得false，整理得false，解得：false，false，经检验，false，false都是原方程的增根，即原方程无解．
解方程：
（1）false；
（2）false；
（3）false．
【难度】★★
【答案】（1）false；（2）false；（3）false．
【解析】（1）方程两边同乘false，得false，整理得false，
解得：false，false，经检验，false是原方程的增根，即原方程的根为false；
（2）方程两边同乘false，得false，整理得false，解得：false，false，经检验，false是原方程的增根，即原方程的根为false；
（3）两边同乘false，得false，整理得
false，解得：false，false，经检验，false是原方程的增根，
即原方程的根为false．
【总结】考查分式方程的解法，注意检验所求是否为增根．
已知关于false的方程false有增根，求false的值．
【难度】★★
【答案】false或false．
【解析】分式方程两边同乘false，得false，分式方程有增根，由false，
解得：false，false，即为原分式方程的增根，代入相应整式方程得false或
false，解得false或false．
【总结】考查分式方程的增根，代入相应的整式方程可使得方程成立且使得分式分母为0的未知数的值．
已知关于false的方程false无解，求false的值．
【难度】★★
【答案】false．
【解析】分式方程两边同乘false，得false，整理解得：false，因为原
分式方程无解，则相应解应为分式方程的增根，即得false，解得false．
【总结】考查分式方程的无解，即由相应整式方程求得的解是分式方程的增根．
已知关于false的方程false的根是负数，求a的取值范围．
【难度】★★
【答案】false且false．
【解析】分式方程两边同乘false，得false，整理解得：false，方程的根是
负数，则有false，得false，同时分式方程的根不能为相应增根，即false，
得false，由此即得false且false．
【总结】考查分式方程的解满足条件的求解，注意方程的解不能为相应的增根．
解方程：（1）false； （2）false．
【难度】★★
【答案】（1）false，false，false，false；（2）false，false，false．
【解析】（1）令false，原方程即为false，两边同乘false整理得false，
解得：false，false；由false，解得：false，false；
由false，解得：false，false；
经检验，false，false，false，false都是原方程的根；
令false，原方程即为false，解得false，false；
由false，整理得false，解得：false；
由false，整理得false，解得false，false；
经检验，false，false，false都是原方程的根．
【总结】考查用换元法求解具有特殊形式的分式方程，注意对方法的总结．
解方程：（1）false； （2）false．
【难度】★★
【答案】（1）false，false；
（2）false，false，false，false．
【解析】（1）令false，原方程即为false，两边同乘false整理得false，
解得：false，false；由false，整理得false，方程无解；
由false，整理得false，解得：false，false；
经检验，false，false都是原方程的根；
（2）令false，则有false，原方程即为false，
整理得false，解得：false，false；
由false，整理得false，解得：false，false；
由false，整理得false，解得：false，false；
经检验，false，false，false，false都是原方程的根．
【总结】考查用换元法求解有特殊形式的分式方程．
解方程组：（1）false； （2）false．
【难度】★★
【答案】（1）false；（2）false．
【解析】（1）令false，false，原方程组即为false，解得：false，
由此可得false，false，由此得false，解得：false，
经检验，false是原分式方程的根；
令false，原方程组即为false，解得：false，由此可得：false，
解得：false， ∴false， 经检验，false是原分式方程的根．
【总结】考查利用换元法求分式方程组的解，注意解完之后要检验．
解方程组：
（1）false； （2）false．
【难度】★★
【答案】（1）false，false；（2） false．
【解析】（1）对分式方程移项通分得false，
展开即得false，
由此即得false或false，
解得：false，false， 经检验，false，false都是原分式方程的根；
（2）对分式方程变形得false，
由此得false，两边分别通分即得false，
两边分母不同，则必有false，解得false，经检验，false是原分式方程的根．
【总结】考查特殊形式分式方程的解法，注意相应分母的关系，分组两边分别通分计算．
解方程：false．
【难度】★★
【答案】false，false．
【解析】令false，则有false，原方程即为false，
两边同乘false整理，得false，解得：false，false；
由false，方程无解； 由false，解得：false，false；
经检验，false，false都是原方程的根．
【总结】考查用换元法解分式方程，注意取值范围和增根．
a为何值时，关于false的方程false无解?
【难度】★★
【答案】false或false．
【解析】分式方程两边同乘false，得：false，展开移项得false，
当false时，方程无解； 当false时，false，方程无解，即得false，
解得false；
综上，false或false．
【总结】考查分式方程的无解，即由相应整式方程求得的解是分式方程的增根，注意考虑未知项系数为0的情况．
已知关于false的方程false只有一个解，求false的值及这个解．
【难度】★★★
【答案】false时，false或false时，false或false时，false．
【解析】方程两边同乘false，得false，展开整理得：false，
分式方程可能产生增根，即当相应整式方程有两解时，分式方程仅有一解，由此需进行
分类讨论：
①当整式方程有两相等实数根时，false，解得：false，
此时方程为false，解得：false，此时分式方程只有一个解，符合题意；
②当整式方程有一根为分式方程增根false时，此时有false，解得：false，
此时方程为false，解得：false，false，此时分式方程只有一个解false，
符合题意；
③当整式方程有一根为分式方程增根false时，此时有false，
解得：false，此时方程为false，解得：false，false，
此时分式方程只有一个解false，符合题意；
综上，false或false或false．
【总结】考查分式方程只有一个解的情况，方程为二次方程时，注意包含方程有一个根为分式方程的增根的情形．
解关于false的方程：false
【难度】★★★
【答案】false，false．
【解析】令false，则有false，原方程即为false，
展开整理得false，解得：false，false；
由false，整理得false，方程无解；
由false，整理得false，解得：false，false；
经检验，false，false都是原方程的根．
【总结】考查用换元法求解有特殊形式的分式方程，注意解完之后进行检验．
解关于false的方程false．
【难度】★★★
【答案】false，false．
【解析】令false，原方程即为false，两边同乘false整理，得false，
解得：false，false； 由false，又false，可解得：false；
由false，又false，可解得：false；
经检验，false，false都是原方程的根．
【总结】考查用换元法求解有特殊形式的分式方程．
已知方程false有实数根，求实数a的取值范围．
【难度】★★★
【答案】false且false．
【解析】展开得false，根据等式性质移项得
false，即为false，由此得false，
移项得false，展开整理得false，
当false时，方程有实数根false是分式方程的增根，应舍去；
当false时，方程为一元二次方程，此时根据韦达定理可得
false，可知false、false不可能同时为false，分式方程有实数根，
则相应的整式方程应满足false，得false；
综上，实数a的取值范围为：false且false．
【总结】考查分式方程有实数根的情形，对分式方程整理变形满足相应的条件即可．
72199549530模块二 分式方程应用题
模块二 分式方程应用题
-20193053975知识精讲
知识精讲
列方程（组）解应用题时，如何找“相等关系”
利用题目中的关键语句寻找相等关系；
利用公式、定理寻找相等关系；
从生活、生产实际经验中寻找相等关系．
例题解析
例题解析
要在规定日期内完成一项工程，如甲队单独做，刚好按期完成；如乙队单独做，则要超过规定时间3天才能完成；甲、乙两队合作2天，剩下的工程由乙队单独做，则刚好按期完成.那么求规定日期为false天的方程是（ ）．
A．false B．false C．false D．false
【难度】★
【答案】D
【解析】设工作总量为“1”，则甲工作量+乙工作量=1，根据工作总量=工作效率×工作天
数，乙工作天数为false天，由此可知选D．
【总结】考查工程问题中的单位“1”，注意分清对应的工作效率和工作时间．
某车间加工300个零件，在加工80个以后，改进了操作方法，每天能多加工15 个，一共用6天完成了任务.如果设改进操作后每天加工false个零件，那么下列根据题意 列出的方程中，错误的是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
【难度】★
【答案】B
【解析】略
【总结】考查根据题意列方程的应用，根据工作量和工作效率、工作时间之间的相互关系进行列方程的应用．
甲、乙两个工程队合做一项工程，6天可以完成．如果单独工作，甲队比乙队少用 5天完成．两队单独工作各需多少天完成?
