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第18章
第24课时
正方形的判定
情境导入，复习回顾
问题1
正方形有哪些性质？
正方形性质：①四个角都是直角;
②四条边都相等;
③对角线相等且互相垂直平分.
总结：既有矩形的性质，又有菱形的性质
四个判定定理
情境导入，复习回顾
问题2
你是如何判断一个四边形是平行四边形、矩形、菱形？
平行四边形
矩形
菱形
三个角是直角
四条边相等
两组对边分别平行
对角线相等
对角线垂直
思考
怎样判定一个四边形是正方形呢？
四边形
一个角是直角
一组邻边相等
探索归纳，发现新知
正方形的判定
活动1
准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量进行验证.
正方形
猜想
满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
正方形
一组邻边相等
或对角线互相垂直
探索归纳，发现新知
已知：如图,在矩形ABCD中,AC
,
BD是它的两条对角线,
AC⊥BD.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴四边形ABCD是平行四边形
.
又
∵AC⊥BD,
∴四边形ABCD是菱形.
∴
AD=AB
∴四边形ABCD是正方形.
证一证：对角线互相垂直的矩形是正方形.
A
B
C
D
O
探索归纳，发现新知
活动2
把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.
正方形
菱形
猜想
满足怎样条件的菱形是正方形？
正方形
一个角是直角
或对角线相等
探索归纳，发现新知
已知：如图,在菱形ABCD中,AC
,
BD是它的两条对角线,
AC=BD.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AC=BD,
∴
四边形ABCD是矩形.
∴∠ADC=90°,
∴四边形ABCD是正方形.
证一证:对角线相等的菱形是正方形.
A
B
C
D
O
探索归纳，发现新知
判定正方形的途径：
途径一：先判定四边形为矩形，再判定为菱形
矩形
一组邻边相等
对角线互相垂直
或
正方形
∵四边形ABCD是矩形,
AD=AB,
∴四边形ABCD是正方形.
几何语言：
A
B
C
D
O
或
∵四边形ABCD是矩形,
AC?BD,
∴四边形ABCD是正方形.
探索归纳，发现新知
∵四边形ABCD是菱形,
∠ADC=90°
∴四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
途径二：先判定四边形为菱形，再判定为矩形
一个角是直角
对角线相等
或
正方形
菱形
几何语言：
或
∵四边形ABCD是菱形,
AC=BD,
∴四边形ABCD是正方形.
灵活应用，能力提升
1.已知：如图，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD.
求证：四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
证：∵AO＝CO,BO＝DO,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵
AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形.
又
∵AC⊥BD,
∴四边形ABCD是正方形.
AO＝CO,BO＝DO
平行四边形
AC＝BD
矩
形
AC?BD
正方形
灵活应用，能力提升
2.如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，
并且AF=BP=CQ=DE．
求证：（1）EF=FP=PQ=QE；（2）四边形EFPQ是正方形．
证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B
=90°，AB=BC，
∵BP=CQ，
∴AB-BP=BC-CQ
∴AP=BQ，
∴?APF
≌
?BQP（SAS），
∴FP=PQ，
同理可证：EF=FP=PQ=QE.
四个直角，四边相等
AF=BP=CQ=DE
证全等
EF=FP=PQ=QE
AP=DF=BQ=CE
菱形
一个直角
正方形
灵活应用，能力提升
（2）∵EF=FP=PQ=QE，
∴四边形EFPQ是菱形，
∵?APF
≌
?BQP，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠FPQ=90°，
∴四边形EFPQ是正方形．
2.如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，
并且AF=BP=CQ=DE．
求证：（1）EF=FP=PQ=QE；（2）四边形EFPQ是正方形．
1
2
3
课堂小结，凝练归纳
正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？
矩形
菱形
正方形
平行四边形
归纳：由图可知，正方形既是矩形也是菱形.
课堂小结，凝练归纳
四边形
平行四边形
矩形
菱形
正方形
5种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
一个角是直角
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
或对角线垂直
或对角线相等
课后练习，拓展提升
1.在四边形ABCD
中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（
）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD
B．AD∥BC，∠A=∠C
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
C
A
B
C
D
O
课后练习，拓展提升
(1)有一个角是直角的菱形是正方形；
(
)
(2)邻边相等的矩形是正方形；
(
)
(3)对角线垂直且相等的四边形是正方形;
(
)
(4)有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形是正方形.
(
)
2.判断下列命题是否正确
课后练习，拓展提升
3.如图，在四边形ABCD中,
AB=BC
,对角线BD平分?ABC
,
P是BD上一点,过点P作PM?AD
,
PN?CD
,垂足分别为M、N.
(1)
求证：?ADB=?CDB;
(2)
若?ADC=90?,求证：四边形MPND是正方形.
证明：（1）∵BD平分∠ABC.
∴∠1=∠2.
又∵AB
=
BC,BD=BD
∴
ABD
≌
CBD
(
SAS
).
∴∠ADB=∠CDB.
C
A
B
D
P
M
N
1
2
课后练习，拓展提升
3.如图，在四边形ABCD中,
AB=BC
,对角线BD平分?ABC
,
P是BD上一点,过点P作PM?AD
,
PN?CD
,垂足分别为M、N.
(1)
求证：?ADB=?CDB;
(2)
若?ADC=90?,求证：四边形MPND是正方形.
C
A
B
D
P
M
N
1
2
（2）∵PM⊥AD,PN⊥CD;
∴∠PMD=∠PND=90°.
∴∠ADC=∠PMD=∠PND=90°，
∴四边形NPMD是矩形.
由（1）得：∠ADB=∠CDB;
∴∠ADB=∠CDB=45°.
∴∠MPD=∠NPD=45°.
即∠MPD=∠ADB=45°.
∴DM=PM.
∴矩形NPMD是正方形.
谢谢倾听正方形的判定
学习目标：1．探索并证明正方形的判定；
2.了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别；
3．会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算
.
学习重点：
正方形的判定方法.
学习难点：
会运用正方形的判定方法进行解题.
一、复习回顾
问题1：正方形有哪些性质？
正方形性质：①四个角都是直角;
②四条边都相等;
③对角线相等且互相垂直平分.
总结：既有矩形的性质，又有菱形的性质.
问题2：你是如何判断一个四边形是平行四边形、矩形、菱形？
思考：怎样判定一个四边形是正方形呢？
二、探索新知
活动1
准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.
猜想：满足怎样条件的菱形是正方形？并加以证明.
活动2
把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.
猜想：满足怎样条件的菱形是正方形？并加以证明.
以上可以得出判定正方形的两个途径：（1）先判定四边形为矩形，再判定为菱形.
（2）先判定四边形为菱形矩形，再判定为矩形.
三、例题解析
已知：如图，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD.
求证：四边形ABCD是正方形.
四、课后练习
1.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（
）.
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD
B．AD∥BC，∠A=∠C
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
2.判断下列命题是否正确.
(1)有一个角是直角的菱形是正方形；
(
)
(2)邻边相等的矩形是正方形；
(
)
(3)对角线垂直且相等的四边形是正方形;
(
)
(4)有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形是正方形.
(
)
3.如图，在四边形ABCD中,
AB=BC
,对角线BD平分∠ABC
,
P是BD上一点,过点P作PM⊥AD
,
PN⊥CD
,垂足分别为M、N.
(1)
求证：∠ADB=∠CDB;
(2)
若∠ADC=90°,求证：四边形MPND是正方形.
