第20课时
矩形的判定
学习目标：1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理．
2.运用矩形的判定定理解决问题.
学习重点：理解并掌握矩形的判定定理．
学习难点：运用矩形的判定定理解决问题.
一、复习回顾
1.矩形的定义:
叫做矩形.
几何语言：∵
∴
2.矩形的性质：
矩形具有平行四边形的所有性质.
性质
判定（猜想）
矩形的对角线____
____
矩形的四个角都是__
___
二、探索新知
问题
1：由“矩形的对角线相等”，反过来，得到“对角线相等的四边形矩形”,正确吗？（
）
猜想
1：对角线相等的
是矩形.
证明猜想
1：
已知：在□ABCD中，AC
,
DB是对角线，
AC=DB.
求证：□ABCD是矩形.
猜想
2：有三个角是直角的四边形是矩形.
证明猜想
2：
已知：四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形
ABCD是矩形.
总结：矩形的判定方法
判定
1.（定义）：
的平行四边形是矩形.
判定
2.
的平行四边形是矩形.
判定
3.
的四边形是矩形.
三、例题解析
例1
如图，在□ABCD中，E为CD中点，AE＝BE.
求证：四边形ABCD是矩形.
例2
如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°．
求∠OAB的度数．
例3
如图，□?ABCD的四个内角的角平分线分别相交于E、F、G、H.
求证：四边形
EFGH为矩形．
四、课后练习
1．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件
(只添一个即可)，使平行四边形ABCD是矩形．
2．下列判断方法中哪些正确？
（1）四个角都相等的四边形是矩形.
（
）
（2）对角线相等的四边形是矩形.
（
）
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形.
（
）
3.
如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，且AB=4．求□ABCD
的面积．(共16张PPT)
第17章
第20课时
矩形的判定
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
一、情境导入，复习回顾
1.矩形的定义:
2.矩形的性质：
判定1
？
？
A
B
D
C
∵四边形ABCD是平行四边形，
∠A
=
90°
∴
□
ABCD是矩形.
D
A
B
C
矩形具有
平行四边形的所有性质
性质
判定
矩形的对角线相等
矩形的四个角都是直角
二、探索归纳，发现新知
问题1
我猜想：
对角线相等的平行四边形是矩形.
不对，等腰梯形的对角线也相等.
不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分.
思考
你能证明这一猜想吗？
猜想：“对角线相等的四边形是矩形”，你觉得对吗？
平行四边形
二、探索归纳，发现新知
A
B
C
D
对角线相等的平行四边形是矩形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC
∵在
△ABC和△DCB
中，
AB
=
DC,
BC
=
CB,
AC
=
DB,
∴
△ABC≌△DCB
（SSS）,
猜想1：
∴∠ABC
=
∠DCB.
∵AB∥CD,
∴∠ABC
+
∠DCB
=
180°,
∴
∠ABC
=
90°,
∴
□
ABCD是矩形.(矩形的定义）
已知：在□ABCD中，AC
,
DB是对角线，
AC=DB.
求证：□ABCD是矩形.
二、探索归纳，发现新知
已知：在□ABCD中，AC
,
DB是对角线,
AC=DB.
求证：□ABCD是矩形.
A
B
C
D
o
1
2
3
4
证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴
AO=CO=AC,
BO=DO=BD.
∵AC=BD，
∴AO=BO=CO=DO,
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
∵在△ADC中，∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠2+∠3=90°，即∠ADC=90°,
∴□ABCD是矩形.
（矩形的定义）
判定2：
对角线相等+平行四边形
对角线相等的平行四边形是矩形.
猜想1：
二、探索归纳，发现新知
猜想2：
四个角是直角的四边形是矩形.
已知：四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°,
求证：四边形ABCD是矩形.
证明:∵
∠A=∠B=∠C=∠D=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°，
∴AD∥BC,AB∥DC.
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠A=90°，
∴□ABCD是矩形.