【难度】★★
【答案】甲单独需10天完成，乙单独需15天完成．
【解析】设甲单独需用false天完成，则乙单独需用false天完成，
依题意可得false，整理得false，解得：false，false，
经检验，false，false都是原方程的根，但false不合题意应舍去，即得false，即甲单独需false天完成，乙单独需false天完成．
【总结】考查工程问题中的列方程解应用题，把工作总量当作单位“1”解题．
登山比赛时，小明上山时的速度为a米/分，下山的速度是b米/分，已知上山和下 山的路径是一样的，求小明在全程中的平均速度?
【难度】★★
【答案】false．
【解析】设小明上山的路程为false，则整个过程中小明总行程为false，
根据平均速度=总行程÷总时间，即得平均速度false．
【总结】考查平均速度的求取，平均速度==总行程÷总时间，与行程远近无关，注意平均速度的求法．
甲、乙两人分别从相距9千米的A、B两地同时出发，相向而行，1小时后相遇．相 遇后，各自继续以原有的速度前进，已知甲到B地比乙到A地早27分钟，求两人的速 度各是多少?
【难度】★★★
【答案】甲速度为false，乙速度为false．
【解析】设甲速度为false，则乙速度为false，false，
依题意可得false，整理得false，解得：false，false，
经检验，false，false都是原方程的根，但false不合题意应舍去，即得false，即甲速度为false，乙速度为false．
【总结】考查行程问题中的列方程解应用题，根据相遇问题的基本关系一个条件作设一个条件列式进行求解．
甲、乙两辆车同时从false地出发开往距false地240千米的false地，结果甲车比乙车早到 了60分钟；第二次，乙车提速30千米/时，结果比甲车早到了20分钟，求第一次甲、 乙两车的速度各是多少?
【难度】★★★
【答案】甲速度为false，乙速度为false．
【解析】设甲车false到达B地，false，false，
依题意可得false，整理得false，解得false，false，
经检验，false，false都是原方程的根，但false不合题意应舍去，即得false，可得甲速度为false，乙速度为false．
【总结】考查行程问题中的列方程解应用题，根据行程问题的基本等量关系一个条件作设一个条件列式进行求解，注意本题中用时间作设速度列式解题更方便．
某服装厂接到一宗生产13万套衣服的业务，在生产了4万套后，接到了买方急需 货物的通知，为满足买方的要求，该厂改进了操作方法，每月能多生产1万套，一共5 个月完成了这宗业务．求改进操作方案后每月能生产多少万套衣服?
【难度】★★★
【答案】3万套．
【解析】设改进操作方案后每月能生产false万套衣服，则改进之前每月生产false万套，
依题意可得false，整理得false，解得：false，false，
经检验，false，false都是原方程的根，但false不合题意应舍去，即得：false，
即改进操作方案后每月能生产false万套衣服．
【总结】考查工作总量问题，一个条件作设一个条件列式进行求解．
随堂检测
随堂检测
已知方程：（1）false；（2）false；（3）false；（4）false， 其中是分式方程的有_____________．
【难度】★
【答案】（1）、（2）、（3） ．
【解析】根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程是分式方程，（1）、（2）、（3）满足
条件，（4）方程中不含有分式，故答案为（1）、（2）、（3）．
【总结】考查分式方程的定义，注意前提是方程，且方程分母中必含有字母．
当x取何值时，分式方程false的最简公分母的值等于0?
【难度】★
【答案】false或false．
【解析】分式方程的最简公分母为false，最简公分母值为0，即false，
解得：false或false．
【总结】考查分式方程的最简公分母，将每个分母因式分解，取相同因式的最高次数乘积即为分式方程的最简公分母．
分式方程false，如果设false，那么原方程可以化为关 于false的整式方程为 ．
【难度】★
【答案】false．
【解析】false，则有false，原方程即为false，整理化作关于false的整式方
程即为false．
【总结】考查利用换元法对复杂形式的分式方程进行转化，注意最终要化成整式方程的形式．
解方程：
（1）false；
（2）false；
（3）false．
【难度】★★
【答案】（1）false；（2）false；（3）false，false．
【解析】（1）方程两边同乘false，得false，整理得false，
解得：false，false，经检验，false是原方程的增根，即原方程的根为false；
（2）方程两边同乘false，得false，整理得false，
解得：false，false，经检验，false是原方程的增根，即原方程的根为false；
（3）两边同乘false，得false，整理得false，解得“”false，false，经检验，false，false都是原方程的根．
【总结】考查分式方程的解法，注意检验所求是否为增根．
解方程：false．
【难度】★★
【答案】false，false．
【解析】令false，原方程即为false，整理即为false，
解得：false，false；
由false，解得：false； 由false，解得：false；
经检验false，false都是原分式方程的根．
【总结】考查利用换元法解分式方程．
解方程组false
【难度】★★
【答案】false．
【解析】令false，false，原方程组即为false，解得：false，
由此可得false， 去分母得false，解得：false，
经检验，false是原分式方程的根．
【总结】考查用换元法解有特殊形式的分式方程组，注意验根．
若分式方程false产生增根，求m的值．
【难度】★★
【答案】false或false．
【解析】方程两边同乘false，得false，展开整理得false，
分式方程产生增根，即当相应整式方程有两解时，分式方程仅有一解，由此需进行分类
讨论：
①整式方程有一根为分式方程增根false时，此时有false，解得：false；
②整式方程有一根为分式方程增根false时，此时有false，
解得：false；
综上，false或false．
【总结】考查分式方程有增根的情况，即对应的整式方程有一个根为分式方程的增根．
甲、乙两地间铁路长400千米，现将火车的行驶速度每小时比原来提高了45千米，因此，火车由甲地到乙地的行驶时间缩短了2小时．求火车原来的速度．
【难度】★★
【答案】false．
【解析】设火车原来的速度为false，
依题意可得false，整理得false，解得：false，false，
经检验，false，false都是原方程的根，但false不合题意应舍去，即得false，即可得火车原来速度为false．
【总结】考查行程问题中的列方程解应用题，根据行程问题的基本等量关系一个条件作设一个条件列式进行求解．
某市为了美化环境，计划在一定的时间内完成绿化面积200万亩的任务，后来市 政府调整了原定计划，不但绿化面积要在原计划的基础上增加20%，而且要提前1年 完成任务．经测算，要完成新的计划，平均每年的绿化面积必须比原计划多20万亩， 求原计划平均每年的绿化面积．
【难度】★★★
【答案】原计划平均每年绿化面积40万亩．
【解析】设原计划平均每年的绿化面积为false万亩，则新计划每年false万亩，
依题意可得false，整理得false，
解得：false，false，
经检验，false，false都是原方程的根，但false不合题意应舍去，即得false，即原计划平均每年的绿化面积为40万亩．
【总结】考查工作量的问题，根据相应的等量关系式列方程求解．
解方程：false．
【难度】★★★
【答案】false，false，false，false
【解析】方程两边同乘12展开得false，
根据等式的性质移项变形得false，
因式分解得：false，由此可得false或false；
由false，整理得false，解得：false，false；
由false，整理得false，解得：false，false；
经检验，false，false，false，false都是原方程的根．
【总结】考查用整体思想先对分式方程变形，然后求解分式方程的根，注意对方法的总结．
解方程：false．
【难度】★★★
【答案】false．
【解析】对分式方程变形得false，
根据等式的性质可变形得false，
两边分别通分即得false，
由此可得false， 解得：false，
经检验，false是原分式方程的根．
【总结】考查特殊形式分式方程的解法，注意相应分母的关系，分组两边分别通分计算．
已知关于x的方程false有增根，求a．
【难度】★★★
【答案】false或false．
【解析】方程两边同乘false，得false，展开整理得false，
当false，即false时，得false，分式方程可能产生增根，由此进行分类讨论：
①整式方程根为分式方程增根false时，此时有false，解得false；
②整式方程有一根为分式方程增根false时，此时有false，解得false；
综上，false或false．
【总结】考查分式方程有增根的情况，即对应的整式方程根为分式方程的增根．
已知：关于x的方程false只有一个实数根，求a．
【难度】★★★
【答案】false或false．
【解析】整理原方程得false，因式分解得false，
由此可得false或false，分别整理得：false和false，
两方程根的判别式分别为false，false．
因为方程仅有一实数根，所以false或false，
解得：false或false．
【总结】考查分式方程的根与对应整式方程的根相结合的问题，根据实际题目进行问题的分析转化，解决问题．
-101600251460课后作业
课后作业
下列哪个分式方程（ ）的根是false.
A．false B．false C．false D．false
【难度】★
【答案】C
【解析】根据分式方程解的定义，代入C选项使得方程左右两边相等且有意义，故选C．
【总结】考查分式方程的解，代入使得分式方程左右两边相等即可．
用换元法解方程组false时，如果设___________=u，___________=v，那
么原方程组可以化为二元一次方程组____________________．
【难度】★
【答案】false，false，false．
【解析】略
【总结】考查用换元法对有特殊形式的分式方程组换元．
已知方程false，若设false，则原方程化为（ ）．
A．false B．false；
C．false D．false
【难度】★
【答案】B
【解析】由false，则有false，原方程即为false，
展开整理即为false，故选B．
【总结】考查用换元法对有特殊形式的分式方程进行转化求解．
如果false，那么false的值是 ．
【难度】★★
【答案】1．
【解析】分解因式得false，由此得false，得：false．
【总结】考查利用因式分解整体思想解分式方程．
解方程：
（1）false； （2）false．
【难度】★★
【答案】（1）false；（2）false．
【解析】（1）方程两边同乘false，得false，整理得：false，
解得：false，false，经检验，false是原方程的增根，即原方程的根为false；
（2）方程两边同乘false，得false，整理得false，
解得：false，false，经检验，false是原方程的增根，即原方程的根为false．
【总结】考查分式方程的解法，注意检验所求是否为增根．
解方程：
（1）false； （2）false．
【难度】★★
【答案】（1）false，false；（2）false，false．
【解析】（1）令false，原方程即为false，两边同乘false整理得false，
解得：false，false；由false，整理得false，方程无解；
由false，整理得false，解得：false，false；
经检验，false，false都是原方程的根；
（2）令false，原方程即为false，两边同乘false整理得false，
解得：false，false；由false，解得false； 由false，解得false；
经检验，false，false都是原方程的根．
【总结】考查用换元法求解有特殊形式的分式方程．
解下列方程组：
（1）false； （2）false．
【难度】★★
【答案】（1）false；（2）false．
【解析】（1）令false，false，原方程组即为false， 解得：false， 由此可得false，
解得：false，经检验，false是原分式方程的根；
令false，false，原方程组即为false，解得：false，
由此可得false，即得false，解得：false，
经检验，false是原分式方程的根．
【总结】考查利用换元法解分式方程组，注意解完后要检验．
当false为何值时，关于false的方程false无实根？
【难度】★★
【答案】false或false．
【解析】方程两边同乘false，得false，展开整理得false，
因为分式方程无实根，即整式方程无实数根或方程两根都为分式方程的增根，由此进行
分类讨论：
①整式方程没有实数根时，false，解得：false；
②整式方程两根分别为false和false时，此时有false，解得：false；
综上，false或false．
【总结】考查分式方程没有实根的情况，方程为二次方程时，注意包含方程两根都为分式方程的增根的情形．
甲、乙两艘旅游客轮同时从台湾某港出发来厦门．甲沿直线航行180海里到达厦 门，乙沿原来航线绕道香港后来厦门共航行720海里，结果比甲晚20小时到达厦门， 已知乙速比甲速每小时快6海里，求甲客轮的速度．
（其中两客轮的速度都大于16海里 /小时）
【难度】★★
【答案】甲客轮速度为18海里false，乙客轮速度为24海里false．
【解析】设甲客轮速度为false海里false，则乙客轮速度为false海里false，
依题意可得false，整理得false，解得：false，false，
经检验，false，false都是原方程的根，但false不合题意应舍去，即得false，
即甲客轮速度为18海里false，乙速度为false海里false．
【总结】考查行程问题中的列方程解应用题，根据相遇问题的基本关系一个条件作设一个条件列式进行求解．
如图所示，false两港中间有false两岛，false的距离分别为72海里， 18海里，27海里，有甲、乙两艘军舰分别从false两港同时出发，水流由false流到false， 流速为2海里/时，第一次任务是到达false岛，甲比乙早到2小时；第二次任务是到达false岛， 甲又比乙早到1小时．求甲、乙在静水中的速度．
【难度】★★★
【答案】甲在静水中的速度为16海里false，乙在静水中的速度为20海里false．
【解析】设甲在静水中的速度为false海里false，乙在静水中的速度为false海里false，
依题意可得false，令false，false，原方程组即为false，