判定1：（定义）
一个直角+平行四边形
二、探索归纳，发现新知
有三个角是直角的四边形是矩形.
猜想2：
思考
至少有几个角是直角的四边形是矩形？
A
B
D
C
(有一个角是直角)
A
B
D
C
(有两个角是直角)
A
B
D
C
(有三个角是直角)
判定3：
三个直角+四边形
二、探索归纳，发现新知
几何语言：
∵∠A=∠B=∠C=90°
∴四边形ABCD是矩形.
判定3：
三个直角+四边形
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形
AC=BD
∴
□
ABCD是矩形.
判定2：
对角线相等+平行四边形
判定1：（定义）
一个直角+平行四边形
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形
∠A=
90°
∴
□
ABCD是矩形.
三
、灵活应用，能力提升
例1
如图，在
□
ABCD中，E为CD中点，AE＝BE.
求证：四边形ABCD是矩形．
判定1：（定义）
一个直角+平行四边形
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∵E为CD的中点，
∴DE＝CE.
∵在△ADE和△BCE中，
∴△ADE≌△BCE(SSS).
∴∠D=∠C，
又∵AD∥BC，
∴∠D+∠C=180°，
∴∠D=90°,
∴□ABCD是矩形.
三
、灵活应用，能力提升
课本P54页例2
例2
如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=
AC，
OD=
BD.
又
∵OA=OD，
∴AC=BD，
∴∠BAD=90°，
又∵∠OAD=50°，
∴∠OAB=40°.
∴
□
ABCD是矩形，
判定2：
对角线相等+平行四边形
50°
答：∠OAB的度数是40°.
三
、灵活应用，能力提升
例3
如图，
□
?ABCD的四个内角的角平分线分别相交于E、F、G、H.求证：四边形
EFGH为矩形．
判定3：
三个直角+四边形
证明：∵在□
ABCD中，AD∥BC,
∴∠DAB+∠ABC=180°.
∵AE与BG分别为∠DAB、∠ABC的平分线,
∴四边形EFGH是矩形．
同理可证∠AED=∠EFG=90°,
∴∠3=90°，
∴∠GHE=90°.
∴
∠1+
∠2
=
∠DAB
+
∠ABC=
（∠DAB+∠ABC）=
90°.
A
B
D
C
F
E
H
G
1
2
3
A
B
D
C
F
E
G
∴∠1
=
∠DAB
，∠2=
∠ABC，
四、课堂小结，凝练归纳
矩形有几种判定方法？
（定义）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
四边形
平行四边形
矩形
有一个角是直角
对角线相等
有三个角是直角
判定1
判定2
判定3
3.如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，且AB=4．求□ABCD
的面积．
五、课后练习，拓展提升
课本P55页第2题
2.下列判断方法中哪些是正确的？
（1）四个角都相等的四边形是矩形.
（
）
（2）对角线相等的四边形是矩形.
（
）
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形.
（
）
1.
如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，请你添加
一个条件
(只添一个即可)，使平行四
边形ABCD是矩形．
五、课后练习，拓展提升
或AC＝BD
∠ABC＝90°
2.下列判断方法中哪些是正确的？
（1）四个角都相等的四边形是矩形.
（
）
（2）对角线相等的四边形是矩形.
（
）
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形.
（
）
√
×
√
1.
如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，请你添加
一个条件
(只添一个即可)，使平行四
边形ABCD是矩形．
五、课后练习，拓展提升
3.如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，且AB=4．求□ABCD
的面积．
课本P55页第2题
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=
AC，
OB=
BD.
又
∵
△OAB是等边三角形，
∴AC=BD，
∴∠ABC=90°，
∴∠ACB=30°.
∴
□
ABCD是矩形.
∴OA=OB，∠BAC=60°，
∴AC=2AB=2×4=8，
∴BC===
∴=BC×AB
=
4
=
.
答：
□ABCD
的面积是.
谢谢倾听