解得：false，由此可得false，由此得false，解得false，
经检验，false是原分式方程的根，且符合题意，
即甲在静水中速度为16海里false，乙在静水中速度为20海里false．
解方程：false．
【难度】★★★
【答案】false．
【解析】对分式方程两边分别通分即得false，两边分母不同，
则必有false，解得：false，经检验，false是原分式方程的根．
【总结】考查特殊形式分式方程的解法，注意相应分母的关系，分组两边分别通分计算，解完后注意要检验．
若关于x的方程false无实数根，求m的取值．
【难度】★★★
【答案】false或false．
【解析】去分母，得：false，
化简，得：false，
因为原方程无实数根，所以false或者是所求得的解为原方程的增根，
当false时，即false，
解得：false．
当false时，false； 当false时，false．
综上，当原方程无实数解时，false或false．
【总结】本题主要考查了对分式方程无解的理解，注意分情况讨论．
日期
学生
课程编号
课型
同步/专题
课题
可化为一元二次方程的分式方程
教学目标
1.理解分式方程的概念；掌握可化为一元二次方程（组）的解法，知道“验根”是解分式方程（组）的必要步骤，掌握验根的基本方法．
2.会列出分式方程（组）求解简单的实际问题
教学重点
1.分式方程的解法，以及分式方程（组）的基本应用；
2.分式方程有可能产生增根的理解以及对实际问题中数量关系的分析．
教学安排
版块
时长
1
分式方程的概念及解法
60分钟
2
分式方程应用题
30分钟
3
课堂练习
30分钟
教师
日期
学生
课程编号
课型
同步/专题
课题
可化为一元二次方程的分式方程
教学目标
1.理解分式方程的概念；掌握可化为一元二次方程（组）的解法，知道“验根”是解分式方程（组）的必要步骤，掌握验根的基本方法．
2.会列出分式方程（组）求解简单的实际问题
教学重点
1.分式方程的解法，以及分式方程（组）的基本应用；
2.分式方程有可能产生增根的理解以及对实际问题中数量关系的分析．
教学安排
版块
时长
1
分式方程的概念及解法
60分钟
2
分式方程应用题
30分钟
3
课堂练习
30分钟
1230630012598400初二数学寒假班（教师版）
58039031750可化为一元二次方程的分式方程
可化为一元二次方程的分式方程
-371475236855 知识结构
知识结构
257175132080
652145116840模块一：分式方程及其解法
模块一：分式方程及其解法
-269875109220知识精讲
知识精讲
1、分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2、解分式方程的方法
通过去分母把分式方程转化为整式方程，再求解．
3、增根的概念
分式方程在化整式方程求解过程中，整式方程的解如果使得分式方程中的分母为0，那么这个解就是方程的增根．
4、解分式方程的一般步骤
（1）方程两边都乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的根；
（3）检验．有两种方法：①将求得的整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，则这个根为增根，方程无解；如果最简公分母不等于0，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；②直接代入原方程中，看其是否成立．如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解．
分式方程组的概念
由两个或两个以上的分式方程构成的方程组叫做分式方程组．
解分式方程组的方法
找出分式方程组中相同的分式进行换元，将分式方程组转化为整式方程组，解方程组，然后进行检验．
-1206502540例题解析
例题解析
在false；false；false；false；false中，分式方程有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
分式方程false的最简公分母是____________．
直接写出下列分式方程的根：
（1）false：_________________；
（2）false：_________________；
（3）false：_________________；
（4）false：_________________．
用换元法解方程false，设false，则方程变为( )
A．false B．false
C．false D．false
解方程：
（1）false；
（2）false；
（3）false．
解方程：
（1）false；
（2）false；
（3）false．
已知关于false的方程false有增根，求false的值．
已知关于false的方程false无解，求false的值．
已知关于false的方程false的根是负数，求a的取值范围．
解方程：（1）false； （2）false．
解方程：（1）false； （2）false．
解方程组：（1）false； （2）false．
解方程组：
（1）false； （2）false．
解方程：false．
a为何值时，关于false的方程false无解?
已知关于false的方程false只有一个解，求false的值及这个解．
解关于false的方程：false
解关于false的方程false．
已知方程false有实数根，求实数a的取值范围．
72199549530模块二 分式方程应用题
模块二 分式方程应用题
-20193053975知识精讲
知识精讲
列方程（组）解应用题时，如何找“相等关系”
利用题目中的关键语句寻找相等关系；
利用公式、定理寻找相等关系；
从生活、生产实际经验中寻找相等关系．
例题解析
例题解析
要在规定日期内完成一项工程，如甲队单独做，刚好按期完成；如乙队单独做，则要超过规定时间3天才能完成；甲、乙两队合作2天，剩下的工程由乙队单独做，则刚好按期完成.那么求规定日期为false天的方程是（ ）．
A．false B．false C．false D．false
某车间加工300个零件，在加工80个以后，改进了操作方法，每天能多加工15 个，一共用6天完成了任务.如果设改进操作后每天加工false个零件，那么下列根据题意 列出的方程中，错误的是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
甲、乙两个工程队合做一项工程，6天可以完成．如果单独工作，甲队比乙队少用 5天完成．两队单独工作各需多少天完成?
登山比赛时，小明上山时的速度为a米/分，下山的速度是b米/分，已知上山和下 山的路径是一样的，求小明在全程中的平均速度?
甲、乙两人分别从相距9千米的A、B两地同时出发，相向而行，1小时后相遇．相 遇后，各自继续以原有的速度前进，已知甲到B地比乙到A地早27分钟，求两人的速 度各是多少?
甲、乙两辆车同时从false地出发开往距false地240千米的false地，结果甲车比乙车早到 了60分钟；第二次，乙车提速30千米/时，结果比甲车早到了20分钟，求第一次甲、 乙两车的速度各是多少?
某服装厂接到一宗生产13万套衣服的业务，在生产了4万套后，接到了买方急需 货物的通知，为满足买方的要求，该厂改进了操作方法，每月能多生产1万套，一共5 个月完成了这宗业务．求改进操作方案后每月能生产多少万套衣服?
随堂检测
随堂检测
已知方程：（1）false；（2）false；（3）false；（4）false， 其中是分式方程的有_____________．
当x取何值时，分式方程false的最简公分母的值等于0?
分式方程false，如果设false，那么原方程可以化为关 于false的整式方程为 ．
解方程：
（1）false；
（2）false；
（3）false．
解方程：false．
解方程组false
若分式方程false产生增根，求m的值．
甲、乙两地间铁路长400千米，现将火车的行驶速度每小时比原来提高了45千米，因此，火车由甲地到乙地的行驶时间缩短了2小时．求火车原来的速度．
某市为了美化环境，计划在一定的时间内完成绿化面积200万亩的任务，后来市 政府调整了原定计划，不但绿化面积要在原计划的基础上增加20%，而且要提前1年 完成任务．经测算，要完成新的计划，平均每年的绿化面积必须比原计划多20万亩， 求原计划平均每年的绿化面积．
解方程：false．
解方程：false．
已知关于x的方程false有增根，求a．
已知：关于x的方程false只有一个实数根，求a．
-101600251460课后作业
课后作业
下列哪个分式方程（ ）的根是false.
A．false B．false C．false D．false
用换元法解方程组false时，如果设___________=u，___________=v，那
么原方程组可以化为二元一次方程组____________________．
已知方程false，若设false，则原方程化为（ ）．
A．false B．false；
C．false D．false
如果false，那么false的值是 ．
解方程：
（1）false； （2）false．
解方程：
（1）false； （2）false．
解下列方程组：
（1）false； （2）false．
当false为何值时，关于false的方程false无实根？
甲、乙两艘旅游客轮同时从台湾某港出发来厦门．甲沿直线航行180海里到达厦 门，乙沿原来航线绕道香港后来厦门共航行720海里，结果比甲晚20小时到达厦门， 已知乙速比甲速每小时快6海里，求甲客轮的速度．
（其中两客轮的速度都大于16海里 /小时）
如图所示，false两港中间有false两岛，false的距离分别为72海里， 18海里，27海里，有甲、乙两艘军舰分别从false两港同时出发，水流由false流到false， 流速为2海里/时，第一次任务是到达false岛，甲比乙早到2小时；第二次任务是到达false岛， 甲又比乙早到1小时．求甲、乙在静水中的速度．
解方程：false．
若关于x的方程false无实数根，求m的取值．
1230630012598400初二数学寒假班（教师版）
58039031750可化为一元二次方程的分式方程
可化为一元二次方程的分式方程
-371475236855 知识结构
知识结构
257175132080
652145116840模块一：分式方程及其解法
模块一：分式方程及其解法
-269875109220知识精讲
知识精讲
1、分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2、解分式方程的方法
通过去分母把分式方程转化为整式方程，再求解．
3、增根的概念
分式方程在化整式方程求解过程中，整式方程的解如果使得分式方程中的分母为0，那么这个解就是方程的增根．
4、解分式方程的一般步骤
（1）方程两边都乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的根；
（3）检验．有两种方法：①将求得的整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，则这个根为增根，方程无解；如果最简公分母不等于0，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；②直接代入原方程中，看其是否成立．如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解．
分式方程组的概念
由两个或两个以上的分式方程构成的方程组叫做分式方程组．
解分式方程组的方法
找出分式方程组中相同的分式进行换元，将分式方程组转化为整式方程组，解方程组，然后进行检验．
-1206502540例题解析
例题解析
在false；false；false；false；false中，分式方程有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【难度】★
【答案】B
【解析】根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程是分式方程，（1）（2）两个方程分
母中不含未知数，（5）不是方程，（3）（4）满足定义，故选B．
【总结】考查分式方程的定义，注意前提是方程，且方程分母中必含有字母．
分式方程false的最简公分母是____________．
【难度】★
【答案】false．
【解析】分式方程中三个分母位置上分别为false，false，false，分解因式的结果分别为false，false，false，由此可得方程的最简公分母为false．
【总结】考查分式方程的最简公分母，将每个分母因式分解，取相同因式的最高次数乘积即为分式方程的最简公分母．
直接写出下列分式方程的根：
（1）false：_________________；
（2）false：_________________；
（3）false：_________________；
（4）false：_________________．
【难度】★
【答案】（1）false；（2）无解；（3）无解；（4）false ．
【解析】（1）根据等式性质，两边同时加上分式部分，即得false，
检验得false是原分式方程的根；
根据等式性质，两边同时加上分式部分，即得false，检验得false为方程的增根，
即方程无解；
约分得false，解得false，检验得false为方程的增根，即方程无解；
约分得false，解得false，检验得false是原分式方程的根．
【总结】考查根据等式的性质求解简单的分式方程，注意求解结果是否是增根．
用换元法解方程false，设false，则方程变为( )
A．false B．false
C．false D．false
【难度】★
【答案】D
【解析】false，则有false，原方程即为false，
展开整理即为false，故选D．
【总结】考查分式方程中换元法的应用，注意含有未知数部分的恒等变形转化．
解方程：
（1）false；
（2）false；
（3）false．
【难度】★★
【答案】（1）false，false；（2）false，false；（3） 无解．
【解析】（1）方程两边同乘false，得false，整理得
false，解得false，false，经检验，false，false都是原方程的根；
（2）方程两边同乘false，得false，整理得false，解得：false，false，经检验，false，false都是原方程的根；
（3）方程两边同乘false，得false，整理得false，解得：false，false，经检验，false，false都是原方程的增根，即原方程无解．
解方程：
（1）false；
（2）false；
（3）false．
【难度】★★
【答案】（1）false；（2）false；（3）false．
【解析】（1）方程两边同乘false，得false，整理得false，
解得：false，false，经检验，false是原方程的增根，即原方程的根为false；
（2）方程两边同乘false，得false，整理得false，解得：false，false，经检验，false是原方程的增根，即原方程的根为false；
（3）两边同乘false，得false，整理得
false，解得：false，false，经检验，false是原方程的增根，
即原方程的根为false．
【总结】考查分式方程的解法，注意检验所求是否为增根．
已知关于false的方程false有增根，求false的值．
【难度】★★
【答案】false或false．
【解析】分式方程两边同乘false，得false，分式方程有增根，由false，
解得：false，false，即为原分式方程的增根，代入相应整式方程得false或
false，解得false或false．
【总结】考查分式方程的增根，代入相应的整式方程可使得方程成立且使得分式分母为0的未知数的值．
已知关于false的方程false无解，求false的值．
【难度】★★
【答案】false．
【解析】分式方程两边同乘false，得false，整理解得：false，因为原
分式方程无解，则相应解应为分式方程的增根，即得false，解得false．
【总结】考查分式方程的无解，即由相应整式方程求得的解是分式方程的增根．
已知关于false的方程false的根是负数，求a的取值范围．
【难度】★★
【答案】false且false．
【解析】分式方程两边同乘false，得false，整理解得：false，方程的根是
负数，则有false，得false，同时分式方程的根不能为相应增根，即false，
得false，由此即得false且false．
【总结】考查分式方程的解满足条件的求解，注意方程的解不能为相应的增根．
解方程：（1）false； （2）false．
【难度】★★
【答案】（1）false，false，false，false；（2）false，false，false．
【解析】（1）令false，原方程即为false，两边同乘false整理得false，
解得：false，false；由false，解得：false，false；
由false，解得：false，false；
经检验，false，false，false，false都是原方程的根；
令false，原方程即为false，解得false，false；
由false，整理得false，解得：false；
由false，整理得false，解得false，false；
经检验，false，false，false都是原方程的根．
【总结】考查用换元法求解具有特殊形式的分式方程，注意对方法的总结．
解方程：（1）false； （2）false．
【难度】★★
【答案】（1）false，false；
（2）false，false，false，false．
【解析】（1）令false，原方程即为false，两边同乘false整理得false，
解得：false，false；由false，整理得false，方程无解；
由false，整理得false，解得：false，false；
经检验，false，false都是原方程的根；
（2）令false，则有false，原方程即为false，
整理得false，解得：false，false；
由false，整理得false，解得：false，false；
由false，整理得false，解得：false，false；
经检验，false，false，false，false都是原方程的根．
【总结】考查用换元法求解有特殊形式的分式方程．
解方程组：（1）false； （2）false．
【难度】★★
【答案】（1）false；（2）false．
【解析】（1）令false，false，原方程组即为false，解得：false，
由此可得false，false，由此得false，解得：false，
经检验，false是原分式方程的根；
令false，原方程组即为false，解得：false，由此可得：false，
解得：false， ∴false， 经检验，false是原分式方程的根．
【总结】考查利用换元法求分式方程组的解，注意解完之后要检验．
解方程组：
（1）false； （2）false．
【难度】★★
【答案】（1）false，false；（2） false．
【解析】（1）对分式方程移项通分得false，
展开即得false，
由此即得false或false，
解得：false，false， 经检验，false，false都是原分式方程的根；
（2）对分式方程变形得false，
由此得false，两边分别通分即得false，
两边分母不同，则必有false，解得false，经检验，false是原分式方程的根．
【总结】考查特殊形式分式方程的解法，注意相应分母的关系，分组两边分别通分计算．
解方程：false．
【难度】★★
【答案】false，false．
【解析】令false，则有false，原方程即为false，
两边同乘false整理，得false，解得：false，false；
由false，方程无解； 由false，解得：false，false；
经检验，false，false都是原方程的根．
【总结】考查用换元法解分式方程，注意取值范围和增根．
a为何值时，关于false的方程false无解?
【难度】★★
【答案】false或false．
【解析】分式方程两边同乘false，得：false，展开移项得false，
当false时，方程无解； 当false时，false，方程无解，即得false，
解得false；
综上，false或false．
【总结】考查分式方程的无解，即由相应整式方程求得的解是分式方程的增根，注意考虑未知项系数为0的情况．
已知关于false的方程false只有一个解，求false的值及这个解．
【难度】★★★
【答案】false时，false或false时，false或false时，false．
【解析】方程两边同乘false，得false，展开整理得：false，
分式方程可能产生增根，即当相应整式方程有两解时，分式方程仅有一解，由此需进行
分类讨论：
①当整式方程有两相等实数根时，false，解得：false，
此时方程为false，解得：false，此时分式方程只有一个解，符合题意；
②当整式方程有一根为分式方程增根false时，此时有false，解得：false，
此时方程为false，解得：false，false，此时分式方程只有一个解false，
符合题意；
③当整式方程有一根为分式方程增根false时，此时有false，
解得：false，此时方程为false，解得：false，false，
此时分式方程只有一个解false，符合题意；
综上，false或false或false．
【总结】考查分式方程只有一个解的情况，方程为二次方程时，注意包含方程有一个根为分式方程的增根的情形．
解关于false的方程：false
【难度】★★★
【答案】false，false．
【解析】令false，则有false，原方程即为false，
展开整理得false，解得：false，false；
由false，整理得false，方程无解；
由false，整理得false，解得：false，false；
经检验，false，false都是原方程的根．
【总结】考查用换元法求解有特殊形式的分式方程，注意解完之后进行检验．
解关于false的方程false．
【难度】★★★
【答案】false，false．
【解析】令false，原方程即为false，两边同乘false整理，得false，
解得：false，false； 由false，又false，可解得：false；
由false，又false，可解得：false；
经检验，false，false都是原方程的根．
【总结】考查用换元法求解有特殊形式的分式方程．
已知方程false有实数根，求实数a的取值范围．
【难度】★★★
【答案】false且false．
【解析】展开得false，根据等式性质移项得
false，即为false，由此得false，
移项得false，展开整理得false，
当false时，方程有实数根false是分式方程的增根，应舍去；
当false时，方程为一元二次方程，此时根据韦达定理可得
false，可知false、false不可能同时为false，分式方程有实数根，
则相应的整式方程应满足false，得false；
综上，实数a的取值范围为：false且false．
【总结】考查分式方程有实数根的情形，对分式方程整理变形满足相应的条件即可．
72199549530模块二 分式方程应用题
模块二 分式方程应用题
-20193053975知识精讲
知识精讲
列方程（组）解应用题时，如何找“相等关系”
利用题目中的关键语句寻找相等关系；
利用公式、定理寻找相等关系；
从生活、生产实际经验中寻找相等关系．
例题解析
例题解析
要在规定日期内完成一项工程，如甲队单独做，刚好按期完成；如乙队单独做，则要超过规定时间3天才能完成；甲、乙两队合作2天，剩下的工程由乙队单独做，则刚好按期完成.那么求规定日期为false天的方程是（ ）．
A．false B．false C．false D．false
【难度】★
【答案】D
【解析】设工作总量为“1”，则甲工作量+乙工作量=1，根据工作总量=工作效率×工作天
数，乙工作天数为false天，由此可知选D．
【总结】考查工程问题中的单位“1”，注意分清对应的工作效率和工作时间．
某车间加工300个零件，在加工80个以后，改进了操作方法，每天能多加工15 个，一共用6天完成了任务.如果设改进操作后每天加工false个零件，那么下列根据题意 列出的方程中，错误的是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
【难度】★
【答案】B
【解析】略
【总结】考查根据题意列方程的应用，根据工作量和工作效率、工作时间之间的相互关系进行列方程的应用．
甲、乙两个工程队合做一项工程，6天可以完成．如果单独工作，甲队比乙队少用 5天完成．两队单独工作各需多少天完成?
【难度】★★
【答案】甲单独需10天完成，乙单独需15天完成．
【解析】设甲单独需用false天完成，则乙单独需用false天完成，
依题意可得false，整理得false，解得：false，false，
经检验，false，false都是原方程的根，但false不合题意应舍去，即得false，即甲单独需false天完成，乙单独需false天完成．
【总结】考查工程问题中的列方程解应用题，把工作总量当作单位“1”解题．
登山比赛时，小明上山时的速度为a米/分，下山的速度是b米/分，已知上山和下 山的路径是一样的，求小明在全程中的平均速度?
【难度】★★
【答案】false．
【解析】设小明上山的路程为false，则整个过程中小明总行程为false，
根据平均速度=总行程÷总时间，即得平均速度false．
【总结】考查平均速度的求取，平均速度==总行程÷总时间，与行程远近无关，注意平均速度的求法．
甲、乙两人分别从相距9千米的A、B两地同时出发，相向而行，1小时后相遇．相 遇后，各自继续以原有的速度前进，已知甲到B地比乙到A地早27分钟，求两人的速 度各是多少?
【难度】★★★
【答案】甲速度为false，乙速度为false．
【解析】设甲速度为false，则乙速度为false，false，
依题意可得false，整理得false，解得：false，false，
经检验，false，false都是原方程的根，但false不合题意应舍去，即得false，即甲速度为false，乙速度为false．
【总结】考查行程问题中的列方程解应用题，根据相遇问题的基本关系一个条件作设一个条件列式进行求解．
甲、乙两辆车同时从false地出发开往距false地240千米的false地，结果甲车比乙车早到 了60分钟；第二次，乙车提速30千米/时，结果比甲车早到了20分钟，求第一次甲、 乙两车的速度各是多少?
【难度】★★★
【答案】甲速度为false，乙速度为false．
【解析】设甲车false到达B地，false，false，
依题意可得false，整理得false，解得false，false，
经检验，false，false都是原方程的根，但false不合题意应舍去，即得false，可得甲速度为false，乙速度为false．
【总结】考查行程问题中的列方程解应用题，根据行程问题的基本等量关系一个条件作设一个条件列式进行求解，注意本题中用时间作设速度列式解题更方便．
某服装厂接到一宗生产13万套衣服的业务，在生产了4万套后，接到了买方急需 货物的通知，为满足买方的要求，该厂改进了操作方法，每月能多生产1万套，一共5 个月完成了这宗业务．求改进操作方案后每月能生产多少万套衣服?
【难度】★★★
【答案】3万套．
【解析】设改进操作方案后每月能生产false万套衣服，则改进之前每月生产false万套，
依题意可得false，整理得false，解得：false，false，
经检验，false，false都是原方程的根，但false不合题意应舍去，即得：false，
即改进操作方案后每月能生产false万套衣服．
【总结】考查工作总量问题，一个条件作设一个条件列式进行求解．
随堂检测
随堂检测
已知方程：（1）false；（2）false；（3）false；（4）false， 其中是分式方程的有_____________．
【难度】★
【答案】（1）、（2）、（3） ．
【解析】根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程是分式方程，（1）、（2）、（3）满足
条件，（4）方程中不含有分式，故答案为（1）、（2）、（3）．
【总结】考查分式方程的定义，注意前提是方程，且方程分母中必含有字母．
当x取何值时，分式方程false的最简公分母的值等于0?
【难度】★
【答案】false或false．
【解析】分式方程的最简公分母为false，最简公分母值为0，即false，
解得：false或false．
【总结】考查分式方程的最简公分母，将每个分母因式分解，取相同因式的最高次数乘积即为分式方程的最简公分母．
分式方程false，如果设false，那么原方程可以化为关 于false的整式方程为 ．
【难度】★
【答案】false．
【解析】false，则有false，原方程即为false，整理化作关于false的整式方
程即为false．
【总结】考查利用换元法对复杂形式的分式方程进行转化，注意最终要化成整式方程的形式．
解方程：
（1）false；
（2）false；
（3）false．
【难度】★★
【答案】（1）false；（2）false；（3）false，false．
【解析】（1）方程两边同乘false，得false，整理得false，
解得：false，false，经检验，false是原方程的增根，即原方程的根为false；
（2）方程两边同乘false，得false，整理得false，
解得：false，false，经检验，false是原方程的增根，即原方程的根为false；
（3）两边同乘false，得false，整理得false，解得“”false，false，经检验，false，false都是原方程的根．
【总结】考查分式方程的解法，注意检验所求是否为增根．
解方程：false．
【难度】★★
【答案】false，false．
【解析】令false，原方程即为false，整理即为false，
解得：false，false；
由false，解得：false； 由false，解得：false；
经检验false，false都是原分式方程的根．
【总结】考查利用换元法解分式方程．
解方程组false
【难度】★★
【答案】false．
【解析】令false，false，原方程组即为false，解得：false，
由此可得false， 去分母得false，解得：false，
经检验，false是原分式方程的根．
【总结】考查用换元法解有特殊形式的分式方程组，注意验根．
若分式方程false产生增根，求m的值．
【难度】★★
【答案】false或false．
【解析】方程两边同乘false，得false，展开整理得false，
分式方程产生增根，即当相应整式方程有两解时，分式方程仅有一解，由此需进行分类
讨论：
①整式方程有一根为分式方程增根false时，此时有false，解得：false；
②整式方程有一根为分式方程增根false时，此时有false，
解得：false；
综上，false或false．
【总结】考查分式方程有增根的情况，即对应的整式方程有一个根为分式方程的增根．
甲、乙两地间铁路长400千米，现将火车的行驶速度每小时比原来提高了45千米，因此，火车由甲地到乙地的行驶时间缩短了2小时．求火车原来的速度．
【难度】★★
【答案】false．
【解析】设火车原来的速度为false，
依题意可得false，整理得false，解得：false，false，
经检验，false，false都是原方程的根，但false不合题意应舍去，即得false，即可得火车原来速度为false．
【总结】考查行程问题中的列方程解应用题，根据行程问题的基本等量关系一个条件作设一个条件列式进行求解．
某市为了美化环境，计划在一定的时间内完成绿化面积200万亩的任务，后来市 政府调整了原定计划，不但绿化面积要在原计划的基础上增加20%，而且要提前1年 完成任务．经测算，要完成新的计划，平均每年的绿化面积必须比原计划多20万亩， 求原计划平均每年的绿化面积．
【难度】★★★
【答案】原计划平均每年绿化面积40万亩．
【解析】设原计划平均每年的绿化面积为false万亩，则新计划每年false万亩，
依题意可得false，整理得false，
解得：false，false，
经检验，false，false都是原方程的根，但false不合题意应舍去，即得false，即原计划平均每年的绿化面积为40万亩．
【总结】考查工作量的问题，根据相应的等量关系式列方程求解．
解方程：false．
【难度】★★★
【答案】false，false，false，false
【解析】方程两边同乘12展开得false，
根据等式的性质移项变形得false，
因式分解得：false，由此可得false或false；
由false，整理得false，解得：false，false；
由false，整理得false，解得：false，false；
经检验，false，false，false，false都是原方程的根．
【总结】考查用整体思想先对分式方程变形，然后求解分式方程的根，注意对方法的总结．
解方程：false．
【难度】★★★
【答案】false．
【解析】对分式方程变形得false，
根据等式的性质可变形得false，
两边分别通分即得false，
由此可得false， 解得：false，
经检验，false是原分式方程的根．
【总结】考查特殊形式分式方程的解法，注意相应分母的关系，分组两边分别通分计算．
已知关于x的方程false有增根，求a．
【难度】★★★
【答案】false或false．
【解析】方程两边同乘false，得false，展开整理得false，
当false，即false时，得false，分式方程可能产生增根，由此进行分类讨论：
①整式方程根为分式方程增根false时，此时有false，解得false；
②整式方程有一根为分式方程增根false时，此时有false，解得false；
综上，false或false．
【总结】考查分式方程有增根的情况，即对应的整式方程根为分式方程的增根．
已知：关于x的方程false只有一个实数根，求a．
【难度】★★★
【答案】false或false．
【解析】整理原方程得false，因式分解得false，
由此可得false或false，分别整理得：false和false，
两方程根的判别式分别为false，false．
因为方程仅有一实数根，所以false或false，
解得：false或false．
【总结】考查分式方程的根与对应整式方程的根相结合的问题，根据实际题目进行问题的分析转化，解决问题．
-101600251460课后作业
课后作业
下列哪个分式方程（ ）的根是false.
A．false B．false C．false D．false
【难度】★
【答案】C
【解析】根据分式方程解的定义，代入C选项使得方程左右两边相等且有意义，故选C．
【总结】考查分式方程的解，代入使得分式方程左右两边相等即可．
用换元法解方程组false时，如果设___________=u，___________=v，那
么原方程组可以化为二元一次方程组____________________．
【难度】★
【答案】false，false，false．
【解析】略
【总结】考查用换元法对有特殊形式的分式方程组换元．
已知方程false，若设false，则原方程化为（ ）．
A．false B．false；
C．false D．false
【难度】★
【答案】B
【解析】由false，则有false，原方程即为false，
展开整理即为false，故选B．
【总结】考查用换元法对有特殊形式的分式方程进行转化求解．
如果false，那么false的值是 ．
【难度】★★
【答案】1．
【解析】分解因式得false，由此得false，得：false．
【总结】考查利用因式分解整体思想解分式方程．
解方程：
（1）false； （2）false．
【难度】★★
【答案】（1）false；（2）false．
【解析】（1）方程两边同乘false，得false，整理得：false，
解得：false，false，经检验，false是原方程的增根，即原方程的根为false；
（2）方程两边同乘false，得false，整理得false，
解得：false，false，经检验，false是原方程的增根，即原方程的根为false．
【总结】考查分式方程的解法，注意检验所求是否为增根．
解方程：
（1）false； （2）false．
【难度】★★
【答案】（1）false，false；（2）false，false．
【解析】（1）令false，原方程即为false，两边同乘false整理得false，
解得：false，false；由false，整理得false，方程无解；
由false，整理得false，解得：false，false；
经检验，false，false都是原方程的根；
（2）令false，原方程即为false，两边同乘false整理得false，
解得：false，false；由false，解得false； 由false，解得false；
经检验，false，false都是原方程的根．
【总结】考查用换元法求解有特殊形式的分式方程．
解下列方程组：
（1）false； （2）false．
【难度】★★
【答案】（1）false；（2）false．
【解析】（1）令false，false，原方程组即为false， 解得：false， 由此可得false，
解得：false，经检验，false是原分式方程的根；
令false，false，原方程组即为false，解得：false，
由此可得false，即得false，解得：false，
经检验，false是原分式方程的根．
【总结】考查利用换元法解分式方程组，注意解完后要检验．
当false为何值时，关于false的方程false无实根？
【难度】★★
【答案】false或false．
【解析】方程两边同乘false，得false，展开整理得false，
因为分式方程无实根，即整式方程无实数根或方程两根都为分式方程的增根，由此进行
分类讨论：
①整式方程没有实数根时，false，解得：false；
②整式方程两根分别为false和false时，此时有false，解得：false；
综上，false或false．
【总结】考查分式方程没有实根的情况，方程为二次方程时，注意包含方程两根都为分式方程的增根的情形．
甲、乙两艘旅游客轮同时从台湾某港出发来厦门．甲沿直线航行180海里到达厦 门，乙沿原来航线绕道香港后来厦门共航行720海里，结果比甲晚20小时到达厦门， 已知乙速比甲速每小时快6海里，求甲客轮的速度．
（其中两客轮的速度都大于16海里 /小时）
【难度】★★
【答案】甲客轮速度为18海里false，乙客轮速度为24海里false．
【解析】设甲客轮速度为false海里false，则乙客轮速度为false海里false，
依题意可得false，整理得false，解得：false，false，
经检验，false，false都是原方程的根，但false不合题意应舍去，即得false，
即甲客轮速度为18海里false，乙速度为false海里false．
【总结】考查行程问题中的列方程解应用题，根据相遇问题的基本关系一个条件作设一个条件列式进行求解．
如图所示，false两港中间有false两岛，false的距离分别为72海里， 18海里，27海里，有甲、乙两艘军舰分别从false两港同时出发，水流由false流到false， 流速为2海里/时，第一次任务是到达false岛，甲比乙早到2小时；第二次任务是到达false岛， 甲又比乙早到1小时．求甲、乙在静水中的速度．
【难度】★★★
【答案】甲在静水中的速度为16海里false，乙在静水中的速度为20海里false．
【解析】设甲在静水中的速度为false海里false，乙在静水中的速度为false海里false，
依题意可得false，令false，false，原方程组即为false，
解得：false，由此可得false，由此得false，解得false，
经检验，false是原分式方程的根，且符合题意，
即甲在静水中速度为16海里false，乙在静水中速度为20海里false．
解方程：false．
【难度】★★★
【答案】false．
【解析】对分式方程两边分别通分即得false，两边分母不同，
则必有false，解得：false，经检验，false是原分式方程的根．
【总结】考查特殊形式分式方程的解法，注意相应分母的关系，分组两边分别通分计算，解完后注意要检验．
若关于x的方程false无实数根，求m的取值．
【难度】★★★
【答案】false或false．
【解析】去分母，得：false，
化简，得：false，
因为原方程无实数根，所以false或者是所求得的解为原方程的增根，
当false时，即false，
解得：false．
当false时，false； 当false时，false．
综上，当原方程无实数解时，false或false．
【总结】本题主要考查了对分式方程无解的理解，注意分情况讨论．
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